高中數(shù)學(xué)幾何證明公式定理

1、高中數(shù)學(xué)幾何證明相關(guān)定理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。(1)判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)(2)判定點(diǎn)在平面內(nèi)的方法公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那它還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線(1)判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)(2)判定若干個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上公理3:經(jīng)過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。(1)確定一個(gè)平面的依據(jù)(2)判定若干個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù)推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面。(1)判定若干條直線共面的依據(jù)(2)判斷若干個(gè)平面重合的依據(jù)(3)判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且僅有一個(gè)平

2、面。推論3:經(jīng)過兩條平行線，有且僅有一個(gè)平面。立體幾何直線與平面 空間二直線平行直線公理4:平行于同一直線的兩條直線互相平行等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。異面直線空間直線和平面位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2 )直線和平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3 )直線和平面平行一一沒有公共點(diǎn)立體幾何直線與平面直線與平面所成的角(1)平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角(2) 一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角(3) 一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是00的角三垂線定理

3、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直三垂線逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直空間兩個(gè)平面兩個(gè)平面平行判定性質(zhì)(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(2)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行(3) 一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面 相交的兩平面二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個(gè)半平面叫

4、二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角兩平面垂直判定性質(zhì)如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直(1)若二平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面(2)如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)立體幾何多面體、棱柱、棱錐 多面體定義由若干個(gè)多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱。直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。棱錐正棱錐：如果棱錐的底面是正

5、多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。球：到一定點(diǎn)距離等于定長或小于定長的點(diǎn)的集合。歐拉定理 簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V 棱數(shù)E及面數(shù)F間有關(guān)系：V+F-E=2平行四邊形的判定與性質(zhì)：平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。平行四邊形的性質(zhì)：(1)平行四邊形的對(duì)邊相等；(2)平行四邊形的對(duì)角相等；(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分；(4)平行線之間的距離處處相等。平行四邊形的判定：(1) 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(2)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(3)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。1

6、.直線與平面平行的(判定)1 .判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線與這個(gè)平面平行.2 .應(yīng)用：反證法（證明直線不平行于平面）2 .平面與平面平行的（判定）1 .判定定理：一個(gè)平面上兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行2 .關(guān)鍵：判定兩個(gè)平面是否有公共點(diǎn)3 .直線與平面平行的（性質(zhì)）1 .性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2 .應(yīng)用：過這條直線做一個(gè)平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線4 .平面與平面平行的（性質(zhì)）1 .性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行2 .應(yīng)用：通過做與兩個(gè)平行

7、平面都相交的平面得到交線，實(shí)現(xiàn)線線平行五：直線與平面垂直的（定理）1 .判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直2 .應(yīng)用：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線（線面垂直-線線垂直）六.平面與平面的垂直（定理）1 .一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線 ，則這兩個(gè)平面垂直（或者做二面角判定）2 .應(yīng)用：在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或做出另一個(gè)平面的垂線，即實(shí)現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換七.平面與平面垂直的（性質(zhì)）1 .性質(zhì)一：垂直于同一個(gè)平面的兩條垂線平行2 .性質(zhì)二：如果兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直3 .性質(zhì)三：如果兩個(gè)

8、平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面內(nèi)的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)（性質(zhì)三沒什么用，可以不用記） 以上，是立體幾何的定理和性質(zhì)整理 .是一定要記住的基本！空間立體幾何定理基本概念公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。公理3:過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。公理4 :平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定

9、理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面1、按是否共面可分為兩類：（1）共面：平行、相交（2）異面：異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。兩異面直線所成的角：范圍為 （ 0 ，90 ） esp. 空間向量法兩異面直線間距離: 公垂線段（ 有且只有一條 ） esp. 空間向量法2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類：（ 1 ）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線；（ 2）沒有公共點(diǎn)平行或異面直

10、線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。esp. 空間向量法（ 找平面的法向量）規(guī)定：a 、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b 、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為 0角由此得直線和平面所成角的取值范圍為 0 ，90 最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線 , 與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直， 那么它也與這條斜線垂直esp. 直線和平面垂直直線和平

11、面垂直的定義： 如果一條直線 a 和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直， 我們就說直線a 和平面 互相垂直 . 直線 a 叫做平面 的垂線，平面 叫做直線 a 的垂面。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。直線和平面平行沒有公共點(diǎn)直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一

12、個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。兩個(gè)平面的位置關(guān)系：（ 1 ）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn)（ 2 ）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：兩個(gè)平面平行 沒有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交 有一條公共直線。a、平行兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。b、相交二面角（ 1 ）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。（ 2） 二面角： 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。 二面角的取值范圍為0

13、，180 （ 3 ）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。（ 4 ）二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。（ 5 ）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（ 6 ） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。esp. 兩平面垂直兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。記為兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。Attention ：二面

14、角求法：直接法（作出平面角） 、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系）多面體棱柱棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的性質(zhì)（ 1 ）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形（ 2 ）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形（ 3 ）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形棱錐棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐棱錐的性質(zhì)：（ 1 ）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形（ 2 ）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方正棱錐正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：（ 1 ）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。（ 3 ）多個(gè)特殊的直角三角形esp ： a 、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在