(完整word)三角恒等變換各種題型歸納分析,推薦文檔

1、河南省葉縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)組鄭志祥整理編寫三角恒等變換基礎(chǔ)知識及題型分類匯總一、知識點(diǎn)：（一）公式回顧：coscoscossinsin簡 記 ：C（）.sinsincoscossin.簡 記 ：S（）tan()tantan,簡記：T1tantansin 22 sincos ， 簡 記 S 2cos 2cos 2sin 2,簡記C2tan 22 tan(k且k）簡 記T 21 tan224,2cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角公式不僅限于2是的二倍的形式，其它如4是 2的兩倍， /2 是 /4 的兩倍， 3是3 /2 的兩倍， /3 是 /6 的兩倍等，所有這些都可以應(yīng)用二倍角公

2、式。因此，要理解“二倍角 ”的含義，即當(dāng)=2時(shí)，就是的二倍角。凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式。（二）公式的變式1sin 2(sincos) 21cos22 cos21cos22 sin2cos21cos221coscos221cossin22sin 21 cos2sin21cos2tan1cossin1cos2cos1costan21cos1cossin2公式前的號，取決于2輔助角（合一）公式：所在的象限，注意討論.a sin xb cosxa 2b 2a 2asin xbb 2cos xb 2a 2a 2b 2 sin(x)其中tanba二典例剖析：基礎(chǔ)題型河南省葉縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)組

3、鄭志祥整理編寫題型一：公式的簡單運(yùn)用例 1:5 , 求 sin 4, cos 4, tan 4 .課本例題 已知 sin 21342同型練習(xí) 已知 cos12 , ,求 sin, cos, tan .21322課本例題在ABC中，42,求tan(2A2B).cos A, tan B5提高練習(xí) 已知 sin x3 , x, tan(y)1 ,求 tan(x 2y).522題型二：公式的逆向運(yùn)用例 2:求下列各式的值：1.(1) sin 22.5 cos22.5 ; ( 2)2 tan15; (3)12sin 2 751tan2 15化簡下列各式：2.1 tan23(1) sin 42cos4;(

4、2)32; (3) sin4cos42tan2求值：cos53.(1) cos12; ( 2) cos36 cos7212題型三：升降冪功能與平方功能的應(yīng)用例 3.1.化簡下列各式：(1)1sin 40 ; (2)1sin;(3)1cos20 ; (4)1cos化簡： 1sin 2cos21sin 2cos22.(1)sin 2cos2;(2)sin 2cos2113.已知 sin xcos x1 ,0x, 求 sin 2x和 cos2x.3提高題型：題型一：合一變換（利用輔助角公式結(jié)合正余弦的和角差角公式進(jìn)行變形）例 11 .sin3 cos1212當(dāng)銳角取何值時(shí), (13 ) sin 2(

5、13 ) cos 2有最大值？并求這個最大值.2 .求3 sin( x 10) 5 sin( x 70的最大值.3. y)方法：角不同的時(shí)候，能合一變換嗎？河南省葉縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)組鄭志祥整理編寫求函數(shù)y 2sin( x 10 )2 cos(x的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值 時(shí)的 的值4.55 )x.5. f ( x)a sin xb cosx,當(dāng)f (且的最小值為k時(shí)，求的取值范圍.) 1f (x)k3求函數(shù)y32sin x 的值域.6.22 cosx方法：1.轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的最值2.合一變換 +有界性3.萬能公式換元為二次分式題型 2：角的變換（1）把要求的角用已知角表示例 21.

6、已知,為銳角， sin8, cos()21 , 求 cos的值 .1729類似題 ,為銳角 , cos4 , tan()1, 求 cos的值 .532.已知23, sin()3,cos()12, 求 cos 2的值 .4513類似題 已知 cos21 ,sin22, 且2,0, 求 cos.9322方法： 1、想想常見的角的變換有哪些？2、求值時(shí)注意討論研究角的范圍。3.cos43 ,sin512 ,且0,4, 3, 求 sin().541344類似題 已知,3，0,，3 ，35,求sin().4cos45sin413444.已知 sin( 2)2 sin , 求證：tan3 tan().類似

7、題 已知7 sin3sin(),求證：2)5 tan .2 tan(22證明的方法也是角的變換：把要求證的角轉(zhuǎn)化為已知的角.（ 2）互余與互補(bǔ)3tan61.已知 cos xm, 則 sin 2x_ .2.化簡：413 cot33.已知 sinx3,求 sin 2x4.已知 cosx37x7，求sin 2x2sin 2 x454, 且1241tan x5方法：善于發(fā)現(xiàn)補(bǔ)角和余角解題，關(guān)注4x ,4x , 2 x三者關(guān)系題型 3：非特殊角求值例 3:1.2 cos10sin 20 ; 類似題 sin7cos15 sin8cos 20cos7sin15 sin82.13;類似題 13sin 10si

8、n 50cos50cos10河南省葉縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)組鄭志祥整理編寫3. tan1; 類似題 sin 2cos28tan1281212 sin 704.2sin 1705.( tan10cos103)sin 506.1 cos20sin10 ( cot 5 tan 5 )2 sin 201317.cos2 10cos20cos2 808. 2 sin 50sin10 (13 tan10 ) 2 sin2 80方發(fā)： (1) 減少非特殊角的數(shù)量；(2)注意“倍”、“半”。題型 4：式的變換1、 tan( ± ) 公式的變用tantantan()(1tan tan)1tantan()1ta

