(精品)小學(xué)奧數(shù)7-7-4容斥原理之?dāng)?shù)論問題.專項練習(xí)及答案解析

1、7-7-4容斥原理之?dāng)?shù)論問題7-7-4.容斥原理之?dāng)?shù)論問題.題庫page 3 of 8教師版mj加昨教學(xué)目標(biāo)1 . 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2 .掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用.趾M蚱 知識要點一、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算.求兩個集合并集的元素的個數(shù)， 不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)， 用式子可表示成：AljB = A+B-API B （其中符號“ U ”讀作 “并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號“ n ”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思.）則稱這一

2、公式為包含與排除原理， 簡稱容斥原理.圖示如下：A表示小圓部分，B 表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分， 記為：AB,即陰影面積.圖示如下：A表 示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分， 記為：API B,即陰影面積.1 .先包含一一A + B重疊部分AB計算了 2次，多加了 1次;2 .再排除一一A+B -Ap B把多加了 1次的重疊部分 AB減去.包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B的并集AL.B的元素的個數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計算集合 A、B的元素個數(shù)，然后加起來，即先求 A + B （意思是把A B的一 切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起 ）；第二

3、步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去C=AP|B （意思是“排除” 了重復(fù)計算的元素個數(shù)）.二、三量重疊問題A類、B類與C類元素個數(shù)的總和 =A類元素的個數(shù) +B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)- 既是A類又是B類的元素個數(shù) -既是B類又是C類的元素個數(shù)-既是A類又是C類的元素個數(shù)十同時是 A類、B類、C類的元素個數(shù).用符號表示為：A UB UC =A+B +C AQB BQC -ApC +Af! BRC .圖示如下： 4V圖中小圓表示 A的元素的個數(shù)，中圓表示 B的元素的個數(shù), 大圓表示C的元素的個數(shù).cfp1.先包含：重疊部分2.再排除：重疊部分ABCAB、BC、CA重疊了 2次，多加了 1

4、次.A B C -AQB -BpC -AQ CAPI Bn C重疊了 3次，但是在進(jìn)行A+B+C_AP|BBp|CAP1C計算時都被減掉了.產(chǎn)包含：A+B+c-AnB-Bnc-Anc+AnBriC_JI加巨例題精講在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.例1在1 100的全部自然數(shù)中，不是 3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個?【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長方形表示1 100的全部自然數(shù)，A圓表示1 100中3的倍數(shù)，B圓表示 1100中5的倍數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù).由100-3=33川1可

5、知，1100中3的倍數(shù)有33個；由100 + 5 =20可知，1100中5的倍數(shù) 有20個；由100 + （3父5） =6|10可知，1 100既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有6個.由包含排除法，3或5的倍數(shù)有：33+20-6 =47（個）.從而不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的 數(shù)有 100 -47 =53（個）.【答案】53【鞏固】 在自然數(shù)1100中，能被3或5中任一個整除的數(shù)有多少個？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】2星【題型】解答【解析】100+3 =33|1 , 100+5 =20, 100-（3X5） =6巾10.根據(jù)包含排除法，能被 3或5 中任一個整除的數(shù)有 33 +20 -6 =

6、47（個）.【答案】47【鞏固】 在前100個自然數(shù)中，能被 2或3整除的數(shù)有多少個？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖所示，A圓內(nèi)是前100個自然數(shù)中所有能被 2整除的數(shù)，B圓內(nèi)是前100個自 然數(shù)中所有能被3整除的數(shù)，C為前100個自然數(shù)中既能被 2整除也能被3整除的 前100個自然數(shù)中能被 2整除的數(shù)有：100+2=50（個）.由100+323怖 知，前100個自然 數(shù)中能被3整除的數(shù)有：33個.由100-（2x3） =16山4知，前100個自然數(shù)中既能被 2整除 也能被3整除的數(shù)有16個.所以A中有50個數(shù)，B中有33個數(shù)，C中有16個數(shù).因為A, B都包含

7、C ,根據(jù)包含排 除法得到，能被2或3整除的數(shù)有：50 +33-16=67（個）.【答案】67【例2】 在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被 5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】2星【題型】解答【解析】11000之間，5的倍數(shù)有,000 1=200個，7的倍數(shù)有 竿=142 個，因為既是5的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)的數(shù)一定是 35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有1000 1=28一 35所以既不能被5除盡，又不能被 7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個.【答案】686【鞏固】 求在1至100的自然數(shù)中能被 3或7整除的數(shù)的個數(shù).【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難

