振動(dòng)力學(xué)第二章第二節(jié)單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

1、 第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 目錄 2.1.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程2.1.2 受迫振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論、相位差的討論2.1.3 受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 2.1.4 受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.1.6 簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段 2.1.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 簡諧激振力簡諧激振力SsinFHtH為激振力的幅值，為激振力的幅值， 為激振力的圓頻為激振力的圓頻率。以平衡位置率。以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)

2、，x軸鉛軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為 22ddsinddxxmckxHttt thxptxntxnsindd2dd222，mFhmcnmkpn022具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。 簡諧激勵(lì)的響應(yīng)全解簡諧激勵(lì)的響應(yīng)全解)()(21txtxx2.1.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和0dd2dd222xptxntxn)()(21txtxx1( )xt 有 阻 尼

3、自 由 振 動(dòng) 運(yùn) 動(dòng) 微 分 方 程 的 解 ： tpAxtpd1sinen)(2txtBsin2.1.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 tBtxsin)(P2.1.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 ,穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅滯后相位差2222)2()(nphBn 222tanpnn 00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd222振幅放大因子0BB22221122220222224)1 ()()(4)(1 / BppnpphBnnnn02neqhHBpknnnpmcpnpeqeq2,212arctan曲 線 族 幅 頻 特 性 曲 線曲 線 族 相 頻 特 性 曲 線2.1.2 受迫

4、振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)的振幅B、相位差、相位差 的討論的討論 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng) 1的區(qū)域的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū)高頻區(qū)或慣性控制區(qū))， ， ，響應(yīng)與，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。03、 1的附近區(qū)域的附近區(qū)域(共振區(qū)共振區(qū))， 急劇增大并在急劇增大并在 1略為略為偏左偏左處有峰值。通常將處有峰值。通常將 1，即，即 pn 稱為共振頻率。稱為共振頻率。阻尼影響阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，無論阻尼大小， 1時(shí)，總有，時(shí)，總有， /2 ,這也是

5、共振的重要這也是共振的重要現(xiàn)象。現(xiàn)象。2.1.2 受迫振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)的振幅B、相位差、相位差 的討論的討論 例例 題題 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為 e，偏心質(zhì)量為偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速。轉(zhuǎn)子以勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng)如圖轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。 解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作

6、用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有0sindd)(dd222sttmetxMxkMgtxctmekxtxctxMsindddd222)sin(dd2dd2222teMmxptxntxn,22McnMkpn ，= h2eMm例例 題題 電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為)sin(tBx22222222224)1 (4)1 (bMmeB212arctgbB222224)1 (Mmeb 當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)

7、產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。 例例 題題 阻尼比阻尼比 較小時(shí)，在較小時(shí)，在 = 1附近，附近， 值急劇增大，發(fā)生共振。值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值由于激振力的幅值me 2與與 2成正比。成正比。當(dāng)當(dāng) 0時(shí)，時(shí)， 0，B0；當(dāng)當(dāng) 1時(shí)，時(shí)， 1，Bb，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于 。 Mme例例 題題 )dddd()(dd22tytxcyxktxm例例 題題 例例 2.2 在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘在圖示的系統(tǒng)中

8、，物塊受粘性欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為性欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為c，物，物塊的質(zhì)量為塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈性常量為，彈簧的彈性常量為k。設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)，且支撐的運(yùn)動(dòng)為且支撐的運(yùn)動(dòng)為 ,試求物試求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 y tbt( )sin建立物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程建立物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 mxcxkxcykymxcxkxcbtkbtcossin2223412arctan例例 題題 利用復(fù)指數(shù)法求解，用利用復(fù)指數(shù)法求解，用 代換代換tbje btsin tBtxje)(并設(shè)方程的解為并設(shè)方程的解為 j2ejjBbcmkckB2222)2()1 ()2

9、(1 bB2223412tan放大系數(shù)放大系數(shù)2222)2()1 ()2(1bB例例 題題 2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 tHFsinSxBtsin()sin(dd),cos(dd222tBtxtBtx已知簡諧激振力已知簡諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為0sindddd22tHkxtxctxm現(xiàn)將各力分別用現(xiàn)將各力分別用 B、 的旋轉(zhuǎn)矢量表示。的旋轉(zhuǎn)矢量表示。kBc BHmB、 、2應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫成寫成式式2-11不僅反映了各項(xiàng)力之間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多不僅反映了各項(xiàng)力之間的相位關(guān)系，而

