圓錐曲線(xiàn)常見(jiàn)題型及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 圓錐曲線(xiàn)常見(jiàn)題型歸納一、基礎(chǔ)題 涉及圓錐曲線(xiàn)的基本概念、幾何性質(zhì)，如求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求準(zhǔn)線(xiàn)或漸近線(xiàn)方程，求頂點(diǎn)或焦點(diǎn)坐標(biāo)，求與有關(guān)的值，求與焦半徑或長(zhǎng)（短）軸或?qū)崳ㄌ摚┹S有關(guān)的角和三角形面積。此類(lèi)題在考試中最常見(jiàn)，解此類(lèi)題應(yīng)注意：（1）熟練掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的圖形結(jié)構(gòu)，充分利用圖形來(lái)解題；注意離心率與曲線(xiàn)形狀的關(guān)系；（2）如未指明焦點(diǎn)位置，應(yīng)考慮焦點(diǎn)在軸和軸的兩種（或四種）情況；（3）注意，的區(qū)別及其幾何背景、出現(xiàn)位置的不同，橢圓中，雙曲線(xiàn)中，離心率，準(zhǔn)線(xiàn)方程；例題： （1）已知定點(diǎn)，在滿(mǎn)足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是 （ ）A B C D（答：C）；（

2、2）方程表示的曲線(xiàn)是_ （答：雙曲線(xiàn)的左支）（3）已知點(diǎn)及拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_ （答：2）（4）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_(kāi) （答：）； （5）雙曲線(xiàn)的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的方程_（答：）；（6）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)，則C的方程為_(kāi)（答：）二、定義題 對(duì)圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)定義的考查，與動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離（焦半徑）和動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)（準(zhǔn)線(xiàn)）的距離有關(guān)，有時(shí)要用到圓的幾何性質(zhì)。此類(lèi)題常用平面幾何的方法來(lái)解決，需要對(duì)圓錐曲線(xiàn)的（兩個(gè)）定義有深入、細(xì)致、全面的理解和掌握。常用到的平面幾何知識(shí)有：中垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)的性

3、質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，解三角形（正弦余弦定理、三角形面積公式），當(dāng)條件是用向量的形式給出時(shí)，應(yīng)由向量的幾何形式而用平面幾何知識(shí)；涉及圓的解析幾何題多用平面幾何方法處理；圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：（1） 橢圓（以（）為例）：范圍：； 焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)性：兩條對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2； 準(zhǔn)線(xiàn)：兩條準(zhǔn)線(xiàn)；離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。例：（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)（答：）（2） 雙曲線(xiàn)（以（）為例）：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)性：

4、兩條對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線(xiàn)：兩條準(zhǔn)線(xiàn)； 兩條漸近線(xiàn)：。離心率：，雙曲線(xiàn)，等軸雙曲線(xiàn)，越小，開(kāi)口越小，越大，開(kāi)口越大；例：（3）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±3x/4,則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi) （4）雙曲線(xiàn)的離心率為，則=（答：4或）； （5）設(shè)雙曲線(xiàn)（a>0,b>0）中，離心率e,2,則兩條漸近線(xiàn)夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物線(xiàn)（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離；對(duì)稱(chēng)性：一條對(duì)稱(chēng)軸，沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)

5、線(xiàn)：一條準(zhǔn)線(xiàn)； 離心率：，拋物線(xiàn)。 （4）點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外； 2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)例：（6）設(shè)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；（7）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)（答：）；（8）已知拋物線(xiàn)方程為，若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離等于_；（9）若該拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；（10）點(diǎn)P在橢圓上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；三、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系題 （1）寫(xiě)直線(xiàn)方程時(shí)，先考慮斜率存在，把直線(xiàn)方程設(shè)為的形式，但隨后應(yīng)對(duì)斜率不存在的情況作出

6、相應(yīng)說(shuō)明，因?yàn)椴淮嬖诘那闆r很特殊，一般是驗(yàn)證前面的結(jié)論此時(shí)是否成立；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和圓錐曲線(xiàn)方程，消去或消去，得到方程 或 ，此方程是后一切計(jì)算的基礎(chǔ)，應(yīng)確保不出錯(cuò)。（3）當(dāng)方程或的二次項(xiàng)系數(shù)時(shí),方程是一次方程，只有唯一解，不能用判別式，這種情況是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行或直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行；（過(guò)拋物線(xiàn)外一點(diǎn)作與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有三條， 過(guò)雙曲線(xiàn)含中心的區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)（不在漸近線(xiàn)上）作與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有四條；）（4）當(dāng)方程或的二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，判別式、，與之相對(duì)應(yīng)的是，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)分別相離、相切、相交。如直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，應(yīng)用來(lái)求斜率的范圍；例題：（1）過(guò)點(diǎn)作直

