線性回歸方程——非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程

1、4X0對 36 邛 40 42 44 46 4H 5。52 54 56年宣傳費“元線性回歸方程一一非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程例1. （2015高考全國卷I ）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費 x （單位：千元）對年銷售量 y （單位：t）和年利潤z （單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費Q和年銷售量= 1,2,數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.563二（三21469工（%一啾兌-¥）（I）根據(jù)散點圖判斷，也與丫 -。* d血，哪一個適宜作為年銷售量 y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中

2、數(shù)據(jù)，建立 y關(guān)于x的回歸方程;（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x, y的關(guān)系為,根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題:（i）年宣傳費.49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少（ii）年宣傳費:為何值時，年利潤的預(yù)報值最大附：對于一組數(shù)據(jù)1 d?, （Unkn）,其回歸直線V-a + |3u的斜率和截距的最小二乘估計分別為:【答案】（I ）v4 d點適宜作為年銷售量¥關(guān)于年宣傳費X的回歸方程類型；（n ）- = 100,6 4 68欣；（m ）（i）答案見解析；（ii）千元.【解析】（I）由散點圖可以判斷,適宜作為年銷售量：關(guān)于年宣傳費x|的回歸方程類型.（II）令*-Jx,先建立v關(guān)于W

3、的線性回歸方程，由于=68,.白二 V -加+563-68第二,關(guān)于w的線性回歸方程為3二100.6 + 6g梆因此丫關(guān)于&的回歸方程為|y二100.6劣（III） （i ）由（II）知，當(dāng)卜=49時，年銷售量1的預(yù)報值= 100,6 4福眄=年利潤z的預(yù)報值為z= 576,6 0.2-49 = 66 32.（ii ）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤 z的預(yù)報值2二0.2（100,6 + 6融尿）.k = kS6瓜+加2所以當(dāng)%反=f=6' 即K #2時，力取得最大值.故年宣傳費為千元時，年利潤的預(yù)報值最大例2.某地級市共有 200000中小學(xué)生，其中有 7%學(xué)生在2017年享受了

4、 國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受 國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為 學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立專項教育基金”，對這三個等次的困難學(xué)生每年每人分別補助經(jīng)濟學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加n%|, 一般困難的學(xué)生中有加"會脫貧，脫貧后將不再享受精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有 2M轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有 n,"轉(zhuǎn)為很困難?，F(xiàn)統(tǒng)1t了該地級市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點圖和表中 統(tǒng)計量的值，其中年份 工取13時代表2013年，卜與y (萬元)近似滿足關(guān)

5、系式 1yHe26*,其中|C1.。為常數(shù)。(2013年至2019年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)5:3:2,為進(jìn)一步幫助這些1000 元、1500 元、2000 元。V£匯 ir-l5_to-1型人- 8 i-L23123.14.621其中k產(chǎn)心目加|, 1 =(I )估計該市2018年人均可支配年收入;(n)求該市2018年的專項教育基金”的財政預(yù)算大約為多少其回歸直線方程1 -4 Gl的斜率和截距的最【詳解】(I )因為三43-14-15+16+ 17) = 15,所以；/廣+爐+20.-xXL £)由卜=log2y 得 t = logiCi+ c那，所以 J一 一;一

6、fw，療一二 in , 1O£?C| =k"C掇=12,所以C = 2”" = 0.：S,所以.卡.當(dāng)工=18時，2018年人均可支配年收入v = 0,8=(萬)(n)由題意知2017年時該市享受 國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生共200000X 7%=14000人般困難、很困難、特別困難的中學(xué)生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可支配收入比 2017年增71=*-'=0】=10% U.S a所以2018年該市特別困難的中學(xué)生有2800X (1-10%)=2520人,很困難的學(xué)生有 4200X (1-20%)+2800X 10%=3640般困

7、難的學(xué)生有 7000X (1-30%)+4200X20%=5740.所以2018年的 專項教育基金”的財政預(yù)算大約為 5740X 1000+3640X 1500+2520X 2000=1624?.例3.近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次 （單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表l所示:jri,2343676112134661011961表1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點圖.根據(jù)散

8、點圖判斷，在推廣期內(nèi),也工與yy dc, d均為大于零的常數(shù)哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）;（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次;參考數(shù)據(jù):y£孫加1*1瞰4 I62.14L5425S550.12 J3.47 1參考公式：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線國的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:【答案】（1）y =（2） 3470【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，¥二。小適宜作為掃碼支付的人數(shù) ¥關(guān)于活動推出天數(shù)K的回歸方程類型;（2）” 41兩邊同時取