10、且表示著一個(gè)力多邊形圖邊形圖2-7。慣性力慣性力阻尼力阻尼力彈性力彈性力激振力激振力（a）力多邊形力多邊形 (b) 1 1 (c) = 1= 1 (d) 1 12.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果。現(xiàn)將討論簡諧輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果?，F(xiàn)將討論簡諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。受迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為受迫振動(dòng)

11、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為xBtsin()周期 2T1. 激振力激振力tHFSsinsindsin)2sin(2d)cos(sind)(dd000BHttHBttBtHtttxFWTTTSH在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期內(nèi)做功為一周期內(nèi)做功為 ，做功最多。，做功最多。 2BHWH對(duì)于無阻尼系統(tǒng)對(duì)于無阻尼系統(tǒng)( (除共振情況外除共振情況外) )相位差相位差 。因此，。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。 0或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 txcFRddTTRRttBctttxFW

12、0220d)cos(d)(dd上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅而且做的負(fù)功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。而實(shí)現(xiàn)的。2022d)(2cos1 21BcttBcT2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 3. 彈性力彈性力 做的功做的功

13、FkxE 能量曲線表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。 TEEttxtFW0ddd)(WWHR在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量TttBtBk0d)cos()sin(0d)(2sin202TttkB2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 在工程實(shí)際中，振動(dòng)系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程實(shí)際中，振動(dòng)系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜。為了便于振動(dòng)分析，經(jīng)非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜。為了便于振動(dòng)分析，

14、經(jīng)常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。假設(shè)在簡諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍假設(shè)在簡諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是簡諧振動(dòng)，即然是簡諧振動(dòng)，即xBtsin()非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)做的功非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)做的功txtFWNNd)(粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量2BcWR相等相等2BcWeN2 BWcNe等效粘性阻尼系數(shù)等效粘性阻

15、尼系數(shù)2222n)()(mcphBe2ncme2222222n)()()()(eecmkHmcphB利用式利用式得到在該阻尼作用下受迫振動(dòng)的振幅得到在該阻尼作用下受迫振動(dòng)的振幅2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 庫侖阻尼庫侖阻尼阻尼力表示為阻尼力表示為NFFc一周期內(nèi)庫侖阻尼消耗的能量為一周期內(nèi)庫侖阻尼消耗的能量為 WF Bcc 42BcWRBFCce4等效粘性等效粘性阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 得到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅表達(dá)式得到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅表達(dá)式2n221)4(1pHFkHBc相等相等2BcWec 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼 一周期內(nèi)一周期內(nèi)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)阻尼消耗的能量為阻尼消耗的

16、能量為 2BcWR相等2BcWec 2XWd22XXce等效粘性等效粘性阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) ec具有結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為具有結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為 tFkxtxtxmdddd222.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.1.6簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段 系統(tǒng)在過渡階段對(duì)簡諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。系統(tǒng)在過渡階段對(duì)簡諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對(duì)簡諧激勵(lì)的響應(yīng)先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對(duì)簡諧激勵(lì)的響應(yīng), ,系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫在一起為的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫在一起為

17、00022)0( 0sinddvvxxtFkxtxm通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和, ,即即tkFtpCtpCtxsin11sincos)(20n2n1根據(jù)初始條件確定根據(jù)初始條件確定C1、C2 。于是得到全解為。于是得到全解為tkFtpkFtppvtpxtxtxtxsin11sin1 sincos)()()(20n20nn0n021 特點(diǎn)是特點(diǎn)是: :振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率, ,但振幅與系統(tǒng)本身但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵(lì)因素都有關(guān)。的性質(zhì)及激勵(lì)因素都有關(guān)。無激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng)無激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)條

18、件的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)伴隨激勵(lì)伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生自而產(chǎn)生自由振動(dòng)由振動(dòng), , 稱為稱為自由自由伴隨振動(dòng)伴隨振動(dòng)2.1.6簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段 周期振動(dòng)的諧波分析周期振動(dòng)的諧波分析x tx tnT( )()周期振動(dòng)周期振動(dòng) 展成傅氏級(jí)數(shù)展成傅氏級(jí)數(shù)x taantbntnnn( )(cossin)01112TnTnTttntxTbttntxTattxTa010100dsin)(2dcos)(2d)(2一個(gè)周期一個(gè)周期 T中的平均值中的平均值 x taAntnnn( )sin()0112n=1,2,3,n=1,2,3,T21基頻基頻,tan22nnn

