高中數(shù)學(xué)選修23《回歸分析的初步應(yīng)用探究非線性回歸模型》教案

1、回歸分析的初步應(yīng)用（教案） 探究非線性回歸模型一、教材分析1. 教材的地位與作用：“回歸分析的初步應(yīng)用 ”是人民教育出版社 A 版數(shù)學(xué)選修2-3統(tǒng)計(jì)案例一章的內(nèi)容，是必修3“線性回歸分析”的延伸。根據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，這里準(zhǔn)備安排4 個(gè)課時(shí)，本次說(shuō)課的內(nèi)容為第 3 課時(shí)。雖然線性回歸分析具有廣泛的應(yīng)用，但是大量實(shí)際問(wèn)題的兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，所以有必要探究如何建立非線性回歸模型，進(jìn)行更有效的數(shù)據(jù)處理。2. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：探究用線性回歸模型研究非線性回歸模型。教學(xué)難點(diǎn)：如何選擇不同的模型建模，以及如何將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。二、學(xué)情分析教學(xué)對(duì)象是高二的學(xué)生，通過(guò)前面

2、的學(xué)習(xí)，具有一定的線性回歸分析、相關(guān)指數(shù)和殘差分析的知識(shí)，這為探究非線性模型奠定了良好的基礎(chǔ)，但由于學(xué)生較少接觸數(shù)學(xué)建模的思想，思路不夠開(kāi)闊，為模型間的轉(zhuǎn)化帶來(lái)了一定的困難。三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：能根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)選擇回歸模型，通過(guò)函數(shù)變換，借助線性回歸模型研究非線性回歸模型。過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷非線性回歸模型的探索過(guò)程，掌握建立非線性模型的基本步驟，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)。情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 以探究問(wèn)題為中心，感受研究非線性回歸模型的必要意義，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度。四、教學(xué)方法1. 教法分析主要采用 “引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，合作探究”的教學(xué)方法，通過(guò)組織學(xué)生觀察、分析、計(jì)算、交

3、流、歸納，讓學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)歷知識(shí)形成的全過(guò)程。利用多媒體輔助教學(xué)，優(yōu)化了教學(xué)過(guò)程，大大提高了課堂教學(xué)效率。2. 學(xué)法分析重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察思考、類(lèi)比聯(lián)想，形成 “自主探究、合作交流”的學(xué)習(xí)形式，培養(yǎng)學(xué)生從 “學(xué)會(huì)知識(shí) ” 到 “會(huì)學(xué)知識(shí) ” 。五、教學(xué)過(guò)程（一）知識(shí)回顧首先以07年廣東的一道高考題引入新課:卜表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn) 煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):x3456y2.5344.5y? = bx + a ；（1）請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程（3）已知該廠技改前

4、100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤？師：回憶并敘述建立線性回歸模型的基本步驟？生：選取變量、畫(huà)散點(diǎn)圖、選擇模型、估計(jì)參數(shù)、分析與預(yù)測(cè)。設(shè)計(jì)意圖：為建立非線性回歸模型作準(zhǔn)備。（二）創(chuàng)設(shè)情境為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，先讓學(xué)生觀看一段有關(guān)棉鈴蟲(chóng)的視頻。【播放視頻】生：觀看視頻。師：根據(jù)背景介紹，指出棉鈴蟲(chóng)的繁殖受溫度的影響。為有效防治蟲(chóng)害，科學(xué)家收集到以下一組數(shù)據(jù), 那么科學(xué)家得到這些數(shù)據(jù)后，是怎樣處理的呢？下面我們來(lái)做一次探索，進(jìn)而提出問(wèn)題。（三）提出問(wèn)題一只棉鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù) y和溫度x有關(guān)，科學(xué)家收集了以

5、下 7組觀測(cè)數(shù)據(jù):溫度x/七21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y個(gè)711212466115325試建立y與x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為31七時(shí)棉鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)目。設(shè)計(jì)意圖:使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)并不只是一些抽象的文字和符號(hào)，它來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活。學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用，自然會(huì)增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。（四）解決問(wèn)題師：利用信息技術(shù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并提出問(wèn)題一一適合建立線性回歸模型么？并利用多媒體進(jìn)行演示散點(diǎn)與直線的擬合情況。生：經(jīng)過(guò)觀察，不難看出樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所 以利用線性回歸方程建模無(wú)法真實(shí)反映兩個(gè)變量之間的內(nèi)在關(guān)系。師：那么可以用什么函數(shù)來(lái)擬合呢？

6、引導(dǎo)學(xué)生再次觀察散點(diǎn)圖，并和學(xué)過(guò)的函數(shù)圖像進(jìn)行比較，鼓勵(lì) 學(xué)生繼續(xù)探索。設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)觀察、類(lèi)比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和分析能力，使 學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系。生：可能會(huì)給出各種各樣的猜想，比如二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)甚至備函數(shù)。師：課堂上主要引導(dǎo)學(xué)生探究二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)模型的建立過(guò)程，而對(duì)于其他的方案，留給學(xué)生課 后繼續(xù)探索。師：兩個(gè)變量是線性關(guān)系時(shí)可以利用公式估計(jì)出兩個(gè)參數(shù)，當(dāng)模型不是線性回歸模型時(shí)，如何估計(jì)模 型中的參數(shù)呢？生：經(jīng)過(guò)思考發(fā)現(xiàn)，如果能將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性模型，問(wèn)題就可以得到解決。師：經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化呢？在這里學(xué)生遇到了難點(diǎn)，通過(guò)幾個(gè)問(wèn)

