復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)序列

1、第四章級(jí)數(shù)第一節(jié)級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)序列：復(fù)數(shù)序列就是：z =4 ibi,Z2=a2 ib2,.,Zn=an ibn,.在這里，Zn 是復(fù)數(shù)，ReZn =A,lm Zn =bn, 般簡(jiǎn)單記為Zn。按照| Zn |是有界或無(wú)界序列, 我們也稱Zn為有界或無(wú)界序列。設(shè)Z0是一個(gè)復(fù)常數(shù)。如果任給；0，可以找到一個(gè)正數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)|Zn - Zo 卜：；，那么我們說(shuō) zn收斂或有極限Zo，或者說(shuō) Zn是收斂序列，并 且收斂于Zo，記作n1叭步Z0。如果序列 Zn 不收斂，則稱 Zn 發(fā)散，或者說(shuō)它是發(fā)散序列。令z0 = a ib，其中a和b是實(shí)數(shù)。由不等式| a | 及

2、 10b 卜 | 召Zo |-1 a.a |10b |容易看出，im _Zn =z°等價(jià)于下列兩極限式：因此，有下面的注解：注解1、序列Zp收斂（于Z0）的必要與充分條件是：序列an 收斂（于a）以及序列 bn 收斂（于b）。注解2、復(fù)數(shù)序列也可以解釋為復(fù)平面上的點(diǎn)列，于是點(diǎn)列 Zn收 斂于Zo，或者說(shuō)有極限點(diǎn)Zo的定義用幾何語(yǔ)言可以敘述為：任給Zo的一個(gè)鄰域，相應(yīng)地可以找到一個(gè)正整數(shù) N,使得當(dāng)n>N時(shí)，Zn在 這個(gè)鄰域內(nèi)。注解3、利用兩個(gè)實(shí)數(shù)序列的相應(yīng)的結(jié)果，我們可以證明，兩個(gè)收斂 復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差 積、商。復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是乙Z2Z

3、n或記為a Zn，或V Zn，其中Zn是復(fù)數(shù)。定義其部分和序列為：n=1n =乙Z2 Zn如果序列卞n收斂，那么我們說(shuō)級(jí)數(shù)Zn收斂；如果二n的極限是二，那么說(shuō)zn的和是二，或者說(shuō)zn收斂于二，記作Zn 二n=1如果序列二n發(fā)散，那么我們說(shuō)級(jí)數(shù)召發(fā)散。注解1、對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)序列 Zn，我們可以作一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如下Zi（Z2Zi）（Z3-Z2）（Zn-Zn-1）,則序列召的斂散性和此級(jí)數(shù)的斂散性相同。注解2、級(jí)數(shù)zn收斂于二的；一 N定義可以敘述為： 八> 0N> 0,使得當(dāng)n> N時(shí),有nz. - T ，k=1注解3、如果級(jí)數(shù)azn收斂，那么lim 厶二 lim ( nnnn 1

4、p 0,注解4、令an 二 Rezan = Rezn,bn = lmzn,a 二 Re，b 二 Im二，我們有、a.bkk = 1k = 1因此，級(jí)數(shù)a zn收斂（于二）的必要與充分條件是：級(jí)數(shù)an收斂（于a）以及級(jí)數(shù)V bn收斂（于b）。注解5、關(guān)于實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本結(jié)果，可以不加改變地推廣到復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，例如下面的柯西收斂原理：柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）：級(jí)數(shù)a Zn收斂必要與充分條件是： 任給；0，可以找到一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N , p=1,2,3,時(shí),1召 1Zn, .zp|柯西收斂原理（復(fù)數(shù)序列）：序列 zn收斂必要與充分條件是：任 給；0，可以找到一個(gè)正整數(shù) N,使得當(dāng)m及n>N ,I Zn為 |對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)V zn，我們也引入絕對(duì)收斂的概念：如果級(jí)數(shù)|ZiI Izd |ZnI .收斂，我們稱級(jí)數(shù)7 zn絕對(duì)收斂。注解1、級(jí)數(shù)zn絕對(duì)收斂必要與充分條件是：級(jí)數(shù) 7 an以及 bn絕對(duì)收斂：事實(shí)上，有nnnn '& 及 |bk|Al 八 a： b：kWkWk=1k=1njakjbkLkWk=1注解2、若級(jí)數(shù)aZn絕對(duì)收斂，則a Zn 一定收斂。2n例、當(dāng) 1時(shí)，1絕對(duì)收斂;并且有1- a 屮11 + a + o(2 +o(n =1 1,lim n 1 = 01n >我們有，當(dāng) 1時(shí)，+ CL如果復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)v zn'及zn