19、nnnbabaA， 一個(gè)周期振動(dòng)可視為頻率順次為基頻一個(gè)周期振動(dòng)可視為頻率順次為基頻 及整倍數(shù)的若干或無數(shù)及整倍數(shù)的若干或無數(shù)簡諧振動(dòng)分量的合成振動(dòng)過程。簡諧振動(dòng)分量的合成振動(dòng)過程。 1在振動(dòng)力學(xué)中將傅氏展開稱為諧波分析在振動(dòng)力學(xué)中將傅氏展開稱為諧波分析 周期函數(shù)的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。周期函數(shù)的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。周期函數(shù)的譜線是互相分開的，故稱為離散頻譜。周期函數(shù)的譜線是互相分開的，故稱為離散頻譜。周期振動(dòng)的諧波分析周期振動(dòng)的諧波分析 周期振動(dòng)的諧波分析周期振動(dòng)的諧波分析 函數(shù)的頻譜，說明了組成該函數(shù)的簡諧成分，反映了該函數(shù)的頻譜，說明了組成該函數(shù)的簡諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。

20、周期函數(shù)的特性。 由于自變量由時(shí)間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實(shí)際上是由于自變量由時(shí)間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實(shí)際上是由時(shí)間域轉(zhuǎn)入頻率域。由時(shí)間域轉(zhuǎn)入頻率域。 這是將周期振動(dòng)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的另一個(gè)物理意義。這是將周期振動(dòng)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的另一個(gè)物理意義。 周期振動(dòng)的諧波分析以無窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)，但一般可以用有限項(xiàng)周期振動(dòng)的諧波分析以無窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)，但一般可以用有限項(xiàng)近似表示周期振動(dòng)。近似表示周期振動(dòng)。例例 已知一周期性矩形波如圖所示，試對(duì)其作諧波分析。已知一周期性矩形波如圖所示，試對(duì)其作諧波分析。 解解 矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)F (t)可表示為可表示為F tff( ) 0020tt表示

21、表示F(t)的波形關(guān)于的波形關(guān)于t軸對(duì)稱，故其平均值為零。軸對(duì)稱，故其平均值為零。 0d)(1200ttFa周期振動(dòng)的諧波分析周期振動(dòng)的諧波分析 n=1，2，30dcosdcos1210010ttnfttnfan4cos12dsindsin100210010nfnnfttnfttnfbn于是，得于是，得F(t)的傅氏級(jí)數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)tttftnnftnbtFnnn1110.5 . 3 . 110115sin513sin31sin4sin14sin)(F(t)是奇函數(shù)，在它的傅氏級(jí)是奇函數(shù)，在它的傅氏級(jí)數(shù)中也只含正弦函數(shù)項(xiàng)。在實(shí)數(shù)中也只含正弦函數(shù)項(xiàng)。在實(shí)際的振動(dòng)計(jì)算中，根據(jù)精度要際的振動(dòng)計(jì)算中，根

22、據(jù)精度要求，級(jí)數(shù)均取有限項(xiàng)。求，級(jí)數(shù)均取有限項(xiàng)。F(t)的的幅值頻譜如圖所示。幅值頻譜如圖所示。 周期振動(dòng)的諧波分析周期振動(dòng)的諧波分析 先對(duì)周期激勵(lì)作諧波分析，將它分解為一系列不同頻率的簡先對(duì)周期激勵(lì)作諧波分析，將它分解為一系列不同頻率的簡諧激勵(lì)。然后，求出系統(tǒng)對(duì)各個(gè)頻率的簡諧激勵(lì)的響應(yīng)。再由諧激勵(lì)。然后，求出系統(tǒng)對(duì)各個(gè)頻率的簡諧激勵(lì)的響應(yīng)。再由線性系統(tǒng)的疊加原理，將每個(gè)響應(yīng)分別疊加，即得到系統(tǒng)對(duì)周線性系統(tǒng)的疊加原理，將每個(gè)響應(yīng)分別疊加，即得到系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)。期激勵(lì)的響應(yīng)。 設(shè)粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力設(shè)粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力F tF tT( )()F taantbntnnn( )(

