六年級(jí)數(shù)學(xué)教案分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的三次深化與發(fā)展

1、六年級(jí)數(shù)學(xué)教案分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的三次深化與開展一、分?jǐn)?shù)與除法在自然數(shù)集合里，加法和乘法運(yùn)算總是可以施行，但減法和除法卻不行；引入分?jǐn)?shù)，自然數(shù)集合擴(kuò)大為非負(fù)有理數(shù)集合后，除法運(yùn)算才變得暢通無阻。例如，34？在自然數(shù)集合里找不到一個(gè)與34對(duì)應(yīng)的自然數(shù)，而在非負(fù)有理數(shù)集合里卻找到了一個(gè)且只有一個(gè)分?jǐn)?shù)，與34對(duì)應(yīng)，即34。如何理解34的數(shù)學(xué)意義呢？表示3是4的。其中3與4表示不同的兩個(gè)量，而是量數(shù)，是以4為基準(zhǔn)量去度量3所得的結(jié)果。一般地，a、b都是非零的自然數(shù)時(shí)，ab。表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。這里，3和都表示量，而4是量數(shù)。事實(shí)上，任意兩個(gè)正有理數(shù)相除，都具有上述兩種數(shù)學(xué)意義。例如3？也

2、有下面兩種數(shù)學(xué)意義：3是的幾分之幾？從上圖，可以看出：3。3平均分成份，每份是多少？因?yàn)槭?個(gè)的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如以下圖所示。從上圖，也可以看出：3。注意：a、b都不是0，但只要有一個(gè)是分?jǐn)?shù)，那么ab。所以，假如無視必要的前提，籠統(tǒng)地說被除數(shù)即分子、除數(shù)即分母，是不正確的。當(dāng)且僅當(dāng)a、b都是不為零的自然數(shù)時(shí)，等式ab才成立。這個(gè)命題還告訴我們，分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為除法，這為分?jǐn)?shù)化為小數(shù)打通了一條重要途徑。二、百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)是否就是分母是100的分?jǐn)?shù)？假如是，又何必需要這個(gè)新概念呢？事實(shí)上，百分?jǐn)?shù)是在分?jǐn)?shù)應(yīng)用的理論中產(chǎn)生和開展起來的。我們先來解決下面的實(shí)際問題：在一場(chǎng)

3、足球比賽中，猛虎隊(duì)獲得一次罰點(diǎn)球的時(shí)機(jī)，他們準(zhǔn)備派以下三名隊(duì)員中的一名去罰點(diǎn)球。下面是這三名隊(duì)員在過去比賽中罰點(diǎn)球的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表。隊(duì)員踢點(diǎn)球的次數(shù)罰中的次數(shù)3號(hào)隊(duì)員18205號(hào)隊(duì)員21257號(hào)隊(duì)員1312從這個(gè)實(shí)際問題抽象成的數(shù)學(xué)問題是：比較分?jǐn)?shù)、的大校解法1：化為同分母的分?jǐn)?shù)進(jìn)展比較因?yàn)?，所以。由此可知?號(hào)隊(duì)員以往罰點(diǎn)球的成績(jī)最正確，派他去罰點(diǎn)球是明智的選擇。不過，上面三個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小倍數(shù)1300是比較大的，因此通分不僅比較費(fèi)力，也容易出過失。解法2：化為小數(shù)進(jìn)展比較18200.90，21250.84，12130.923。因?yàn)?.9230.900.84，所以。化為小數(shù)，雖然可以借以比較分?jǐn)?shù)

4、的大小，但小數(shù)卻失去了原來分?jǐn)?shù)的特性，即表示量的倍比關(guān)系的意義。因此，需要尋找既能保持分?jǐn)?shù)的特性，計(jì)算又比較簡(jiǎn)便的解題方法。就在這種需要的驅(qū)動(dòng)下，百分?jǐn)?shù)應(yīng)運(yùn)而生了。新的方法就是把分母統(tǒng)統(tǒng)變成100。把與化為分母是100的分?jǐn)?shù)不難：，。問題在于怎樣把也變成分母是100的分?jǐn)?shù)呢？設(shè)所化成的分?jǐn)?shù)的分子為x，即兩邊同乘100，得x100，x92.3。所以，。這個(gè)結(jié)果與前面學(xué)過的分?jǐn)?shù)不同的地方是，它的分子是一個(gè)小數(shù)。的意義是：假如把13平均分成100份，那么12大約占其中的92.3份。也就是說，這種分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系，而不具有表示量的功能。于是，人們把形如，.等，只能表示量的倍比關(guān)系，不能表示

5、量的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱為百分?jǐn)?shù)；并引入新的符號(hào)叫做百分號(hào)，把百分?jǐn)?shù)記為84，90，92.3，.，以便從形式上與前面學(xué)過的分?jǐn)?shù)加以區(qū)別。顯然，849092.3，通過百分?jǐn)?shù)的大小比較，也說明是7號(hào)隊(duì)員點(diǎn)球的罰中率最高。誠(chéng)然，把分?jǐn)?shù)化為百分?jǐn)?shù)還有更簡(jiǎn)捷的途徑，即通過小數(shù)轉(zhuǎn)化。如，0.92392.3。但是這種方法，對(duì)于理解百分?jǐn)?shù)的意義，不如方程的方法直觀。三、比比，顧名思義，與人類比較事物的理論活動(dòng)親密相關(guān)。比的概念是在比較不同的量的倍比關(guān)系的理論中產(chǎn)生和開展的。下面先討論一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題-平面圖畫得像不像。例1羽毛球場(chǎng)是長(zhǎng)18m、寬9m的長(zhǎng)方形，如以下圖A。在B、C、D、E、F等圖形中，你認(rèn)為哪幾個(gè)長(zhǎng)方形的形狀