7、題的設(shè)置，分散難度，以突破難點(diǎn)。方案1 ：二次函數(shù)模型 ？ = ax2 bx ca師：是否可以將 ？ = ax2 +bx+c簡(jiǎn)化為y = ax2 +c呢？引導(dǎo)學(xué)生分析一次項(xiàng)對(duì)函數(shù)圖像的影響。a生：發(fā)現(xiàn)一次項(xiàng)只是影響函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，并不影響函數(shù)圖像的形狀，因此可將方程簡(jiǎn)化為 y = ax2 + c。aa師：通過(guò)什么變換可以將 y = ax2 +c轉(zhuǎn)化為y=at +c呢？生：通過(guò)比較兩個(gè)表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)可以利用平方變換 t=x2實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，得到？=ax2+bx + cT ?=at + c,(t =x2)a方案2 :指數(shù)函數(shù)模型 y = c1 ac2x師：在實(shí)現(xiàn)方案1中模型轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，提出方案2。指出為了

8、方便計(jì)算，通常取以 10或以e為底，課堂上選取以e為底，進(jìn)而提出選用不同的底會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響么？留給學(xué)生課后思考驗(yàn)證。 aa師：如何將y=c1eC2x轉(zhuǎn)化為y=bx+a?引導(dǎo)學(xué)生回憶對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指對(duì)數(shù)的關(guān)系。 aaa生：找到利用對(duì)數(shù)變換 z = In y可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，得到 y=c1aC2xT z = bx + a, (z = lny, a = In c1 ,b =C2)設(shè)計(jì)意圖：在此過(guò)程中，學(xué)生再次體會(huì)轉(zhuǎn)化”的思想。經(jīng)過(guò)變換后，這兩個(gè)模型都轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。師：如何估計(jì)這兩個(gè)線性回歸模型的參數(shù)呢？引導(dǎo)學(xué)生分組討論，啟發(fā)學(xué)生把原變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化 為新變量的數(shù)據(jù)。由于計(jì)算量較大，把學(xué)生分

9、成兩組，分別完成兩個(gè)模型的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化，以節(jié)約時(shí)間。生：經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到新的數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖，進(jìn)而估計(jì)參數(shù)，得到兩個(gè)模型的線性回歸方程。x21232527293235t44152962572984110241225y711212466115325方案1:二次函數(shù)模型 t = x2數(shù)卵rt溫度的平方4005006007008009001000 1100 1200 1300線性回歸方程：y =0.367t _ 202.54a方案2:指數(shù)函數(shù)模型z=lnyx21232527293235z1.952.403.053.184.194.755.78y7112124661153257線性回歸方程：z =0.272x

10、- 3.843a師：在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將它們還原為 y與x的兩個(gè)非線性模型。生：將兩個(gè)線性回歸模型還原為非線性回歸模型，并進(jìn)行預(yù)測(cè)。方案1:二次函數(shù)模型t = x2a非線性回歸方程： y = 0.367x2 -202.54a當(dāng)x 二31七時(shí)，y定150a方案2：指數(shù)函數(shù)模型z=lnya非線性回歸方程：y=e0272x2843a當(dāng)x =31 C時(shí)，y定98設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩個(gè)方案的探索，使學(xué)生體會(huì)，可以先通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，選擇合適的模型；知道有 些非線性模型可以利用函數(shù)變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型來(lái)估計(jì)參數(shù)，從而突破難點(diǎn)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能 力和探索創(chuàng)新精神。生：經(jīng)過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)兩者預(yù)測(cè)結(jié)果差距很大。師

11、：哪個(gè)模型能更好的刻畫(huà)產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的關(guān)系呢？生：經(jīng)過(guò)思考和討論，提出可以用殘差平方和或相關(guān)指數(shù)進(jìn)行不同模型的比較，進(jìn)而利用信息技術(shù)得 出結(jié)果。函數(shù)模型殘差平方和相關(guān)指數(shù)二次函數(shù)模型15448.4320.802指數(shù)函數(shù)模型1450.6730.985殘差平方和越小或相關(guān)指數(shù)越大，則說(shuō)明模型的擬合效果越好。生：經(jīng)過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)模型擬合效果更好。師：利用相關(guān)指數(shù)不僅可以比較幾個(gè)模型的擬合效果，而且對(duì)于只有一個(gè)模型時(shí)，也可以利用相關(guān)指 數(shù)判斷模型的好壞。設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同模型的比較，讓學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)：建立模型沒(méi)有現(xiàn)成的 答案可循，要根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來(lái)選擇回歸模型。得到

12、回歸模型并不是最終的目的，如果建立的回歸模 型有效，我們就可以用它進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型的擬合效果越好，用來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度就會(huì)越高。鼓勵(lì)學(xué)生在 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，不斷探索，尋求更好的擬合效果。（五）梳理反思?xì)w納總結(jié)建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）選模：做出散點(diǎn)圖，根據(jù)圖像特點(diǎn)選擇合適的模型；（2）轉(zhuǎn)化：利用函數(shù)變換將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型；（3）求參：估計(jì)線性回歸模型的參數(shù)；（4）還原：將函數(shù)變換帶回線性回歸方程，還原為非線性模型；（5）分析：利用相關(guān)指數(shù)等分析模型的好壞。（六）布置作業(yè)1、（鞏固型、個(gè)人獨(dú)立完成）P105-32、（延伸型、小組討論完成）試建立其他的回歸*II型，并和方案1、2的擬合效果進(jìn)