9、常用對數(shù)得:isv = late d)1期4 |防1 X ； 14050.U-7 - 1 I.M=0 7528 S3-0.54把樣本中心點（4,1,54.代入V - Ige + 13 ,乂得：扇二v = 0.54 + 0 25nliv = 0.54 4 口,25*-7關(guān)于氏的回歸方程式：y100.54+ 0.251 _ |qS4 x_ 3 47 x把其=代入上式,活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470 ;2017年成交的例4.近年來，隨著我國汽車消費水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展.某汽車交易市場對二手車交易前的使用時間（以下簡稱使用時間”）進(jìn)行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖圖2殳一云

10、山k-（1）記 在7年成交的二手車中隨機選取一輛，該車的使用年限在k ,16|”為事件.4,試估計A|的概率；（2）根據(jù)該汽車交易市場的歷史資料，得到散點圖如圖2,其中、（單位：年）表示二手車的使用時間，y|（單位：萬元）表示相應(yīng)的二手車的平均交易價格. 由散點圖看出，可采用y二以作為二手車平均交易價格y關(guān)于其使用年限卜 的回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表（表中 看=嗝, ”版5：根據(jù)回歸方程類型及表中數(shù)據(jù)，建立（關(guān)于工的回歸方程；該汽車交易市場對使用 8年以內(nèi)（含8年）的二手車收取成交價格 卜區(qū)的傭金，對使用時間8年以上（不含8年）的二手車收取成交價格10%的傭金.在圖1對使用時間的分組中，以各組的

11、區(qū)間中點值代表該組的各個值.若以 2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計算該汽車交易市場對成交的每輛車收取的平均傭金.附注： 對于一組數(shù)據(jù)1bvj ,其回歸直線包4 0U的斜率和截距的最小二乘估計分別為。- miv _ _工二一,一阿 參考數(shù)據(jù)：產(chǎn)5 191%5.75 限1 73,/扁上a 52,小斑片0.16 .【答案】（1）; （2） ”七人，叫 萬元【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，該汽車交易市場2017年成交的二手車使用時間在的頻率為0.07 . 4二。舞 在O2J6的頻率為 0.03 4 = 012 所以P（A） = U2K + 012 = 0.40.（2）由丫 = /“吃得1g=4氏，即

12、丁關(guān)于卜的線性回歸方程為Y = a + bx. 0J , 2 = Y - h R =】9 - (- 0 3) x 5.5 = 3一55、工.與秤二儂丫 _逑g叱£51 1-9 因為加 儂”卜工產(chǎn) 所以Y關(guān)于工的線性回歸方程為Y = 3.55 -03x，即卜關(guān)于工的回歸方程為 根據(jù)中的回歸方程卜二仁3陰，亂九和圖1,對成交的二手車可預(yù)測：使用時間在（0, 4|的平均成交價格為 戶I/匕二J9抬 墳,對應(yīng)的頻率為口水使用時間在（4, *|的平均成交價格為e- = c-5r75|,對應(yīng)的頻率為036 ；使用時間在（&的平均成交價格為9貸口。二心弁物用|,對應(yīng)的頻率為0萬； 使用時間

13、在（12, 16的平均成交價格為- H = e a650 52|,對應(yīng)的頻率為0.12 ； 使用時間在（16, 20的平均成交價格為 心5$43 - lS=eLft50 16 ,對應(yīng)的頻率為0.04 所以該汽車交易市場對于成交的每輛車可獲得的平均傭金為（02 片面+ 036 x 5.75） 4° 8-（0 28 x 1.73+0.12 x 0.52+0.04 x 0.16） x 10%= 0,29（為"029 萬元例5.菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進(jìn)行噴灑,以防止害蟲的危害， 但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥,食用時需要用清水清洗干凈，下表是用清水x（單位：千克）清洗

14、該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y（單位：微克）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.y （微克）y|W£ -£ (溝-口i 二 1£ (wi- w)21 = Jg£ (xi - xltvi - y) i-lg£ (wi-w)(> i-y)3381110374121-751x （千克）其中，（I）根據(jù)散點圖判斷，w =9;中與二收？十C,哪一個適宜作為蔬菜農(nóng)藥殘量與用水量工的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（n）若用解析式?二?。?。作為蔬菜農(nóng)藥殘量 卜與用水量*的回歸方程，求出:與其的回歸方程.（c, d精確到（出）對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量低于 20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請估計需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜（精確到，參考數(shù)據(jù)（5=2,236）附：參考公式：回歸方程 仗二54氤中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：X氐由b = * 1 ， a = y - bx£ （xrai【答案】（1）見解析；（2） ；-2,Ox： + 6O,0|; （3）需要用4. 5千克的清水清洗一千克蔬菜.與用水量卜的回歸方程類型;（I）根據(jù)散點圖判斷二dj? + e適宜作