23、cossin)01112諧波分析方法，得到諧波分析方法，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為kxtxctxmdddd22F taantbntnnn( )(cossin)01112周期周期T21基頻基頻由疊加原理，并考慮欠阻尼情況，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由疊加原理，并考慮欠阻尼情況，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x takAntBntnnnnn( )cos()sin()01112n2nn12222222212tan)2()1 (1)2()1 (1mpcmkppnkbBkaAnnnnnnnnnnn， 例例2.3 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期性矩形波的激勵(lì)。試求彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期性矩形波的激勵(lì)。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

24、響應(yīng)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(其中其中 )n12pT 62n1pTF tff( ) 0020tt解：周期性矩形波的基頻為解：周期性矩形波的基頻為矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù),.3 , 110sin14)(ntnnftF將矩形波分解為將矩形波分解為固有頻率固有頻率 ,.3 , 110sin14)(ntnnftFn120,.3 , 11,)1 (14sin)(pnknfBtnBtxnnnnn 可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將矩形波分解為將矩形波分解為從頻譜圖中看，系統(tǒng)只對(duì)激勵(lì)所包含的諧波分量有響應(yīng)。對(duì)于從頻譜圖中看，系統(tǒng)只對(duì)激勵(lì)所包含的諧波分量有響應(yīng)。對(duì)于頻率靠近系統(tǒng)固有頻率的那些諧波分量，系統(tǒng)響

25、應(yīng)的振幅放大頻率靠近系統(tǒng)固有頻率的那些諧波分量，系統(tǒng)響應(yīng)的振幅放大因子比較大，在整個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中占主要成分。因子比較大，在整個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中占主要成分。 畫出系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜圖畫出系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜圖奇數(shù)奇數(shù) 2.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)2.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng) 2.3.3 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的時(shí)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的時(shí)-頻變換頻變換2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) 2.3.5 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 2.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)物塊受到?jīng)_量的作用時(shí)，物塊的位移可忽略不計(jì)。但物塊的物塊受到?jīng)_量的作用時(shí)，物塊的位移可忽略不計(jì)。但物塊的速度

26、卻變化明顯。根據(jù)力學(xué)中的碰撞理論，可得物塊受沖量作速度卻變化明顯。根據(jù)力學(xué)中的碰撞理論，可得物塊受沖量作用獲得的速度用獲得的速度vFmF設(shè)沖量的大小為設(shè)沖量的大小為作用在單自由度系統(tǒng)中，求響應(yīng)。作用在單自由度系統(tǒng)中，求響應(yīng)。對(duì)作用時(shí)間短、變化急劇的力常用它的沖量進(jìn)行描述。對(duì)作用時(shí)間短、變化急劇的力常用它的沖量進(jìn)行描述。1. 用沖量描述瞬態(tài)作用用沖量描述瞬態(tài)作用如果取如果取 為沖量作用的瞬時(shí)等價(jià)于對(duì)初始條件的響應(yīng)為沖量作用的瞬時(shí)等價(jià)于對(duì)初始條件的響應(yīng)t 0 x00mFv0tpmpFxnnsin初位移初位移初速度初速度得到單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)得到單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)如果

27、如果 作用在作用在 的時(shí)刻，未加沖量前，系統(tǒng)靜止，則物塊的時(shí)刻，未加沖量前，系統(tǒng)靜止，則物塊的響應(yīng)為的響應(yīng)為Ft )(sinnntpmpFx2.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)tppvtpxxnnnsincos00同理，如果在同理，如果在t = 0時(shí)，沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)時(shí)，沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，得其響應(yīng)欠阻尼的情形，得其響應(yīng)tpmpFxdntdsine)(sine)(tpmpFxdtnd如果如果 作用在作用在 的時(shí)刻，則物塊的響應(yīng)為的時(shí)刻，則物塊的響應(yīng)為Ft 2.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)用用 (t)函數(shù)表示作用在極短時(shí)間內(nèi)沖擊力函數(shù)表示

