由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型

1、由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型方法多!Word文檔SISO線性定常系統(tǒng)高階微分方程化為狀態(tài)空間表達(dá)式SISOnn1n2yaya2ymm1anyb0ub1ubmunmG(s)mm1b0sb1sbpnn1n2sa1sa2s外部描述內(nèi)-一實現(xiàn)問題：有了內(nèi)部結(jié)構(gòu)一-模擬系統(tǒng)內(nèi)部描述SISOxAxbuycxdu實現(xiàn)問題解決有多種方法，方法不同時結(jié)果不同直接分解法因為Y(s)Z(s)Z(s)Y(s)U(s)Z(s)U(s)Z(s)1nn1sa1sLan1sanmbosm1.b1sLbm1sbmY(s)(bosmb1smibm1sbm)Z(s)U(s)(sna1sn1an1san)Z(s)對上式取拉氏反變換，

2、則(m)(m1)yboZthzbm1ZbmZ(n)(n1)uzazan1ZanZ按下列規(guī)律選擇狀態(tài)變量，即設(shè)X1Z,X2z,XnZ(n 1),于是有寫成矩陣形式XiX2X2X3Xnan Xian 1X2a1xnuXi0Xi0X2X20IniUXni0Xni0一E.丁E-EE一,LXnanani日Xni式中，Ini為ni階單位矩陣，把這種標(biāo)準(zhǔn)型中的A系數(shù)陣稱之為友陣。只要系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)陣A和輸入陣b具有上式的形式，c陣的形式可以任意,則稱之為能控標(biāo)準(zhǔn)型。則輸出方程yboXnbiXn ibm iX2bm Xi寫成矩陣形式Xiy bm bm iX2biboXniXn分析A,b,c陣的構(gòu)成與傳遞函

3、數(shù)系數(shù)的關(guān)系在需要對實際系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換時，不必進(jìn)行計算就可以方便地寫出狀態(tài)空間模型的A、b、c矩陣的所有元素。例：已知SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間模型Y(s)38sU(s)s33s22s4解：直接得到系統(tǒng)進(jìn)行能控標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換，即XiX2X3XiX2XiX2a3a2a1X3X3X1y 電 “ b X2X3X13 8 0 x2X3若選擇狀態(tài)變量XX1 X2XnT滿足下列條件（如何考慮？）XnyXn 1 y a y buXn 2 y ay a2y bu tuX2X1、，(n 2)(n 3)yay(n 1)(n 2)yay(m 2)(m 3)an 2 ybububm

4、1 u(m 1)(m 2)anybububmu考慮式nn 1yaya2ymm 1anyb0ub1ubmun m設(shè)系統(tǒng)的輸出yXn ,依次對第一式求導(dǎo)，并帶入第二式；對第二式求導(dǎo)，并帶入第三式；依次類推，便得到X1X2anXnX1anbmu1Xnbm 1uXnXnXnXn 1a2xnb1uaXnbu寫成矩陣形式X100anX1bmX2an1X2bm1In1uXn1a2Xn1b1Xna1Xnb0XiX2y0001xn1xn式中，Ini為n1階單位矩陣。只要系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的A陣和c陣具有上式的形式，b形的形式可以任意，則稱之為能觀標(biāo)準(zhǔn)型從形式上看，能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)陣A是互為轉(zhuǎn)置，能控

5、標(biāo)準(zhǔn)型輸入陣b和能觀標(biāo)準(zhǔn)型輸出陣c互為轉(zhuǎn)置，這種互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系被稱為對偶關(guān)系。將在第六章進(jìn)一步討論。通過以上對傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)換的討論，對單輸入系統(tǒng)而言，應(yīng)注意如下問題：(1)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式，狀態(tài)方程的結(jié)構(gòu)只由傳遞函數(shù)陣的極點(特征)多項式確定，而與其零點多項式無關(guān)，零點多項式只影響輸出方程的結(jié)構(gòu)。(2)從能觀標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換可以看出，系數(shù)陣A的元素僅決定于傳遞函數(shù)極點多項式系數(shù)，而其零點多項式則確定輸入陣B的元素。(3)只有當(dāng)傳遞函數(shù)零點和極點多項式同階時，即mn,狀態(tài)空間表達(dá)式的輸出方程中才出現(xiàn)Du項，否則D為零陣。例：求前例的能觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間

