高中數(shù)學(xué)數(shù)列初步試題精選及答案

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列初步試題精選以及詳細(xì)答案【例1】求出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式1“51632964，2 3,18631111(3)二，二， 二，77， 3815241925(4)一，2, 一，8,222解(1)所給出數(shù)列前5項(xiàng)的分子組成奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n 1,而前5項(xiàng)的分母所組成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為2X2,所以，已知數(shù)列的一 ，2n 1通項(xiàng)公式為：an =L(2)從所給數(shù)列的前四項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子組成偶數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n,而分母組成的數(shù)列 3, 15, 35, 63,可以變形為 1X3, 3X5, 5X7, 7 X9,即每一項(xiàng)可以看成序號(hào) n的(2n1)與2n+1的積，也即(2n1)(2n

2、 + 1), 因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：2nann (2n 1)( 2n 1)(3)從所給數(shù)列的前5項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子都是1,而分母所組成的數(shù)列3, 8, 15, 24, 35,可變形為 1X3, 2X4, 3X5, 4X6, 5X7,，即每一 項(xiàng)可以看成序號(hào)n與n + 2的積，也即n(n+2).各項(xiàng)的符號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶 數(shù)項(xiàng)為正.因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：(1)1n(n 2)1491625(4)所給數(shù)列可改與為 2, 2, 2, , -2 ,分子組成的數(shù)列為1, 4, 9, 16, 25,是序號(hào)n的平方即n2,分母均為2.因此所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為 a【例2】求出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公

3、式.(1)2, 0, 2, 0, 2,111(2)1, 0,0,0,0,357(3)7, 77, 777, 7777, 77777,(4)0.2,0.22, 0.222,0.2222,0.22222,解(1)所給數(shù)列可改寫(xiě)為1 + 1, 1 + 1, 1 + 1, -1 + 1,可以看作數(shù)列1, 1,1, 1,的各項(xiàng)都加1,因此所給數(shù)的通項(xiàng)公式an=(-1)n+1 + 1.所給數(shù)列亦可看作2, 0, 2, 0周期性變化，因此所給數(shù)列的寸丁 2 (n為奇數(shù))、口 憶入寸丁 ,»通項(xiàng)公式an =/這一題說(shuō)明了數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一.n 0 (n為偶數(shù))，111.,101(2)所給數(shù)列1,

4、0, 1,0, 1,0, 1,可以改寫(xiě)成1一，一0, 1, 0,'分母組成的數(shù)列為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,是自然4567(1)n 1 1，s2,因此所給數(shù)列的通數(shù)列n,分子組成的數(shù)列為1, 0, 1, 0, 1, 0,可以看作是 2,10, 2, 0, 2, 0,的每一項(xiàng)的2構(gòu)成為項(xiàng)公式為an(1)n1 12n(3)所給數(shù)列7, 77, 777, 7777, 77777,可以改寫(xiě)成 ：X9,77-X 99, X999,997X 9999, 97 X 99999，可以看作97 9X(10-1),7 9X(100-1),79 義(10001),79

5、 X (10000-1),7-義(100000- 1),因此所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為an = 7(10n-1).9(4)所給數(shù)列 0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222,可以改寫(xiě),、22222成一X0.9, - X0.99,X0.999,X0.9999,X0.99999,可以看99999“ 22222作X(1 0.1),-x (1-0.01),-x (1-0.001),- x (1-0.0001),一x99999 21(10.00001)因此所給數(shù)列的通式公式為an =2(1 n).910說(shuō)明1 .用歸納法寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī) 律.對(duì)于項(xiàng)的結(jié)構(gòu)比較