28、作用在極短時(shí)間內(nèi)沖擊力2.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng) 01d)(0)(ttttt表明只在近旁極其短暫的時(shí)間內(nèi)起作用，其數(shù)值為無限大。但表明只在近旁極其短暫的時(shí)間內(nèi)起作用，其數(shù)值為無限大。但它對(duì)時(shí)間積分是有限數(shù)它對(duì)時(shí)間積分是有限數(shù)1。函數(shù)的定義是函數(shù)的定義是)( tFF從積分式可見，如果時(shí)間以秒計(jì)，從積分式可見，如果時(shí)間以秒計(jì)， (t)函數(shù)的單位是函數(shù)的單位是1/s。用用單位脈沖單位脈沖(unit impulse)函數(shù)函數(shù) (t)表示表示沖擊力沖擊力沖量表示施加沖量的瞬時(shí))()(ttFF)(tF如果在如果在t = 0的瞬時(shí)施加沖量，則相應(yīng)的沖擊力的瞬時(shí)施加沖量，則相應(yīng)的沖

29、擊力 當(dāng)當(dāng) ，即施加單位沖量時(shí)，沖擊力為，即施加單位沖量時(shí)，沖擊力為F 1F是沖擊力是沖擊力, (t)函數(shù)又稱單位脈沖函數(shù)，就是由此而得名。函數(shù)又稱單位脈沖函數(shù)，就是由此而得名。)(tkxxcxm 單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為2.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng) )(dddd22tkxtxctxm單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為單位脈沖力作用等價(jià)于沖量單位脈沖力作用等價(jià)于沖量 作用在有粘性阻尼的物塊上，作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，對(duì)

30、欠阻尼的情形，F(xiàn) 1根據(jù)初始條件可確定根據(jù)初始條件可確定A和和 。最后得其響應(yīng)。最后得其響應(yīng)mvxttpAtxdnt1)0(, 0)0(, 0)sin(e)(tpmptxdntdsine1)(2.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng) 為了應(yīng)用方便，單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)用為了應(yīng)用方便，單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)用h(t)表示。得單表示。得單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)h tmpp tnn( )sin1h tmpptnn()sin()1tpmpthdntdsine1)()(sine1)()(tpmpthdtnn有粘性阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)有粘性

31、阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)稱為單自由度系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)函數(shù)稱為單自由度系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)函數(shù) 2.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng) 000,sine1)() 1 (tttpmpthdntdtttpmpthdtnd0),(sine1)()2()(h(t)有以下特性有以下特性不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn)h(t)的表達(dá)式包含系統(tǒng)的所有的動(dòng)特性參數(shù)，它實(shí)的表達(dá)式包含系統(tǒng)的所有的動(dòng)特性參數(shù)，它實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)動(dòng)特性在時(shí)域的一種表現(xiàn)形式。質(zhì)上是系統(tǒng)動(dòng)特性在時(shí)域的一種表現(xiàn)形式。h(t)是單位脈沖是單位脈沖沖量的響應(yīng)，其量綱為沖量的響應(yīng)，其量綱為位移位移/沖量沖量。 2.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位脈

32、沖力的響應(yīng) 2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) 作用有一任意激振力作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程欠阻尼情形物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程將激振力看作是一系列元沖量的疊加將激振力看作是一系列元沖量的疊加t d)(FF 元沖量為元沖量為得到系統(tǒng)的響應(yīng)得到系統(tǒng)的響應(yīng))(sined)(d)(tpmpFxdtnd)(dddd22tFkxtxctxm由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于系統(tǒng)在在 時(shí)間區(qū)間內(nèi)各個(gè)元時(shí)間區(qū)間內(nèi)各個(gè)元沖量的總和，即沖量的總和，即0 ttdtndttpmpFxtx0)(0d)(sine

33、)(d)(tt1得到系統(tǒng)的響應(yīng)得到系統(tǒng)的響應(yīng))(sined)(d)(tpmpFxdtnd2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) 上式的積分形式稱為卷積。因此，線性系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響上式的積分形式稱為卷積。因此，線性系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于它脈沖響應(yīng)與激勵(lì)的卷積。這個(gè)結(jié)論稱為博雷爾應(yīng)等于它脈沖響應(yīng)與激勵(lì)的卷積。這個(gè)結(jié)論稱為博雷爾(Borel)定定理，也稱杜哈梅理，也稱杜哈梅(Duhamel)積分。積分。tnntpmpFtx0d)(sin)()(tthFtx0d)()()(tt1對(duì)無阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，得到任意激振力的響應(yīng)對(duì)無阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，得到任意激振力的響應(yīng)用單位脈沖函數(shù)響應(yīng)

