材料力學公式大全(機械)

1、材料力學常用公式 1. 外力偶矩計算公式 （P功率，n轉速） 2. 彎矩、剪力和荷載集度之間的關系式 3. 軸向拉壓桿橫截面上正應力的計算公式 （桿件橫截面軸力FN，橫截面面積A，拉應力為正） 4. 軸向拉壓桿斜截面上的正應力與切應力計算公式（夾角a 從x軸正方向逆時針轉至外法線的方位角為正）5. 縱向變形和橫向變形（拉伸前試樣標距l(xiāng)，拉伸后試樣標距l(xiāng)1；拉伸前試樣直徑d，拉伸后試樣直徑d1） 6. 縱向線應變和橫向線應變 7. 泊松比 8. 胡克定律 9. 受多個力作用的桿件縱向變形計算公式? 10. 承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計算公式 11. 軸向拉壓桿的強度計算公式 12.

2、許用應力 ， 脆性材料 ，塑性材料 13. 延伸率 14. 截面收縮率 15. 剪切胡克定律（切變模量G，切應變g ） 16. 拉壓彈性模量E、泊松比和切變模量G之間關系式 17. 圓截面對圓心的極慣性矩（a）實心圓 （b）空心圓 18. 圓軸扭轉時橫截面上任一點切應力計算公式（扭矩T，所求點到圓心距離r ） 19. 圓截面周邊各點處最大切應力計算公式 20. 扭轉截面系數(shù) ，（a）實心圓 （b）空心圓 21. 薄壁圓管（壁厚 R0 /10 ，R0 為圓管的平均半徑）扭轉切應力計算公式 22. 圓軸扭轉角與扭矩T、桿長l、 扭轉剛度GHp的關系式 23. 同一材料制成的圓軸各段內的扭矩不同或各

3、段的直徑不同（如階梯軸）時 或 24. 等直圓軸強度條件 25. 塑性材料 ；脆性材料 26. 扭轉圓軸的剛度條件? 或 27. 受內壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應力計算公式, 28. 平面應力狀態(tài)下斜截面應力的一般公式 , 29. 平面應力狀態(tài)的三個主應力 , , 30. 主平面方位的計算公式 31. 面內最大切應力 32. 受扭圓軸表面某點的三個主應力， ， 33. 三向應力狀態(tài)最大與最小正應力 , 34. 三向應力狀態(tài)最大切應力 35. 廣義胡克定律 36. 四種強度理論的相當應力 37. 一種常見的應力狀態(tài)的強度條件 ， 38. 組合圖形的形心坐標計算公式 ， 39. 任意截面圖

4、形對一點的極慣性矩與以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和的關系式 40. 截面圖形對軸z和軸y的慣性半徑? , 41. 平行移軸公式（形心軸zc與平行軸z1的距離為a，圖形面積為A） 42. 純彎曲梁的正應力計算公式 43. 橫力彎曲最大正應力計算公式 44. 矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)? ， ， 45. 幾種常見截面的最大彎曲切應力計算公式（為中性軸一側的橫截面對中性軸z的靜矩，b為橫截面在中性軸處的寬度） 46. 矩形截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處 47. 工字形截面梁腹板上的彎曲切應力近似公式 48. 軋制工字鋼梁最大彎曲切應力計算公式 49. 圓形截面梁最大彎曲切應力

5、發(fā)生在中性軸處 50. 圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處 51. 彎曲正應力強度條件 52. 幾種常見截面梁的彎曲切應力強度條件 53. 彎曲梁危險點上既有正應力又有切應力作用時的強度條件 或 ， 54. 梁的撓曲線近似微分方程 55. 梁的轉角方程 56. 梁的撓曲線方程? 57. 軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應力計算公式 58. 偏心拉伸（壓縮） 59. 彎扭組合變形時圓截面桿按第三和第四強度理論建立的強度條件表達式 ， 60. 圓截面桿橫截面上有兩個彎矩和同時作用時，合成彎矩為 61. 圓截面桿橫截面上有兩個彎矩和同時作用時強度計算公式 6

6、2.63. 彎拉扭或彎壓扭組合作用時強度計算公式 64. 剪切實用計算的強度條件 65. 擠壓實用計算的強度條件 66. 等截面細長壓桿在四種桿端約束情況下的臨界力計算公式 67. 壓桿的約束條件：（a）兩端鉸支 =l（b）一端固定、一端自由 =2（c）一端固定、一端鉸支 =0.7（d）兩端固定 =0.5 68. 壓桿的長細比或柔度計算公式 ， 69. 細長壓桿臨界應力的歐拉公式 70. 歐拉公式的適用范圍 71. 壓桿穩(wěn)定性計算的安全系數(shù)法 72. 壓桿穩(wěn)定性計算的折減系數(shù)法 73. 關系需查表求得 1、 材料力學的任務：強度、剛度和穩(wěn)定性；應力 單位面積上的內力。平均應力 （1.1）全應力

