圓錐曲線常見題型及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 圓錐曲線常見題型歸納一、基礎(chǔ)題 涉及圓錐曲線的基本概念、幾何性質(zhì)，如求圓錐曲線的標準方程，求準線或漸近線方程，求頂點或焦點坐標，求與有關(guān)的值，求與焦半徑或長（短）軸或?qū)崳ㄌ摚┹S有關(guān)的角和三角形面積。此類題在考試中最常見，解此類題應(yīng)注意：（1）熟練掌握圓錐曲線的圖形結(jié)構(gòu)，充分利用圖形來解題；注意離心率與曲線形狀的關(guān)系；（2）如未指明焦點位置，應(yīng)考慮焦點在軸和軸的兩種（或四種）情況；（3）注意，的區(qū)別及其幾何背景、出現(xiàn)位置的不同，橢圓中，雙曲線中，離心率，準線方程；例題： （1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 （ ）A B C D（答：C）；（

2、2）方程表示的曲線是_ （答：雙曲線的左支）（3）已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_ （答：2）（4）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_ （答：）； （5）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_（答：）；（6）設(shè)中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_（答：）二、定義題 對圓錐曲線的兩個定義的考查，與動點到定點的距離（焦半徑）和動點到定直線（準線）的距離有關(guān)，有時要用到圓的幾何性質(zhì)。此類題常用平面幾何的方法來解決，需要對圓錐曲線的（兩個）定義有深入、細致、全面的理解和掌握。常用到的平面幾何知識有：中垂線、角平分線的性

3、質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，解三角形（正弦余弦定理、三角形面積公式），當條件是用向量的形式給出時，應(yīng)由向量的幾何形式而用平面幾何知識；涉及圓的解析幾何題多用平面幾何方法處理；圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1） 橢圓（以（）為例）：范圍：； 焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2； 準線：兩條準線；離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。例：（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2） 雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：

4、兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準線：兩條準線； 兩條漸近線：。離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；例：（3）雙曲線的漸近線方程為y=±3x/4,則雙曲線的離心率為_ （4）雙曲線的離心率為，則=（答：4或）； （5）設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準

5、線：一條準線； 離心率：，拋物線。 （4）點和橢圓（）的關(guān)系：（1）點在橢圓外； 2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內(nèi)例：（6）設(shè)，則拋物線的焦點坐標為_（答：）；（7）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為_（答：）；（8）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于_；（9）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標為_（答：）；（10）點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為_（答：）；三、直線與圓錐曲線的關(guān)系題 （1）寫直線方程時，先考慮斜率存在，把直線方程設(shè)為的形式，但隨后應(yīng)對斜率不存在的情況作出

6、相應(yīng)說明，因為不存在的情況很特殊，一般是驗證前面的結(jié)論此時是否成立；（2）聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消去或消去，得到方程 或 ，此方程是后一切計算的基礎(chǔ)，應(yīng)確保不出錯。（3）當方程或的二次項系數(shù)時,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判別式，這種情況是直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行；（過拋物線外一點作與拋物線只有一個公共點的直線有三條， 過雙曲線含中心的區(qū)域內(nèi)一點（不在漸近線上）作與雙曲線只有一個公共點的直線有四條；）（4）當方程或的二次項系數(shù)時，判別式、，與之相對應(yīng)的是，直線與圓錐曲線分別相離、相切、相交。如直線與圓錐曲線有公共點，應(yīng)用來求斜率的范圍；例題：（1）過點作直

7、線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有_（答：2）； （2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_（答：）；（3）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）； （4）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若AB4，則這樣的直線有_條（答：3）；（5）直線與圓錐曲線相交成弦（前提，），記為，其中，的坐標可由方程或求得，一般是由方程求出，再代入直線方程求，或由方程求出，再代入直線方程求。（6）涉及弦長問題，可用韋達定理，由方程 求出，在直線上，,。 請注意，如果聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去，得到 ，繼而用韋達定理，求出，,；（6）若

8、拋物線的焦點弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點（7） 涉及弦中點問題，可用韋達定理，由方程 求出，設(shè)弦的中點為，則，點也在直線上，。如果問題僅僅與弦中點和弦的斜率有關(guān)，而不涉及弦長，則可把弦的坐標，直接代入曲線方程，然后相減，因式分解，所得的式子中只有、，這些都與弦中點坐標和弦的斜率有關(guān)。（點差法）（8）弦滿足有關(guān)的向量的條件，如（為原點），則， ，.又如過橢圓的右焦點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！例：（1）拋物線上的兩點A、B到焦

9、點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為_（答：2）；（2）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；（3）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（答：）；（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。如（4）與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_（答：）（5）經(jīng)過雙曲線的右焦點F2作傾斜角為30°的弦AB，（1）求|AB|（2）求三角形的周長，（F1是左焦點）（6）已知拋物線與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點（1）求證：（2）當

10、，求k的值。（7）已知動直線與橢圓相交于、兩點,已知點 ， 求證：為定值. 解: 將代入中得 ， ，所以 。（8）過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。四、關(guān)于圓錐曲線的最值（1）圓錐曲線上的動點到一個定點的距離的最值。設(shè)動點的坐標，用兩點間的距離公式表示距離，利用點的坐標滿足圓錐曲線方程，消去（或消去），把表示成（或）的二次函數(shù)，因為（或）有一個取值范圍（閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間），所以問題轉(zhuǎn)化為：求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。有時須針對二次函數(shù)的對稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系進行分類討論。（2）圓錐曲線上的動點到一條定直線的距離的最值。作圓錐曲線與定直線平行的切線，切點即為所求的點，

