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文檔簡(jiǎn)介
1、 第十講 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 前聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為:幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科 幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法,若僅改變圖形的位置,而不改變圖形的形狀和大小,這種變換稱為合同變換,平移、旋轉(zhuǎn)是常見(jiàn)的合同變換 如圖1,若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后,則由的變換叫平移變換 平移前后的圖形全等,對(duì)應(yīng)線段平行且相等,對(duì)應(yīng)角相等 如圖2,若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2,則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換,其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心,定角叫旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離
2、相等 通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn),把部分圖形搬到新的位置,使問(wèn)題的條件相對(duì)集中,從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化,促使問(wèn)題的解決注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換等積變換,只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換,只保留線段間的比例關(guān)系,而線段本身的大小要改變例題求解【例1】如圖,P為正方形ABCD一點(diǎn),PA:PB:PC1:2:3,則APD=思路點(diǎn)撥 通過(guò)旋轉(zhuǎn),把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形 【例2】 如圖,在等腰RtABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M,N,使M=45°,記AMm,MN= x,DN=n,則以線段x、m、n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( ) A銳
3、角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D隨x、m、n的變化而改變思路點(diǎn)撥 把A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得CBD,這樣ACM+B=45°就集中成一個(gè)與M相等的角,在一條直線上的m、x、n 集中為DNB,只需判定DNB的形狀即可注 下列情形,常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換: (1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形,把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°; (2)圖形中有線段的中點(diǎn),將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形; (3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段,將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn),旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合 【例3】 如圖,六邊形ADCDEF中,
4、ANDE,BCEF,CDAF,對(duì)邊之差BCEFEDABAFCD>0,求證:該六邊形的各角相等(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BCFF=EDAB=AFCD>0用一個(gè)基本圖形表示,題設(shè)中有平行條件,可考慮實(shí)施平移變換注 平移變換常與平行線相關(guān),往往要用到平行四邊形的性質(zhì),平移變換可將角,線段移到適當(dāng)?shù)奈恢茫狗稚⒌臈l件相對(duì)集中,促使問(wèn)題的解決【例4】 如圖,在等腰ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F,使AE=CF已知BC=2,求證:EF1 (市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EFBC,不便直接證明,通過(guò)平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中 注 三角形中的不等
5、關(guān)系,涉及到以下基本知識(shí): (1)兩點(diǎn)間線段最短,垂線段最短; (2)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;(3)同一個(gè)三角形邊對(duì)大角(大角對(duì)大邊),三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的角 【例5】 如圖,等邊ABC的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)P是ABC的一點(diǎn),且PA2+PB2PC2,若PC=5,求PA、PB的長(zhǎng) (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形,不能直接應(yīng)用,通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中,這是解本例的關(guān)鍵學(xué)歷訓(xùn)練1如圖,P是正方形ABCD一點(diǎn),現(xiàn)將ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)能與CBP重合,若PB=3,則PP=2如
6、圖,P是等邊ABC一點(diǎn),PA6,PB=8,PC10,則APB3如圖,四邊形ABCD中,ABCD,D=2B,若AD=a,AB=b,則CD的長(zhǎng)為4如圖,把ABC沿AB邊平移到A'B'C'的位置,它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是ABC的面積的一半,若AB=,則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( ) A B Cl D (2002年荊州市中考題)5如圖,已知ABC中,AB=AC,BAC=90°,直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F,給出以下四個(gè)結(jié)論:AE=CF;EPF是等腰直角三角形;S四邊形AEPF=SABC;EF=AP當(dāng)E