9、n)1tan1tan(4tan4例 4:化簡：1. tantantantan;類似題 tan111tan114tan111tan1141261262.tan 18tan 423 tan18tan 42 類似題 tan(x)tan(x)3tan(x) tan(x)3. tan 20tan 60tan 60tan10tan10tan 2066664.(1tan1 )(1tan 2)(1tan 44 )(1tan 45 )5.tan(18x) tan(12x)3 tan(18x)tan(12x)x)tan(x6.tan()2442由 5可推廣：4,則 (1tan)( 1tan) 2, 為什么？2、齊

10、次式sincos1.1212sincos1212已知tan, tan是方程6x25x1的兩個實(shí)數(shù)根 求: (1) tan()的值；2.0.2()cos() sin()2的值(2) sin3cos ().河南省葉縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)組鄭志祥整理編寫3、 “ 1的”運(yùn)用（ 1± sin , 1± cos湊完全平方）1.化簡下列各式：(1)1 sin;(2) 1cos化簡： 1sin 2cos 21sin 2cos 22.(1)1sin 2cos 2; (2)sin 2cos 213.已知 sin xcos x1 ,0x, 求 sin 2x和 cos2 x.34、兩式相加減，平方相加減

11、1.已知 sinsin3 , coscos4 ,求 cos().55類似題 1已知 cossin1 ,sincos1 , 求 sin().23類似題 2已知 sinsinsin0, coscoscos0, 求 cos().2.已知 cos()1 , cos()3 , 求 tantan的值 .55類似題 已知 sin()1, sin()1, 求 tan的值 .23tan全國銳角ABC中, sin(A31求證：2 tan B3.(2004)B),sin(A B),(1)tan A55(2)若AB3,求AB 邊上的高 .類似題中BAC45 ,BC邊上的高把BC分成BD的兩部分，求ABC的面積.ABC

12、 ,2,DC 35、一串特殊的連鎖反應(yīng)（角成等差，連乘）求值：1.cos36cos722.sin103.cos11sin 30211sin 50311sin 70411cos511 類似題 sin 6 sin 42 sin 66 sin 78xxx242題型5：函數(shù)名的變換要點(diǎn)： (1)切化弦； (2)正余互化32,2例 5: 1.(1)若 fxx求證： fx) sin17x(2)xR nZ且f(sinx)n1)x求fx)(cos) cos17,(sin,sin(4,(cos化簡2 cos213.化簡sin 2(1tan 2tan).2.) sin 2 ()2 tan(44若銳角,滿足tant

13、an13且sin()5求(1) cos(); (2) cos().4.,73題型 6：給值求角要點(diǎn)：先確定角的范圍（盡可能縮?。?，再選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)例 6:河南省葉縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)組鄭志祥整理編寫1. , 為銳角 , cos25, sin10, 求的值.510類似題 已知,為鈍角且sin5, sin10,求的值.,5102. , 為銳角 , tan1 , tan1 , tan1 , 求.258已知tan()11且(0,),(0,),求2的值.3., tan,27類似題 已知0,0,且3sinsin(2),4tan1 tan2,求的值.4422已知3sin22sin21,3sin 22sin 20,

14、為銳角，求2 .4.題型 7：化簡與證明方法：上述7 類常見方法思路：變同角，變同名，變同次例 7:已知7 sin3sin(),求證：25 tan1.2tan22sincossincos2.化簡：111 sincos1 sincos(1sincos)(sincos)3.化簡22 cos22(0)4.sin 2sin 2cos2cos21cos 2 cos2 .25.化簡：1 sin3cos2 tan()cottan2cos2()422242題型 8：綜合應(yīng)用例 8:設(shè)sin 2xcos2x求的最小正周期；求f ( x)的值域.1. f ( x)tan x.(1)f (x)(2)cot x已知函

15、數(shù)f ( x)223 sin x cosxa,若f (x)在， 上最大值與最小值之和 為 ，求 的值2.2 cos x633a.已知函數(shù)f ( x)3 sin 2x2 sin2x, xR.3.612(1)求函數(shù)的最小正周期；求使函數(shù)f ( x)取得最大值的x的集合.f (x)(2)福建若函數(shù)f ( x) sin2x3 sin x cos x 2cos2x.4.(06)(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增 區(qū)間；f (x)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)ysin 2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換 得到？(2)f ( x)河南省葉縣高級中學(xué)數(shù)學(xué)組鄭志祥整理編寫總結(jié)：一、 S±、C±公式的逆向運(yùn)用? （

16、 1）變角，以符合公式的形式 （ 2）合一變換二、角的變換? 1、變換角：要點(diǎn)： （ 1）把要求的角用已知角表示； （ 2）注意角的范圍? 2、互余與互補(bǔ)三、非特殊角求值?方向：（ 1）減少非特殊角的個數(shù)（ 2）關(guān)注倍、半角關(guān)系（3）利用一些特殊的數(shù)值四、式的變換? 1、 tan( ± )公式的變用? 2、齊次式? 3、 “ 1的”運(yùn)用（ 1± sin , 1± cos湊完全平方）? 4、兩式相加減，平方相加減? 5、一串特殊的連鎖反應(yīng)（角成等差，連乘）五、函數(shù)名的變換? 要點(diǎn)：（ 1）切割化弦； （ 2）正余互化六、倍、半角公式的功能? （ 1）升降冪功能， （ 2）平方功能（ 1± sin , 1± cos）七、給值求角問題? 要點(diǎn)：（ 1）先確定角的范圍（盡可能縮?。?，（ 2）選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)八、化簡與證明問題? 思路：變同角，變同名，變同次補(bǔ)充公式（了解）sincos1sin()sin()sinsi