11、切線與定直線的距離即為所求最值。例：（1）橢圓x2/3+y2=1上的點到直線x-y+4=0的最短距離；五、求動點的軌跡方程（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；注意：不重合的兩條直線與，的法向量為：，方向向量為，且；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；(1)已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。（2）線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物

12、線，則此拋物線方程為（答：）；定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；(3)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，APB=600，則動點P的軌跡方程為（答：）；（4）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_ （答：）；(5) 一動圓與兩圓M：和N：都外切，則動圓圓心的軌跡為（答：雙曲線的一支）；代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；(6)動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_（答：）；（7）

13、AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MNAB，垂足為N，在OM上取點，使，求點的軌跡。（答：）；（8）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是_（答：）；（9）過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是_（答：）；（14全國卷）20.（本小題滿分12分）已知點（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為坐標原點.（）求的方程；（）設(shè)過點的直線與相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求的方程.20.（本小題滿分12分）解：（）設(shè)，由條件知，得，又，所以故的方程為5分（）當軸時不合題意，故設(shè)，將代入得當，即時，從而又點到直線的距離，所以的面積9分設(shè)，

14、則，因為，當且僅當，即時等號成立，且滿足所以當?shù)拿娣e最大時，的方程為或12分答案一：1.C 2.雙曲線的左支3y=x2/4 即x2=4y焦點F為（0,1）準線：y=-1過點P作PMy=-1于MPM=PFy+|PQ|=PM+|PQ|-1=PF+|PQ|-1當F,P,Q三點共線時PF+|PQ|最小（PF+|PQ|）min=（22）2+1=3（y+|PQ|）min=（PF+|PQ|-1）min=3-1=24.）； 5.； 6.二：1. 3或 2.設(shè)焦點在x軸上,則橢圓上的一點和兩個焦點為頂點的三角形,底邊長為2c,面積最大時,底邊上的高最大,即該動點必須位于橢圓與y軸的交點上,即此時高為b,即 2c

15、*b/2=1,bc=1,c=1/b而c2= a2-b2 =(1/b)2 即a2= b2 +(1/b)2 2a2 長軸2a223. （1）焦點在x軸上,漸近線y=±(b/a)x b/a=3/4 b=3t, a=4t c=5t e=c/a=5/4（2）焦點在y軸上,漸近線y=±(a/b)x a/b=3/4 a=3t, b=4t c=5t e=c/a=5/3 4. 4或5. e=c/a2,2,cos(-)/2=a/c1/2,1/2, (-)/2/4,/3,-/2,2/3, 的取值范圍是/3,/2.6. 7. 8. 7 9. （ ） 10. 三： 1、2 2.顯然該拋物線焦點是（2

16、,0）這個點在x=5上.解方程組x=5,y²=8x ,則x=5,y=210.該點坐標為（5,210）.用公式算得該點至拋物線距離為7.2.設(shè)直線為y=kx+a,過（0,2）點,可得a=2y=kx+2與x2/9-y2/16=1有且只有一個公共點也就是方程組x2/9-y2/16=1；y=kx+2只有一組解將y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此討論：當16-9k2=0時,方程只有一組解,也就是k=±(4/3)時,方程只有一組解當16-9k2不等于0時,一元二次方程有且只有唯一解的條件也就是b2-4ac=0,可以得到另一組k的

17、值3：橢圓，且，直線恒過定點，欲使其與橢圓恒有公共點，只需讓落在橢圓內(nèi)或者橢圓上，即：，選C.4. X2 - Y2/2 =1 c²=1+2=3 F(3,0)過F且垂直x軸的直線是x=3 代入則y²=4 y=±2所以此時AB=2-(-2)=4 所以這里有一條且AB都在右支時其他的直線則AB都大于4 所以AB都在右支只有1條直線L交雙曲線于A,B兩點,A、B分別在兩支時, 頂點是(-1,0),(1,0)頂點距離是2<4 所以也有兩條,關(guān)于x軸對稱 所以共有3條1. 2 2. 3. 4. 56、 （1）將y=k(x+1)代入y2=-x, 設(shè)A（X1,y1）,B(X

18、2,y2)易得X1+X2=-(2k2+1)/k2,X1*X2=1y1*y2=k2(X1+1)(X2+1)=-10A斜率K1為y1/X1,0B斜率K2為y2/X2,所以K1*K2=-1得證（2）1/2(根x12+y12*根下x22+yx2)=根10 （x12+y12）*（x22+yx2）=40x12x22+(x12+y22+x22y12)=40 2-(x12x2+x22x1)=40x1x2(x1+x2)=-38 (2k2+1)/-k2=-38 k2=1/36 k=-1/67、 7、解: 將代入中得 ， ，所以 。8.設(shè)直線與橢圓的交點為、為的中點 又、兩點在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。四、 1.解：將直線L向橢圓方向平移至直線L:x-y+c=0，使直線L與橢圓恰好相切，切點為P，把x=y-c代入橢圓方程x2/3+y2=1（1）,得 （y-c)2/3+y2=1 整理得：4y2-2cy+c2-3=0 由=0得4c2-4×