數(shù)學(xué) 八年級下 北師大版 第二章 分解因式 章末復(fù)習(xí) 知識講解(精品學(xué)案)

1、第二章 分解因式 章末復(fù)習(xí)知識講解一、分解因式的概念（一）概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。（和差化積）易錯點注意：1、被分解的代數(shù)式（等式的左邊）是多項式；2、分解后的因式（等式的右邊）是整式；3、結(jié)果是積的形式；4、結(jié)果的因式必須分解徹底。（二）例：1、計算下列各式：(1) = _ _ _. (2) = _ _ _.(3) = _ _ _. (4) = _ _ _.根據(jù)上述算式填空：(5) =( )( ) (6) =( )( )(7) =( )( ) (8) =( )( )小結(jié)：(1)(4) 是初一所學(xué)的整式的乘法運(yùn)算，而(5)(8)的過程就叫分解

2、因式，故分解因式與整式的乘法運(yùn)算互為逆運(yùn)算關(guān)系。2、下列由左到右的變形，哪一個是分解因式（）A、 B、C、 D、分析：等式的左邊必須是一個多項式（是用加減號連接的式子）；右邊的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是幾個整式的、積的形式 即不能出現(xiàn)分式（分母含字母的式子）和加減號 ，而且結(jié)果的每個因式都不能再被分解為止。A、是積化和差，右邊是減式；B、右邊是和式；D、右邊含有分式，故選C 。3、下列由左到右的變形，屬分解因式的是（）A、 B、C、 D、分析：A、左邊是單項式，不是多項式；B、分解不徹底，右邊結(jié)果的分式還能再被分解為，正確的結(jié)果是，C、結(jié)果應(yīng)當(dāng)是，故選D 。4、已知關(guān)于x的二次三項式分解因式的結(jié)果為,求m，n

3、的值。解：5、甲、乙兩個同學(xué)分解因式，甲看錯了n，分解結(jié)果為；乙看錯了n，分解結(jié)果為；請你分析一下m、n的值，并寫出正確的分解過程。解： ；又 ；故正確的分解過程為：6、k為何值時，多項式有一個因式是？解：設(shè)另一個因式為則：故有：，即，故：7、已知，求的值。解： ， （由已知等式的兩邊同時乘以x得到）故：8、已知，求的值。解：， 9、求證能被24整除。解：因為 ；所以，能被24整除。10、試說明，一個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后，則新數(shù)字與原數(shù)之差能被99整除。解：這原三位為：，依題意，得：故原命題成立。（三）練習(xí)1、下列由左到右的變形,屬分解因式的是( )A、 B、C、 D、2、若多

4、項式可以分解為，則的值為 二、提公因式法分解因式（一）公因式：系數(shù)取最大公約數(shù)；相同字母取最低次冪。（二）提取公因式的方法：每項都從左到右尋找，先考慮系數(shù)（取最大公約數(shù)，第一項若是負(fù)數(shù)則需提取負(fù)號，提取負(fù)號后各項要變號）、再到字母（把每項都有的相同字母提取出來，以最低次冪為準(zhǔn)）。例：分解因式 （三）練習(xí)：分解因式 （四）作業(yè)：分解因式 (五)、習(xí)題1、a47，b32，c21，求的值。2、已知ab13，ab40，求的值。3、已知，求代數(shù)式的值。4、不解方程組，求的值。5、利用因式分解說明能被7整除。6、已知可分解因式為，求m的值。7、計算的結(jié)果為（）A、 B、 C、 D、 8、分解因式。三、運(yùn)用

5、公式分解因式（一）（1）平方差公式：特點：左邊：有二項；符號相反；兩項均為完全平方項。右邊：左邊平方項底數(shù)的和與差的積。例、（2）完全平方公式：特點：左邊：有三項；有兩項分別是兩個數(shù)的完全平方，且符號相同；有一項是平方項底數(shù)的積的2倍。右邊：是左邊平方項底數(shù)的和或差的平方。例、 (二)其他方法，參考附頁提高篇部分。(三)練習(xí)： (四)作業(yè)：分解因式 (五)習(xí)題1、已知ABC的三邊a、b、c滿足，那么ABC是 三角形。2、求方程的整數(shù)解。3、已知，且均為正整數(shù)，求代數(shù)式的值。4、已知ab7，ab2，求的值。5、已知，求，的值。6、請你從下列各式中，任選兩式作差，并將得到的式子進(jìn)行分解因式。，1