6、模型解：直接得到能觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間模型，即X1004X13x2102x28ux3013x30y001x1x2x3串聯(lián)分解法若SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點互異,系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母寫成因式相乘形式例:G(s)Y(s)G(s)U(S)Y(s)U(S)KK(sK(sZl)(s Z2)L (s Zm)(s Pl)(S P2)L (s Pn)Zi)(s Z2)(sPi)(s P2)(s P3)s Z1s PiP2s z2s P3(n m)s PiZ1s P2Z2P3s P3圖示！ ！XiX2X3P300ZiP2P2 0P1XiXiX2X3Z2P3ZiP2X2X3并聯(lián)分解法（對角標(biāo)準(zhǔn)型/約旦標(biāo)準(zhǔn)型一一特征

7、值標(biāo)準(zhǔn)型）（一）若SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點互異，則可求得 對角標(biāo)準(zhǔn)型的模型。當(dāng)系統(tǒng)的極點互異時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母寫成因式相乘形式G(s)Y(s)U(S)K(s Zi)(S Z2)L (s Zm)(s Pi)(s P2)L(sPn)(n m)寫成部分分式其中，Ci ，G(s)Y(s)U(s)CiC2sPisP2CnsPnCiPii 1,2, ,n為待定系數(shù)，其值為GlimG(s)(spjsi選擇狀態(tài)變量為(畫圖示意狀態(tài)變量的取法)Xi(s)-U-()-,i1,2,nsPi即sXi(s)PiXi(s)U(s)對上式拉氏反變換，得XiPiXiu即x1p*ux2p2x2uXnPnXnU寫成矩陣形

8、式XiPiXi1x2p2x21uXnpnXn1式中，系數(shù)矩陣A為對角陣。對角線上的元素是傳遞函數(shù)G(s)的極點，即系統(tǒng)的特征值。b陣是元素全為1的nX1矩陣。求對角標(biāo)準(zhǔn)型模型的輸出方程中c的結(jié)構(gòu)ncY(s)U(s)i1spiU(s)(spi)Xi(s)nY(s)CiXi(s)i1對上式拉氏反變換，得y Ci XiC1C2Cn XiX2TXn如果系統(tǒng)的狀態(tài)方程的A陣是對角陣，表示系統(tǒng)的各個變量之間是解耦的。多變量的系統(tǒng)解耦是復(fù)雜系統(tǒng)實現(xiàn)精確控制的關(guān)鍵問題，關(guān)于如何實現(xiàn)解耦控制將在第五章討論。系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。例：設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)對角標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換G謂6s 8s3 6s2

9、11s解：將G(s)用部分分式展開G(s)6s 8(s 1)(s2)(s C3) s 1C2C3s 2 s 3從而可得G(s)的極點11,12, 13為互異的，求待定系數(shù)CiCilim G(s)(sS 11)lim 6s 8s 1(s 2)(s 3)C2lim G(s)(ss 22)lim 6s 8s 2(s 1)(s 3)C3 lim Gs 3(s)(s3)lims3 (s6s 81)(s一 52)得對角標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換為XiXiX2X2X3X3X1X2X3(二)對SISO系統(tǒng)式，當(dāng)具有重特征值時,可以得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間模型此時模型的系數(shù)矩陣A中與重特征值對應(yīng)的那些子塊都是與這些特征值相對

10、應(yīng)的約當(dāng)塊，即Ji設(shè)系統(tǒng)具有一個重特征值1,其重數(shù)為j,而其余為互異的特征值，記為j1,n,則傳遞函數(shù)可以用部分分式展開成G(S)(s P1)Cj 1c12(S P1)j 1C1i(SpjC1j(s P1)(S Pji)Ci(s Pi)Cn(S Pn)式中，待定系數(shù)Cii,Ci2,Cij對應(yīng)的是重極點的待定系數(shù)，其值為1C1i一(id(i 1).加SimG(S)(SP1)J其余互異根的待定系數(shù)G(ij 1, j 2, ,n)求法同前。G(S)Y(s)U(s)解：從已知系統(tǒng)地傳遞函數(shù)G(s)可知，該系統(tǒng)為四階，有一個重極點，重數(shù)為畫圖示意狀態(tài)變量的取法:例：設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)對約當(dāng)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間模型3(s5)一2Z(S3)(s2)(s1)G(s)C11(s3)2C12q(s3)s2C4s1求重極點對應(yīng)的待定系數(shù)Cli1d(11)c11Q?simLG(s)(s3)2lims3.(s3(s5)32)(s1)1d(21)C12lim2-rrG(s)(s(21)!s1ds(21)23)2liml3ds.(s3(s5)2)(s1)lim