8、度】2星【題型】解答【解析】 記 A: 1100中3的倍數(shù)，100+3=33山川1 ,有33個；B: 1100中7的倍數(shù),100+7=14|用|2,有14個；AB： 1100中3和7的公倍數(shù)，即21的倍數(shù)，100+21=4|川16 ,有4個. 依據(jù)公式，1100中3的倍數(shù)或7的倍數(shù)共有33+144 =43個，則能被3或7整除的數(shù)的 個數(shù)為43個.【答案】43【例3】 以105為分母的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個？它們的和為多少？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】4星【題型】解答【解析】 以105為分母的最簡真分?jǐn)?shù)的分子與105互質(zhì)，105=3X 5X7,所以也是求1到105不是3、5、7倍數(shù)的數(shù)有多少

9、個，3的倍數(shù)有35個，5的倍數(shù)有21個，7的倍數(shù) 有15個，15的倍數(shù)有7個，21的倍數(shù)有5個，35的倍數(shù)有3個，105的倍數(shù)有1 個，所以105以內(nèi)與105互質(zhì)的數(shù)有105-35-21-15+7+5+3-1=48 個，顯然如果 n 與105互質(zhì)，那么（105-n）與n互質(zhì)，所以以105為分母的48個最簡真分?jǐn)?shù)可兩 個兩個湊成1 ,所以它們的和為 24.【答案】48個，和24【鞏固】 分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)有多少個？并求這些真分?jǐn)?shù)的和【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】4星【題型】解答【解析】385=5X 7X 11,不超過385的正整數(shù)中被5整除的數(shù)有77個；被7整除的數(shù)有55 個；被11整

10、除的數(shù)有35個；被77整除的數(shù)有5個；被35整除的數(shù)有11個；被 55整除的數(shù)有7個；被 385整除的數(shù)有 1個；最簡真分?jǐn)?shù)的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.對于某個分?jǐn)?shù) a/385如果是最簡真分?jǐn)?shù)的話，那么 （385-a） /385也是最簡真分?jǐn)?shù)，所以最簡真分?jǐn)?shù)可以每兩個湊成整數(shù)1,所以這些真分?jǐn)?shù)的和為120.【答案】240個，120個例4在1至2008這2008個自然數(shù)中，恰好是 3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有個.【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實驗【解析】1到2008這2008個自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有，型081=133個，

11、3和7的倍數(shù)有一 15產(chǎn)008 1=95個,5和7的倍數(shù)有/0叫=57個,3、5和7的倍數(shù)有0叫=19個.所21 35IL105以，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的共有 13319 +9519+5719 = 228個.【答案】228個例5求1到100內(nèi)有 個數(shù)不能被2、3、7中的任何一個整除。【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第12題【解析】 被2整除的有50個，被3整除的有33個，被7整除的有14個同時被2和3整除的有16個，同時被2和7整除的有7個，同時被3和7整除的有4個同時被 2 和 3 和 7 整除的有 2 個，100（50+33+1416

12、7 4 +2 ）=10072 =28 個【答案】28個。【例6】 在從1到1998的自然數(shù)中，能被 2整除，但不能被 3或7整除的數(shù)有多少個？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】解答【解析】 戶表示取商的整數(shù)部分.例如，.7=3.要注意的是，符號 I 與十、父、一b.2小符號一樣，也是一種運算，叫取整運算.本題中，先求出能被 2整除的數(shù)有多少個，再分別求出能被2和3、能被2和7分別整除的數(shù)的個數(shù)，那么用能被2整除的數(shù)的個數(shù)減去能被 2和3整除的數(shù)的個數(shù)，再減去能被2和7整除的數(shù)的個數(shù)，所得的差是不是所求的得數(shù)呢？仔細(xì)想想你會發(fā)現(xiàn)不是的，因為它多減了能同時被2、3、7整除的數(shù).故能被2

13、整除的有：1998 + 2 =999（個）.能被2和3同時整除的有：1998-（2父3） =333（個）.能被2和7同時整除的有：1998-（2父7）=142.能被2、3、7同時整除的有：1998 - （2X3X7） =47（個）.所以，能被2整除，但不能被 3或7整除的數(shù)有999 333-142 +47 =571 （個）. 【答案】571個【例7】50名同學(xué)面向老師站成一行.老師先讓大家從左至右按1, 2, 3,，49, 50依次報數(shù)；再讓報數(shù)是 4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn).問：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)