6、復(fù)雜的數(shù)列，可將其分成幾個(gè)部分分別考慮，然后將它 們按運(yùn)算規(guī)律結(jié)合起來(lái).2 .對(duì)于常見(jiàn)的一些數(shù)列的通項(xiàng)公式(如：自然數(shù)列，an=n;自然數(shù)的平方數(shù)列，an=n2；奇數(shù)數(shù)列，an=2n1;偶數(shù)數(shù)列，an=2n； 1倒數(shù)數(shù)列，an=)要很熟悉，由聯(lián)想將較復(fù)雜的數(shù)列通過(guò)合理的轉(zhuǎn)化歸 n納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.3 .要掌握對(duì)數(shù)列各項(xiàng)的同加、同減、同乘以某一個(gè)不等于零的數(shù)的變形 方法，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一些數(shù)列.【例3】 已知數(shù)列22, 55, 2姓, 畫(huà) 則2。5是這個(gè)數(shù)列的第 幾項(xiàng).解 由所給數(shù)列的前4項(xiàng)42, 55, 2V2,斤可歸納得通項(xiàng)公式為an =3n 1 .此時(shí)運(yùn)用方程的思想問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2 5 3

7、n 1解關(guān)于正整數(shù)n 的方程，解得n=7,即245是該數(shù)列的第7項(xiàng).【例4】已知下面各數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n2 3n (2)Sn=n2+1Sn=2n+3(4)Sn=(-1)n+1 n解(1)當(dāng) n=1 時(shí)，a1=s1 = 1;當(dāng) n>2 時(shí)，an=Sn Sn-1=(2n2 3n)2(n1)23(n1)=4n5,由于a1也適合此等式，因此 an=4n - 5.(2)當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = S1=1 + 1 = 2;當(dāng) n> 2 時(shí)，2口 = Sn Sn-1=n2 + 1 (n 1)2 + 1 = 2n 1,由于 a1不適合 于此等式，2

8、n = 1因此，an =n 2n 1n> 2 且 nC N*.當(dāng) n= 1 時(shí)，a1=S1=2+3=5;當(dāng) n>2 時(shí)，an=snSn-1=2n + 3(2n-1 + 3)=2n-1,由于 a1 不適合于此等式，5 n = 1因此，an = n 1口廠(chǎng)n 2 n>2且 nCN*.(4)當(dāng) n=1 時(shí)，a1 = S1=( 1)2 1=1 ;當(dāng)n>2時(shí)，an= Sn-Sn-1=(-1)n+1 n- (-1)n (n-1)=(-1)n+1(2n-1),由于a1也適可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1), nC N* .說(shuō)明 已知Sn求an時(shí)，要先分n = 1和n&g

9、t;2兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，然 后驗(yàn)證能否統(tǒng)1【例5】已知 an=an1+ (n>2), a1=1,n(n 1)寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)求 an ,1-斛由已知為=11+ (nF' a"1行_31)29 161a 912 2 (23 1a3二2 3 - 25152173433121247736945 -4420205(2)由第(1)小題中前5項(xiàng)不難求出.2n 1 1an(或 an 2)nn【例6】數(shù)列an中，a = 1,對(duì)所有的n>2,都有a1 a2 a§an求a3+a5；256 一 巴是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎?225解 由已知：a1 a2 a§ 2口

10、= n2得(n>2, nC N*)ai ' a2 , a3 anan 二一-Z-ai a? a3an i2nan r , n> 2.(n 1)由于ai = 1不適合于此等式.因此1n = 1(n 1)2 '22,3561(1)a 3+ a5 =-T25224216令2562252 ，(n 1)解方程可得n = 16256 一 一n=16GN*,是此數(shù)列的第16項(xiàng).225說(shuō)明 (1) “知和求差”“知積求商”是數(shù)列中常用的基本方法.(2)運(yùn)用方程思想求n,若nC N*,則n是此數(shù)列中的項(xiàng)，反之，則不是此 數(shù)列中的項(xiàng).【例7】 已知數(shù)an=(a21)(n32n)(a= w ± 1)是遞增數(shù)列，試確定 a的 取值范圍.解法一 :數(shù)列an是遞增數(shù)列，an+1 >anan+1 an= (a2- 1)(n +1)3 2(n+ 1) (a2 1)(n3 2n)= (a2 1)(n + 1)32(n+ 1) n3+2n= (a2-1)(3n2+3n-1),.(a2-1)(3n2+3n-1)>0又 nC N*3n2+3n-1=3n(