6、，9b2ab7、右圖是四個形狀，大小完全相同的長方形拼成的圖形，利用面積的不同表示法，寫出一個代數(shù)恒等式：。8、如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”。如：，因此4,12,20都是“神秘數(shù)”。28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)分別為2k2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？9、已知，求的值。10、請觀察下列等式：根據(jù)前面各式的規(guī)律，請猜想1111222的值是多少？并說明你猜想的正確性。11、在日常生活中，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼。有一種用“分解

7、因式”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶。原理是：如對于多項式，分解因式的結(jié)果是，若取，時，則各個因式的值是：，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式，取x=10，y=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是： 。（寫出一個即可）aaabbb12、已知，如圖1，現(xiàn)在的正方形紙片和的矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）在圖2的虛線方框中拼成一個矩形（每兩個紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡），使拼出的矩形面積為，并標(biāo)出此矩形的長和寬。13、若整式，是完全平方式，請你寫出一個滿足條件的單項式Q是 。14、計算： 15、當(dāng)，求代數(shù)式的值。16、已知，求代數(shù)式的

8、值。17、已知，都是自然數(shù)，且滿足方程，求的值。18、試說明兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)。19、填空：+( ) （ ）2 ( )（ ）2 ( )=（ ）2 （ ）（ ）2 （ ）=（ ）2 ( )（ ）220、是一個完全平方式，那么k應(yīng)為（）A、2B、4C、2y2 D、 4y421、若是完全平方式，則m的值等于（）A、5B、3C、7D、7或122、分解因式，若，則m的值等于（）A、2B、2C、1D、123、若是一個完全平方式，則k。24、如果是一個完全平方式，則m的值是（）A、b2 B、 2b C、 16b2 D、 ±4b25、已知，求的值。26、已知，求ab的值。27、若ab1，

9、ab2，則。28、已知a、b、c是ABC的三邊的長，并且有成立，則ABC是（）A、等邊三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、銳角三角形29、已知，求ab的值。30、若的值為0，則的值為（）A、11B、11C、7D、731、計算：。32、觀察下列各式：，請你猜想到的規(guī)律用自然數(shù)n（n1）表示出來：。33、請先觀察下列算式，再填空：72528×（）； 92( )2=8×4； ( )2928×5； 132( )28×（）通過觀察歸納，寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論：。34、請寫出一個三項式，使它能先提公因式，再運(yùn)用公式來分解。你編寫的三項式是，分解因式的結(jié)果是35

10、、多項式加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是。（填上一個你認(rèn)為正確的即可）ba 圖1ab圖236、如圖1，在邊長為a的正方形挖掉一個邊長為b的小正方形（ab），把余下的部分剪拼成一個矩形如圖2，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）A、 B、 xxxyyyxyC、D、 37、請你觀察圖，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是。38、若是一個完全平方式，則m，n的關(guān)系是。ab39、如圖，邊長為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則的值為。40、已知多項式加上一個單項式后，所得的三項式是一

11、個完全平方式，則這個單項式是。41、若一個三角形的三邊長分別為a、b、c，則代數(shù)式的值（）A、一定是正數(shù)B、一定為負(fù)數(shù)C、可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)D、可能為042、先分解因式，再求值：，其中a3，。提高部分：（二）其他方法：因式分解的四種常用方法分別是：提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、形如x2+（p+q）x+pq的二次三項式的因式分解（也就是十字相乘法）。1、因式分解時要注意四種方法的使用次序：先提公因式再運(yùn)用公式再用十字相乘法最后考慮分組分解法。2、三項式通常用公式法或十字相乘法分解因式；四項或四項以上的式子通常用分組分解法。3、因式分解一定要徹底，分解到各個因式都不能再分解為止。4、因