14、鍵詞】華杯賽，初賽，第 13題【解析】 在轉(zhuǎn)過兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類：第一類是標(biāo)號既不是 4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號既是 4的倍數(shù)又是6的倍數(shù).1-50之間，4的倍數(shù)有.|5° 1=12, 6的倍數(shù)有.|50 1=8,即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以有 廬01=4.于是，第一類同學(xué)有 50- 12-8+4=34人，第二 .12類同學(xué)有4人，所以現(xiàn)在共有34+4=38名同學(xué)面向老師.【答案】38名【例8】 體育課上，60名學(xué)生面向老師站成一行，按老師口令，從左到右報數(shù)：1,2,3,60,然后，老師讓所報的數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓所報的數(shù)是

15、5的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，最后讓所報的數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，現(xiàn)在面向老師的學(xué)生有 人?！究键c】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試，第 15題，4分【解析】 可知其中4的倍數(shù)有15個，5的倍數(shù)有12個，6的倍數(shù)有10個，同時是4和5 的倍數(shù)的有3個，同時是5和6的倍數(shù)的有2個，同時是4和6的倍數(shù)的有5個， 同時是4、5、6的倍數(shù)的數(shù)有1個，現(xiàn)在背向老師的有 15+12+10-3-2-5+1=28 個， 面向老師的學(xué)生有 60-28=32人。轉(zhuǎn)過兩次的有：3- 1+2 1+5 1 = 7。最后面向老師的學(xué)生數(shù)=32+7= 39個?！敬鸢浮?9個【例9】 有20

16、00盞亮著的電燈，各有一個拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號為1,2,3,，2000,然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下， 再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下， 最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】解答【解析】 三次拉完后，亮著的燈包括不是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)以及是 6、10、15的倍數(shù)但不是30的倍數(shù)的數(shù).12000這2000個正整數(shù)中，2的倍數(shù)有1000個，3的倍數(shù)有 666個，5的倍數(shù)有400個，6的倍數(shù)有333個，10的倍數(shù)有200個，15的倍數(shù)有 133 個，30 的倍數(shù)有 66 個，亮著的燈一共有 2000-1000-

17、666- 400+2X （333+200+133） -4X66=1002 盞.【答案】1002盞【鞏固】2006盞亮著的電燈，各有一個拉線開關(guān)控制，按順序編號為1,2,3,，2006。將編號為2的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下；再將編號為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下。拉完后這著的燈數(shù)為 （）盞。【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，第 11題，六年級，第11題【解析】 因為燈在開始的時候是亮著的，所以拉了兩次或者沒拉的燈最后還是亮的.這道題實際上是求1到2006中不能被2、3、5整除的數(shù)和只能同時被 2、3、5中2個數(shù)整除的數(shù)

18、的總個數(shù).我們可以求得被 2整除的數(shù)有2006 + 2 =1003（盞）,被3整除的數(shù)有2006 +3=668|2,共668（盞），被5整除的數(shù)有2006 +5=401中1 ,共401（盞）.其中，同時被2、3整除的數(shù)有2006-（2 X3）=334102,共334（盞）；同時被 3、5 整除的有 2006 + （3乂5）=133|11,共 133（盞）；同時被2、5整除的數(shù)有2006 +（2黑5） =200|6,共200（盞）；同時被2、3、5整除的數(shù)有2006 +（2父3 m 5） =66|26 ,共66（盞），所以，只能同時被 2、3、5中2個數(shù)整除的數(shù)的個數(shù)為 334 +133 +20

19、0-3父66 =469（盞）,不能被2、3、5整除的數(shù)的7-7-4.容斥原理之?dāng)?shù)論問題.題庫教師版page 6 0f 8個數(shù)為 2006 (1003+668+401)(334+133+200)+66=535(盞)所以，最后亮著的燈一共為469 +535 =1004(盞).【答案】1004盞【鞏固】 寫有1到100編號的燈100盞，亮著排成一排，每一次把編號是3的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)，第二次把編號是 5的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)，那么亮著的燈還有多少盞？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】解答7-7-4.容斥原理之?dāng)?shù)論問題.題庫page 9 of 8教師版因為燈在開始的時候是亮著的，所以拉了兩