7、 （1.2）正應力 垂直于截面的應力分量，用符號表示。切應力 相切于截面的應力分量，用符號表示。應力的量綱： 線應變 單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構件上一點沿某一方向變形量的大小。外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據軸的轉速n與傳遞的功率P來計算。當功率P單位為千瓦（kW），轉速為n（r/min）時，外力偶矩為當功率P單位為馬力（PS），轉速為n（r/min）時，外力偶矩為拉（壓）桿橫截面上的正應力拉壓桿件橫截面上只有正應力，且為平均分布，其計算公式為 (3-1)式中為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負號規(guī)定 拉應力為正，壓應力為負。公式（3-1）的適用條件：（

8、1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產生局部應力集中現(xiàn)象，橫截面上應力分布很不均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側棱邊的夾角時拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應力為平均分布，其計算公式為全應力 (3-2)正應力 （3-3）切應力 （3-4）式中為橫截面上的應力。正負號規(guī)定：由橫截面外法線轉至斜截面的外法線，逆時針轉向為正，反之為負。 拉應力為正，壓應力為負。 對脫離體內一點產生順時針力矩的為正，反之為負。兩點結論：（1）當時，即橫截面上，達到最大值，即。當=時，即縱截面上，=0。（2）當時

9、，即與桿軸成的斜截面上，達到最大值，即12 拉（壓）桿的應變和胡克定律（1）變形及應變桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。圖3-2軸向變形 軸向線應變 橫向變形 橫向線應變 正負號規(guī)定 伸長為正，縮短為負。（2）胡克定律當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。即 （3-5）或用軸力及桿件的變形量表示為 (3-6)式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內工作，即；(b)在計算時，l長度內其N、E、A均應為常量。如桿件上各段不同，則應分段計算，求其代數(shù)和得總變

10、形。即 (3-7)(3)泊松比 當應力不超過材料的比例極限時，橫向應變與軸向應變之比的絕對值。即 (3-8)表1-1 低碳鋼拉伸過程的四個階段階 段圖1-5中線段特征點說 明彈性階段oab比例極限彈性極限為應力與應變成正比的最高應力為不產生殘余變形的最高應力屈服階段bc屈服極限為應力變化不大而變形顯著增加時的最低應力強化階段ce抗拉強度為材料在斷裂前所能承受的最大名義應力局部形變階段ef產生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2 主要性能指標性能性能指標說明彈性性能彈性模量E當強度性能屈服極限材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強度材料的最大承載能力塑性性能延伸率材料拉斷時的塑性變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度

11、強度計算許用應力 材料正常工作容許采用的最高應力，由極限應力除以安全系數(shù)求得。塑性材料 = ； 脆性材料 =其中稱為安全系數(shù)，且大于1。強度條件：構件工作時的最大工作應力不得超過材料的許用應力。對軸向拉伸（壓縮）桿件 （3-9）按式（1-4）可進行強度校核、截面設計、確定許克載荷等三類強度計算。2.1 切應力互等定理受力構件內任意一點兩個相互垂直面上，切應力總是成對產生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應力與否無關。2.2純剪切單元體各側面上只有切應力而無正應力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應力狀態(tài)。2.3切應變切應力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應變

12、或切應變，用表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內，切應力與切應變成正比，即 (3-10) 式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比）,其數(shù)值由實驗決定。對各向同性材料,E、 、G有下列關系 (3-11)2.5.2切應力計算公式橫截面上某一點切應力大小為 (3-12)式中為該截面對圓心的極慣性矩，為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應力為 (3-13)式中稱為扭轉截面系數(shù)，R為圓截面半徑。2.5.3 切應力公式討論（1） 切應力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸

13、亦可近似應用，其誤差在工程允許范圍內。（2） 極慣性矩和扭轉截面系數(shù)是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉破壞和變形的能力愈強。因此，設計空心軸比實心軸更為合理。 表3-3實心圓（外徑為d）空心圓（外徑為D，內徑為d）2.5.4強度條件圓軸扭轉時，全軸中最大切應力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強度條件為 (3-14) 對等圓截面直桿 （3-15）式中為材料的許用切應力。3.1.1中性層的曲率與彎矩的關系 (3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點