34、表示，得到單自由度系統(tǒng)對(duì)任意激振力響用單位脈沖函數(shù)響應(yīng)表示，得到單自由度系統(tǒng)對(duì)任意激振力響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) tdtnddddnttpFmptppvnxtpxtx0)(000d)(sine)(1)sincos(e)(tt1tnnnnntpFmptppvtpxtx000d)(sin)(1sincos)(tt1系統(tǒng)有初始位移和初始速度，則系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)為系統(tǒng)有初始位移和初始速度，則系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)為對(duì)于無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為對(duì)于無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為t t1 即激振力停止作用后，物塊的運(yùn)動(dòng)稱為剩余運(yùn)動(dòng)。即激振力停止作用

35、后，物塊的運(yùn)動(dòng)稱為剩余運(yùn)動(dòng)。)(dd)(11ttxtx、以以為初始條件的運(yùn)動(dòng)為初始條件的運(yùn)動(dòng)2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) 例例 無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受到突加常力無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受到突加常力F0的作用，試求其響應(yīng)。的作用，試求其響應(yīng)。FF0( )x tFkp tn( )(cos)01積分后得響應(yīng)為積分后得響應(yīng)為代入代入在突加的常力作用下，物塊的運(yùn)動(dòng)在突加的常力作用下，物塊的運(yùn)動(dòng)仍是簡諧運(yùn)動(dòng)，只是其振動(dòng)中心沿仍是簡諧運(yùn)動(dòng)，只是其振動(dòng)中心沿力力F0的方向移動(dòng)一距離的方向移動(dòng)一距離Fk0解：取開始加力的瞬時(shí)為解：取開始加力的瞬時(shí)為t = 0，受階躍函數(shù)載荷的圖形，受階躍函數(shù)

36、載荷的圖形如圖所示。設(shè)物塊處于平衡位置，且如圖所示。設(shè)物塊處于平衡位置，且 。000 vx也是彈簧產(chǎn)生的靜變形。也是彈簧產(chǎn)生的靜變形。 2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) 若階躍力從若階躍力從t = a 開始作用，則系開始作用，則系統(tǒng)的響應(yīng)為統(tǒng)的響應(yīng)為0)(cos1 )(sinn0n0 xatpkFdtpmpFxtanat t a2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) F tFtt( ) 010，解：在解：在 階段，系統(tǒng)的響應(yīng)顯階段，系統(tǒng)的響應(yīng)顯然與上例的相同，即然與上例的相同，即01tt)cos1 (n0tpkFx例例 無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到矩形脈沖

37、力無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到矩形脈沖力作用，試求其響應(yīng)。作用，試求其響應(yīng)。當(dāng)當(dāng)t t1時(shí)，時(shí)，F(xiàn) ( t ) = 0，得，得cos)(cosd)(sin1d)(sin)(d)(sin)(1n1n00n0nn0nn111tpttpkFtpFmptpFtpFmpxtttt2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) 系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為cos)(cos)cos1 ()(n1n0n0tpttpkFtpkFtx10tt t t1實(shí)際上，在實(shí)際上，在t t1階段，物塊是以階段，物塊是以t = t1的位移的位移x1和速度和速度 為初為初始條件作自由振動(dòng)。因此，其響應(yīng)也可用下面的方法求得。始條

38、件作自由振動(dòng)。因此，其響應(yīng)也可用下面的方法求得。 x1tppkFxtpkFxnn01n01sin)cos1 (cos)(cos)(sin)(cos)(n1n01nn11n1tpttpkFttppvttpxtx將初始條件將初始條件2.3.4 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng) 例例 題題 系統(tǒng)基礎(chǔ)有階躍加速度系統(tǒng)基礎(chǔ)有階躍加速度 ，初始條件為，初始條件為 ，求質(zhì)，求質(zhì)量量m的相對(duì)位移。的相對(duì)位移。 )(tbu0)0()0( vx解：由牛頓定律，可得系統(tǒng)的微分方程為解：由牛頓定律，可得系統(tǒng)的微分方程為 )()(ssxxkxxcxm )(tmbukxxcxmrrr )(srxxx系統(tǒng)的激振力為系統(tǒng)的激振力為