7、線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)有_（答：2）； （2）過(guò)點(diǎn)(0,2)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率的取值范圍為_(kāi)（答：）；（3）直線(xiàn)ykx1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）； （4）過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，若AB4，則這樣的直線(xiàn)有_條（答：3）；（5）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交成弦（前提，），記為，其中，的坐標(biāo)可由方程或求得，一般是由方程求出，再代入直線(xiàn)方程求，或由方程求出，再代入直線(xiàn)方程求。（6）涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理，由方程 求出，在直線(xiàn)上，,。 請(qǐng)注意，如果聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)方程，消去，得到 ，繼而用韋達(dá)定理，求出，,；（6）若

8、拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦為AB，則；（7）若OA、OB是過(guò)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線(xiàn)AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（7） 涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理，由方程 求出，設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)也在直線(xiàn)上，。如果問(wèn)題僅僅與弦中點(diǎn)和弦的斜率有關(guān)，而不涉及弦長(zhǎng)，則可把弦的坐標(biāo)，直接代入曲線(xiàn)方程，然后相減，因式分解，所得的式子中只有、，這些都與弦中點(diǎn)坐標(biāo)和弦的斜率有關(guān)。（點(diǎn)差法）（8）弦滿(mǎn)足有關(guān)的向量的條件，如（為原點(diǎn)），則， ，.又如過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程。特別提醒：因?yàn)槭侵本€(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！例：（1）拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)A、B到焦

9、點(diǎn)的距離和是5，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)（答：2）；（2）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線(xiàn)方程是 （答：）；（3）已知直線(xiàn)y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_(kāi)（答：）；（1）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為；（2）以為漸近線(xiàn)（即與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)）的雙曲線(xiàn)方程為為參數(shù)，0）。如（4）與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)（答：）（5）經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的弦AB，（1）求|AB|（2）求三角形的周長(zhǎng)，（F1是左焦點(diǎn)）（6）已知拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=k(x+1)相交于A、B兩點(diǎn)（1）求證：（2）當(dāng)

10、，求k的值。（7）已知?jiǎng)又本€(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn) ， 求證：為定值. 解: 將代入中得 ， ，所以 。（8）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線(xiàn)的方程。四、關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的最值（1）圓錐曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離的最值。設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式表示距離，利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓錐曲線(xiàn)方程，消去（或消去），把表示成（或）的二次函數(shù)，因?yàn)椋ɑ颍┯幸粋€(gè)取值范圍（閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間），所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。有時(shí)須針對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論。（2）圓錐曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到一條定直線(xiàn)的距離的最值。作圓錐曲線(xiàn)與定直線(xiàn)平行的切線(xiàn)，切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，

11、切線(xiàn)與定直線(xiàn)的距離即為所求最值。例：（1）橢圓x2/3+y2=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+4=0的最短距離；五、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；注意：不重合的兩條直線(xiàn)與，的法向量為：，方向向量為，且；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線(xiàn)的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線(xiàn)的類(lèi)型，求曲線(xiàn)方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線(xiàn)的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。（2）線(xiàn)段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物

12、線(xiàn)，則此拋物線(xiàn)方程為（答：）；定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線(xiàn)，再由曲線(xiàn)的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（答：）；（4）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_ （答：）；(5) 一動(dòng)圓與兩圓M：和N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（答：雙曲線(xiàn)的一支）；代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線(xiàn)上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線(xiàn)得要求的軌跡方程；(6)動(dòng)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_(kāi)（答：）；（7）

13、AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MNAB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的軌跡。（答：）；（8）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是_（答：）；（9）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是_（答：）；（14全國(guó)卷）20.（本小題滿(mǎn)分12分）已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.20.（本小題滿(mǎn)分12分）解：（）設(shè)，由條件知，得，又，所以故的方程為5分（）當(dāng)軸時(shí)不合題意，故設(shè)，將代入得當(dāng)，即時(shí)，從而又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以的面積9分設(shè)，