7、PF在ABC繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合),上述結(jié)論中始終正確的有( ) A1個(gè) B2個(gè) C 3個(gè) D4個(gè) (2003年省市中考題)6如圖,在四邊形ABCD中,ABBC,ABC=CDA=90°,BEAD于E, S四邊形ABCDd=8,則BE的長(zhǎng)為( ) A2 B3 C D (2004年市選拔賽試題)7如圖,正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別為和,對(duì)角線BD、FH都在直線上,O1、O2分別為正方形的中心,線段O1O2的長(zhǎng)叫做兩個(gè)正方形的中心距,當(dāng)中心O2在直線上平移時(shí),正方形EFGH也隨之平移,在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有變化(1)計(jì)算:O1D=,O2F=;(2)
8、當(dāng)中心O2在直線上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),中心距O1O2=;(3)隨著中心O2在直線上平移,兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值圍(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程) (市中考題)8圖形的操做過(guò)程(本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長(zhǎng)均為a,豎直方向的邊長(zhǎng)均為b):在圖a中,將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2(即陰影部分);在圖b中, 將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3,得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3(即陰影部分);(1) 在圖c中,請(qǐng)你類似地畫(huà)一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線
9、畫(huà)出陰影;(2) 請(qǐng)你分別寫(xiě)出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積:S1=,,S2=,S3=;(3) 聯(lián)想與探索: 如圖d,在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路(小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位),請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少?并說(shuō)明你的猜想是正確的 (2002年省中考題)9如圖,已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),ACM、CBN是等邊三角形,求證:ANBM 說(shuō)明及要求:本題是幾何第二冊(cè)幾15中第13題,現(xiàn)要求:(1)將ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,使A點(diǎn)落在CB上,請(qǐng)對(duì)照原題圖在圖中畫(huà)出符合要求的圖形(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)(2)在所得的圖形中,結(jié)論“ANBM”是
10、否還成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由(3)在得到的圖形中,設(shè)MA的延長(zhǎng)線與BN相交于D點(diǎn),請(qǐng)你判斷ABD與四邊形MDNC的形狀,并證明你的結(jié)論10如圖,在RtABC中,A90°,AB3cm,AC=4cm,以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心,把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至DEF,則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是cm211如圖,在梯形ABCD中,ADBC,D=90°,BC=CD=12,ABE=45°,點(diǎn)E在DC上,AE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若AE=10,則SADE+SCEF的值是(市中考題)12如圖,在ABC中,BAC=120&
11、#176;,P是ABC一點(diǎn),則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( ) APA+PB+PC>AB+AC BPA+PB+PC<AD+ACC PA+PB+PCAB+AC D無(wú)法確定13如圖,設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3,則PC所能達(dá)到的最大值為( )A B C 5 D6 (2004年市選拔賽試題)14如圖,已知ABC中,AB=AC,D為AB上一點(diǎn),E為AC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=CE,連DE,求證:DE>DC15如圖,P為等邊ABC一點(diǎn),PA、PB、PC的長(zhǎng)為正整數(shù),且PA2+PB2=PC2,設(shè)PA=m,n為大于5的實(shí)數(shù),滿,求ABC的面積16如圖,五
12、羊大學(xué)建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河,表示小河甲,表示小河乙,A為校本部大門(mén),B為分校大門(mén),為方便人員來(lái)往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸圖中的尺寸是:甲河寬8米,乙河寬10米,A到甲河垂直距離為40米,B到乙河垂直距離為20米,兩河距離100米,A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米,為使A、B兩點(diǎn)間來(lái)往路程最短,兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建,那么,此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來(lái)往的路程是多少米? (“五羊杯”競(jìng)賽題)17如圖,ABC是等腰直角三角形,C=90°,O是ABC一點(diǎn),點(diǎn)O到ABC各邊的距離都等于1,將ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得A1BlC1,兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ(1)證明:AKL、BMN、CPQ都是等腰直角三角形;(2)求ABC與A1BlC1公共部分的面積 (省競(jìng)賽題)18(1)操作與證明:如圖1,O是邊長(zhǎng)為a的正方形ACBD的中心,將一塊半徑足夠長(zhǎng),圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),求證:正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值(2)嘗試與思考:如圖2,將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)扇形紙板的圓心角為時(shí),正三角形的邊被紙板覆蓋部
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