14、彎曲正應力計算公式 (3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；的意義同上；y是欲求正應力的點到中性軸的距離最大正應力出現(xiàn)在距中性軸最遠點處 （3-18）式中，稱為抗彎截面系數(shù)。對于的矩形截面，；對于直徑為D的圓形截面，；對于內外徑之比為的環(huán)形截面，。若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應力與最大壓應力數(shù)值相等，若不是對稱軸，則最大拉應力與最大壓應力數(shù)值不相等。3.2梁的正應力強度條件梁的最大工作應力不得超過材料的容許應力，其表達式為 （3-19）對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強度條件應表達為 （3-20a） （3-20b）式中，分別是材

15、料的容許拉應力和容許壓應力；分別是最大拉應力點和最大壓應力點距中性軸的距離。3.3梁的切應力 （3-21）式中，Q是橫截面上的剪力；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。3.3.1矩形截面梁切應力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應力計算公式 （3-22）最大切應力發(fā)生在中性軸各點處，。3.3.2工字形截面梁切應力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔。切應力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為 (3-23)近似計算腹板上的最大切應力： d為腹板

16、寬度 h1為上下兩翼緣內側距3.3.3圓形截面梁橫截面上同一高度各點的切應力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應力發(fā)生在中性軸上，其大小為 （3-25）圓環(huán)形截面上的切應力分布與圓截面類似。3.4切應力強度條件梁的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力，即 (3-26)式中，是梁上的最大切應力值；是中性軸一側面積對中性軸的靜矩；是橫截面對中性軸的慣性矩；b是處截面的寬度。對于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。4.2剪切的實用計算名義切應力：假設切應力沿剪切面是均勻分布的 ，則名義切應力為 （3-27）剪切強度條件：剪切面上的工作

17、切應力不得超過材料的 許用切應力,即 （3-28）5.2擠壓的實用計算名義擠壓應力 假設擠壓應力在名義擠壓面上是均勻分布的，則 （3-29）式中，表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當擠壓面為平面時為接觸面面積，當擠壓面為曲面時為設計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的 投影面積。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力 （3-30）1， 變形計算圓軸扭轉時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉動而產生相對扭轉角。相距為l的兩個橫截面的相對扭轉角為 (rad) (4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為 (rad) (4.5) 圖4.2 式中稱為

18、圓軸的抗扭剛度。顯然，的正負號與扭矩正負號相同。公式（4.4）的適用條件：（1） 材料在線彈性范圍內的等截面圓軸，即；（2） 在長度l內，T、G、均為常量。當以上參數(shù)沿軸線分段變化時，則應分段計算扭轉角，然后求代數(shù)和得總扭轉角。即 (rad) (4.6)當T、沿軸線連續(xù)變化時,用式(4.4)計算。2， 剛度條件扭轉的剛度條件 圓軸最大的單位長度扭轉角不得超過許可的單位長度扭轉角,即 (rad/m) (4.7)式 （） （4.8）2，撓曲線的近似微分方程及其積分 在分析純彎曲梁的正應力時，得到彎矩與曲率的關系 對于跨度遠大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得 利用平面曲線的曲率公

19、式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即 （4.9）將上式積分一次得轉角方程為 （4.10）再積分得撓曲線方程 （4.11）式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當梁分為若干段積分時，積分常數(shù)的確定除需利用邊界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3，梁的剛度條件 限制梁的最大撓度與最大轉角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即 ， （4.12）3，軸向拉伸或壓縮桿件的應變能在線彈性范圍內，由功能原理得 當桿件的橫截面面積A、軸力FN為常量時，由胡克定律，可得 （4.14）桿單位體積內的應變能稱為應變能密度，用表示。線彈性范圍內，得 （4.15） 4，圓截面直桿扭轉應變能在線彈性

20、范圍內，由功能原 將與代入上式得 （4.16） 圖4.5根據微體內的應變能在數(shù)值上等于微體上的內力功，得應變能的密度： （4.17） 5，梁的彎曲應變能在線彈性范圍內，純彎曲時，由功能原理得 將與代入上式得 （4.18） 圖4.6橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應用式（4.18），積分得全梁的彎曲應變能，即 （4.19）2截面幾何性質的定義式列表于下：靜 矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩3慣性矩的平行移軸公式靜矩：平面圖形面積對某坐標軸的一次矩，如圖-1所示。定義式： ， （-1）量綱為長度的三次方。由于均質薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標和。則由此可得薄板重心的坐標 為 同理有 所以形心坐標 ， （-2）或 ，由式（-2）得知，若某坐標軸通過形心軸，則圖形對該軸的靜矩等于零，即 ， ； ，則 ；反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標軸有關，其值可能為正，負或零。如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設第 I 塊分