14、則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且滿(mǎn)足所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為或12分答案一：1.C 2.雙曲線(xiàn)的左支3y=x2/4 即x2=4y焦點(diǎn)F為（0,1）準(zhǔn)線(xiàn)：y=-1過(guò)點(diǎn)P作PMy=-1于MPM=PFy+|PQ|=PM+|PQ|-1=PF+|PQ|-1當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)PF+|PQ|最小（PF+|PQ|）min=（22）2+1=3（y+|PQ|）min=（PF+|PQ|-1）min=3-1=24.）； 5.； 6.二：1. 3或 2.設(shè)焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓上的一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,底邊長(zhǎng)為2c,面積最大時(shí),底邊上的高最大,即該動(dòng)點(diǎn)必須位于橢圓與y軸的交點(diǎn)上,即此時(shí)高為b,即 2c

15、*b/2=1,bc=1,c=1/b而c2= a2-b2 =(1/b)2 即a2= b2 +(1/b)2 2a2 長(zhǎng)軸2a223. （1）焦點(diǎn)在x軸上,漸近線(xiàn)y=±(b/a)x b/a=3/4 b=3t, a=4t c=5t e=c/a=5/4（2）焦點(diǎn)在y軸上,漸近線(xiàn)y=±(a/b)x a/b=3/4 a=3t, b=4t c=5t e=c/a=5/3 4. 4或5. e=c/a2,2,cos(-)/2=a/c1/2,1/2, (-)/2/4,/3,-/2,2/3, 的取值范圍是/3,/2.6. 7. 8. 7 9. （ ） 10. 三： 1、2 2.顯然該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)是（2

16、,0）這個(gè)點(diǎn)在x=5上.解方程組x=5,y²=8x ,則x=5,y=210.該點(diǎn)坐標(biāo)為（5,210）.用公式算得該點(diǎn)至拋物線(xiàn)距離為7.2.設(shè)直線(xiàn)為y=kx+a,過(guò)（0,2）點(diǎn),可得a=2y=kx+2與x2/9-y2/16=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)也就是方程組x2/9-y2/16=1；y=kx+2只有一組解將y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此討論：當(dāng)16-9k2=0時(shí),方程只有一組解,也就是k=±(4/3)時(shí),方程只有一組解當(dāng)16-9k2不等于0時(shí),一元二次方程有且只有唯一解的條件也就是b2-4ac=0,可以得到另一組k的

17、值3：橢圓，且，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，欲使其與橢圓恒有公共點(diǎn)，只需讓落在橢圓內(nèi)或者橢圓上，即：，選C.4. X2 - Y2/2 =1 c²=1+2=3 F(3,0)過(guò)F且垂直x軸的直線(xiàn)是x=3 代入則y²=4 y=±2所以此時(shí)AB=2-(-2)=4 所以這里有一條且AB都在右支時(shí)其他的直線(xiàn)則AB都大于4 所以AB都在右支只有1條直線(xiàn)L交雙曲線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),A、B分別在兩支時(shí), 頂點(diǎn)是(-1,0),(1,0)頂點(diǎn)距離是2<4 所以也有兩條,關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 所以共有3條1. 2 2. 3. 4. 56、 （1）將y=k(x+1)代入y2=-x, 設(shè)A（X1,y1）,B(X

18、2,y2)易得X1+X2=-(2k2+1)/k2,X1*X2=1y1*y2=k2(X1+1)(X2+1)=-10A斜率K1為y1/X1,0B斜率K2為y2/X2,所以K1*K2=-1得證（2）1/2(根x12+y12*根下x22+yx2)=根10 （x12+y12）*（x22+yx2）=40x12x22+(x12+y22+x22y12)=40 2-(x12x2+x22x1)=40x1x2(x1+x2)=-38 (2k2+1)/-k2=-38 k2=1/36 k=-1/67、 7、解: 將代入中得 ， ，所以 。8.設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線(xiàn)的方程為，即。四、 1.解：將直線(xiàn)L向橢圓方向平移至直線(xiàn)L:x-y+c=0，使直線(xiàn)L與橢圓恰好相切，切點(diǎn)為P，把x=y-c代入橢圓方程x2/3+y2=1（1）,得 （y-c)2/3+y2=1 整理得：4y2-2cy+c2-3=0 由=0得4c2-4×