20、次或者沒拉的燈最后還是亮的.燈有10 0-=6(1001003 5盞)，取后鳧著的燈一共為 53+6(3t 20 6)盞5)3,拉兩= 59(盞)沒拉的次的有59盞【例10】200名同學(xué)編為1至200號面向南站成一排.第 1次全體同學(xué)向右轉(zhuǎn)(轉(zhuǎn)后所有 的同學(xué)面朝西)；第2次編號為2的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第 3次編號為3的倍數(shù) 的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第 200次編號為200的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；這時，面向東 的同學(xué)有 名.【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初賽， 10題【解析】只有約數(shù)個數(shù)被4除余3的數(shù)，最后面向東.約數(shù)個數(shù)為3的數(shù)有22、32、52、72、112、

21、132 ,共8個數(shù).約數(shù)個數(shù)為7的數(shù)有26, 1個，約數(shù)個數(shù)為15的數(shù)有32 24 =144 , 1個一共有8個滿足條件的編號.【答案】8名【例11】下編號是1、2、3、36號白36名學(xué)生按編號順序面向里站成一圈.第一次，編號是1的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，第二次，編號是2、3的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，第三次，編號是4、 5、6的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，第 36次，全體同學(xué)向后轉(zhuǎn).這時，面向里的同學(xué)還有 名.【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)試， 10題【解析】整個過程中一共轉(zhuǎn)了 1+2+3+4- +36=66 6人次，每轉(zhuǎn)過72人次所有學(xué)生的朝向就會 和原來一樣，那么 666+72=9

22、18,于是應(yīng)該有 18名同學(xué)面朝里，18名同學(xué)面朝 夕卜?！敬鸢浮?8名【例12】在游藝會上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎券.按獎券標(biāo)簽號發(fā)放獎品的規(guī)則如下：(1)標(biāo)簽號為2的倍數(shù)，獎2支鉛筆；(2)標(biāo)簽號為3的倍數(shù)，獎3支鉛筆；(3)標(biāo)簽號既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎；(4)其他標(biāo)簽號均獎1支鉛筆.那么游藝會為該項活動準(zhǔn)備的獎品鉛筆共有多少支？【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】4星【題型】解答【解析】1100, 2的倍數(shù)有|1°° 1=50, 3的倍數(shù)有匕33個，因為既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)一定是 6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有理 1=16個

23、.于是，既, 6不是2的倍數(shù)，又不是 3的倍數(shù)的數(shù)在1100中有100-50-33+16=33 .所以，游 藝會為該項活動準(zhǔn)備的獎品鉛筆共有：50X2+33X 3+33X 1=232 支.【答案】232支【例13】在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木 棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份；如果沿每條刻度線將木棍鋸斷， 則木棍總共被鋸成 段.【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】3星【題型】填空【解析】假設(shè)木棍長60cm ,則沿第一種刻度線鋸成的木棍每段長60-10 =6cm ,沿第二種刻度線鋸成的木棍每段長60 M 12 = 5cm,沿第三種刻度線鋸成的木棍每

24、段長60 十14 = 4cm.因為，沿三種刻度線可將木棍分別鋸成10、12、15段；沿第一、二種重合的刻度線可將木棍鋸成6046,5 =2段，沿第一、三種重合的刻度線可將木棍鋸成6046,4 =5段，沿第二、三種重合的刻度線可將木棍鋸成60 + 5, 4 = 3段；沿三種刻度重合的刻度線可將木棍鋸成60 - 6,5, 4 = 1段.應(yīng)該減去重復(fù)計算的沿任意兩種重合的刻度線鋸成的段數(shù)，應(yīng)加上多減去的沿三種刻度重合的刻度線鋸成的段數(shù).所以，沿每條刻度線將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成10 y2 +15 -2 -5 -3 +1 =28 段.【答案】28段【例14】一根101厘米長的木棒，從同一端開始，第一次每隔2厘米畫一個刻度，第二次每隔3厘米畫一個刻度，第三次每隔5厘米畫一個刻度，如果按刻度把木棒截斷， 那么可以截出 段.【考點】容斥原理之?dāng)?shù)論問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】101中學(xué)【解析】 要求出截出的段數(shù)，應(yīng)當(dāng)先求出木