6、像圖A，哪幾個(gè)不像？對(duì)形狀與圖A羽毛球場(chǎng)一樣的長(zhǎng)方形，請(qǐng)你比較它們的長(zhǎng)和寬，能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？在圖A內(nèi)，請(qǐng)你畫一個(gè)形狀與圖A一樣的長(zhǎng)方形，且這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圖A的長(zhǎng)的。任何正方形的形狀都一樣，但長(zhǎng)方形的形狀卻有差異。圖A恰好可以分成兩個(gè)大小一樣的正方形。發(fā)現(xiàn)圖A的這個(gè)特性，能幫助我們找出其他形狀與圖A一樣的長(zhǎng)方形，如圖D和E。而圖B、C和F都不具有圖A的這種特性，所以它們的形狀與圖A不同。圖A可以分成兩個(gè)大小一樣的正方形，等價(jià)于它的長(zhǎng)是寬的2倍。形狀與圖A一樣的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)都是寬的2倍；形狀與圖A不同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)都不是寬的2倍。這就是我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。一般地，a、b分別表示一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，分

7、數(shù)表示這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的倍比關(guān)系。這個(gè)分?jǐn)?shù)的重要性在于它提供了長(zhǎng)方形的一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)：但凡長(zhǎng)是寬的倍的長(zhǎng)方形，都是形狀一樣的長(zhǎng)方形，它們歸為一類。圖形的分類對(duì)于認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)具有重要的意義。不過用長(zhǎng)是寬的倍來刻畫長(zhǎng)方形的形狀特征，有時(shí)很費(fèi)事。例如，當(dāng)a或b是分?jǐn)?shù)時(shí)，是一個(gè)繁分?jǐn)?shù)。為了防止進(jìn)展繁分?jǐn)?shù)的繁難運(yùn)算，就需要改進(jìn)對(duì)長(zhǎng)是寬的倍這一特征的描繪，從而引入比的概念。長(zhǎng)是寬的倍，可以用長(zhǎng)與寬的比是ab取而代之。當(dāng)a、b表示兩個(gè)不同的量時(shí)，abab。所以，比可以定義為：兩個(gè)量相除，叫做這兩個(gè)量的比。雖然比、分?jǐn)?shù)、除法在提醒量的倍比關(guān)系方面是相通的，但對(duì)于不同的問題情境，仍然需要選擇恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)便的表征方

8、式，并掌握它們的互相轉(zhuǎn)換。例2蜂蜜綠茶是用2份蜂蜜和7份綠茶配制成的消暑飲料，要配制450毫升這種飲料，需要蜂蜜和綠茶各多少毫升？在這個(gè)問題中，蜂蜜和綠茶體積的倍比關(guān)系用比的形式表示比較簡(jiǎn)便，即蜂蜜綠茶27。解法1：應(yīng)用方程設(shè)：一份蜂蜜或綠茶的體積為x毫升，那么配制蜂蜜綠需用蜂蜜2x毫升，綠茶7x毫升。2x7x450，9x450x50。2x250100，7x750350。答：配制蜂蜜綠茶需要100毫升蜂蜜和350毫升綠茶。解法2：綜合應(yīng)用比和分?jǐn)?shù)蜂蜜綠茶27，且1。因此，蜂蜜綠茶兩個(gè)組成部分的倍比關(guān)系就轉(zhuǎn)換成各部分與整體蜂蜜綠茶的倍比關(guān)系。從而，為應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決問題創(chuàng)造了條件，圖示如下：4501

9、00，450350。解法1是代數(shù)方法，解法2是算術(shù)方法，殊途同歸。例37個(gè)女生平分4個(gè)蛋糕，3個(gè)男生平分2個(gè)蛋糕。是每個(gè)女生分得多一些，還是每個(gè)男生分得多一些？解法1：每個(gè)女生分得個(gè)蛋糕，每個(gè)男生分得個(gè)蛋糕。問題可以歸結(jié)為比較分?jǐn)?shù)與的大小。比較兩個(gè)量的倍比關(guān)系又有如下兩種方法。方法1：利用除法因?yàn)?，所以男生分得蛋糕比女生多一些。方法2：利用比1214。因?yàn)?2141，所以男生分得蛋糕比女生多一些。解法2：利用比分別考慮男、女生的蛋糕數(shù)量或人數(shù)的倍比關(guān)系。女生蛋糕男生蛋糕4221，女生人數(shù)男生蛋糕73。因?yàn)?36321，所以男生分得蛋糕比女生多一些。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原

10、那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云

11、滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒

12、可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。解法3：利用圖解唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國(guó)子監(jiān)國(guó)子學(xué)一科的“助教，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。上圖說明，假如只有6個(gè)女生平分4個(gè)蛋糕，那么女生和男生將分得同樣多。但女生有7個(gè)，7個(gè)女生平分4個(gè)蛋糕，每個(gè)女生分得的蛋糕要比6個(gè)女生平分的情形少一些。所以，男生分得的蛋糕比女生多。老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模擬。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我