12、式分解最終結(jié)果一定要進(jìn)行整理：如果有同類項，應(yīng)當(dāng)合并；如果在相同因式，如：（x+y）（x+y）（xy）應(yīng)當(dāng)寫成（x+y）2（xy）；如果有中括號應(yīng)當(dāng)去掉中括號總之應(yīng)當(dāng)滿足最簡原則！（1）十字相乘法：不能直接用完全完全平方公式分解的，形如x2+（p+q）x+pq的二次三項式，可以考慮十字相乘法。（不熟悉這法的同學(xué)可以不看）例1、若x2+y24x6y+13=0，求x+y的值。 此題要用到拆項的思想解：x2+y24x6y+13 不熟悉這法的同學(xué)可以不看=（x24x + 4）+（y26y + 9） 將13拆成兩項4、9=（x2）2+（y3）2 分別形成兩個完全平方式（x2）2+（y3）2=0解得x+y

13、=2+3=5例2、分解因式：x2+xy12y2 解：原式=（x3y）（x+4y）此題易錯把結(jié)果寫成（x3）（x+4），所以建議你在每一例的頂部寫上此列所代表的項中的字母例3、分解因式：x2x解：原式=（x）（x+）此題的系數(shù)是分?jǐn)?shù)，如果你不習(xí)慣分?jǐn)?shù)形式的十字相乘，也可先提出此分?jǐn)?shù)，解題過程如下：解：原式=（6x2x1）=（2x1）（3x+1）例4、分解因式：（x24x）22（x24x）15解：原式=（x24x）+3 （x24x）5 把（x24x）看成一個整體，整個式子看成一個二次三項式=（x24x+3）（x24x5）因式分解一定要徹底，這兩個式子可分別用十字相乘法分解=（x1）（x3）（x+1

14、）（x5）（2）分組分解法：分組分解法是綜合性較強(qiáng)的一種方法，也是學(xué)生們不易掌握的一種方法。它有以下幾種情形：、分組后直接提公因式，再進(jìn)一步提取公因式例1 ：把a(bǔ)2ab+ac-bc因式分解解：原式（a2ab）+(ac-bc) =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c)、分組后直接運(yùn)用公式法，此種方法又可分為三類1、分組后直接運(yùn)用公式法，再進(jìn)一步提取公因式例2.：把a(bǔ)2-b2+a-b因式分解解：原式（a+b）(a-b)+(a-b) =(a-b)(a+b+1)2、分組后直接運(yùn)用公式法，再進(jìn)一步運(yùn)用公式法例3：把a(bǔ)2-2ab+b2-c2因式分解解：原式(a2-2ab+b2 ) -c2=（a

15、-b）2-c2=(a-b+c)(a-b-c)3、分組后直接運(yùn)用公式法，再進(jìn)一步用十字相乘法例4：把a(bǔ)2-2ab+b2 a+b-2 因式分解解：原式(a2-2ab+b2 )-(a-b)=（a-b）2-(a-b)-2 =(a-b)+1(a-b)-2 =(a-b+1)(a-b-2)、分組后直接運(yùn)用十字相乘法，此種方法又可分為二類1、分組后直接運(yùn)用十字相乘法，再進(jìn)一步提取公因式例5：把a(bǔ)2-2ab-3b2+2a-6b因式分解解：原式(a+b)(a-3b)+2(a-3b) =(a-3b) (a+b)+2 =(a-3b)(a+b+2)2、分組后直接運(yùn)用十字相乘法，再進(jìn)一步運(yùn)用十字相乘法例6： 把a(bǔ)2-ab-2b2+a+4b-2因式分解解：原式(a+b)(a-2b)+2a-a+2b+2b-2 =(a+b)(a-2b)+2(a+b)-(a-2b)-2 =(a+b)-1 (a-2b)-2 =(a+b-1)(a-2b-2)練習(xí)1、填空題