向量基礎(chǔ)知識及應(yīng)用_第1頁
向量基礎(chǔ)知識及應(yīng)用_第2頁
向量基礎(chǔ)知識及應(yīng)用_第3頁
已閱讀5頁,還剩2頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、向 量 基 礎(chǔ) 知 識 及基本知識:1. 向量加法的定義及向量加法法則(三角形法則、平行四邊形法則)2. 向量減法的定義及向量減法法則(三角形法則、平行四邊形法則)3. 實(shí)數(shù)與向量的積入a .向量共線的充要條件:向量b與非零向量a共線的充要條件 是有且只有一個實(shí)數(shù)入,使得b =入a 。4. 向量a和b的數(shù)量積:a b =| a | | b |cos ,其中 為a和b的夾角。向量b在a上的投影:| b |cos,其中為a和b的夾角1 P1P2 |= (X2 xi)2( y2yi)a b =05.向量的坐標(biāo)表示:0A xi yj x, y若向量a x, y ,則丨a | x2 y2 ;X2 Xi,

2、 y2 yi 若 P1 ( xi, yi)、R ( X2,y2),貝V ppa bXiX2, yiy2r-abXiX2, yi yaXi,yia? bXi X2yiy-I-&Fa/bXiy2 X2yi0abxiX2+ yi y2=ocos =XiX2yiy2(為向量的夾角)/ 22 廠22Xiyi,X 2y2右 a = ( Xi, yi)6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及重要結(jié)論:b = ( X2, y2),則7點(diǎn)P分有向線段pP2所成的比的ppPF2,或PiPPP2P內(nèi)分線段PiP2時,0; P外分線段RP2時,0.8.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:Xi X2 xiyiy2i ,中點(diǎn)坐標(biāo)公式:x-ix2X2y

3、iy29.三角形重心公式及推導(dǎo)(見課本例2):三角形重心公式:(Xi X2 X3 yi y2 y3)3'310.圖形平移:設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形, 將F上所有的點(diǎn)按照同一方向移動同樣長度(即按向量a平移),得到圖形F',我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式:x' xhy' ykx x' h y y' k平移向量a = PP'=(h,k)應(yīng)用:1.禾U用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解決兩直線的夾角,判定兩直線平行、垂直問題例1已知向量OR,OB,OR滿足條件OROP2 OF30,OPi1,求OF2證:PBR是正三角形 解:令o為坐標(biāo)原點(diǎn),可設(shè)Pi

4、 cos i ,sin,R cos 2,sin 2,P3 cos3,sin由 OP OP,OR,即cos 1,s in 1cos 2,sin 2cos 3sincos 1 cos 2sin 1 sin 2cos 3sin 3兩式平方和為12cos 1cos 1由此可知為1200,即OP與OP2的夾角為1200,1200, Op?與O百的夾角為1200,這說明,P2,P5三點(diǎn)均勻分部在一個單位圓上,所以RF2F3為等腰三角形例2求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解:如圖,分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè) A 2a,0 , B 0,2a,貝U D同理可得OR與O

5、R的夾角為x軸、y a,0 ,C 0, a從而可求:AC2a, a , BD a, 2a , cosAC BDAC BD4a22.禾U用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解決有關(guān)線段的長度問題4arccos 一5例3已知 ABC , AD為中線,求證 AD2證明:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),D c,0,則 AD2以BC所在的直線為2a 0 b2的最小正角2a, a a, 2ax 5a 5a2BC21 AB22x軸建立如圖2直角坐標(biāo)系,設(shè)Aa,b,Cc,0 ,2c22ac a b ,4AC2F 2ABF 2ACb2b222,2Ca b ac42從而ADABI AC 2壬,AD22-AB2 AC222BC3.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算

6、,用已知向量表示未知向量例4已知點(diǎn)0是 ABC內(nèi)的一點(diǎn), AOB 150°, BOC 90°, 設(shè)OA a,0B b,0C C,且 a 2, b 1,C3試用 a,和b表示C 點(diǎn)到面的距離,線到線的距離,線到面的距離,面到面的距離解:以O(shè)為原點(diǎn),由 OA=2 AOx 設(shè)OA5,OC OB所在的直線為x軸和y軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.120°,所以 A2cos120°,2sin 120°,即A -1, ,3,易求 B0,-1,C 3,0,-131OB2°C,即-1, 31 0,-12 3,0,a、3b lc.解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以 OA

7、所在的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A1,0 ,由 COA 300,所以 C5cos300,5sin 30。,即C 口,5 ,2 2OCoaSb.4.利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直冋題例6 求證:三角形的三條高交于同一點(diǎn)分析如圖,已知 ABC中,由AD BC, BE AC ,AD BE H ,要證明CH AB,利用向量法證明CH AB,只要證得CH AB 0即可;證明中,要充分利用好AH BC 0 , BH CAAD BC, H 在 AD 上,AH(CH CA)BC0 ,即 CH BCCABC0又 BH AC, BHCH CB,BHAC0 即(CHCB) ACCH ACCBAC0-得

8、:CHBCCH AC0,即CHBC AC00這兩個條件證明AH BC 0 而從而 CH BA 0 , CH AB , CH AB.5.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題,距離問題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離,點(diǎn)的線的距離,CH CA ,例7 求平面內(nèi)兩點(diǎn) A(x1,y1), B(x2,y2)間的距離公式分析已知點(diǎn)A(xi,yj, B(x2,y2)求代B兩點(diǎn)間的距離|AB|,這時,我們就可以構(gòu)造出向量 AB,那么 AB (x2 x1,y2 y1),而 | AB | | AB |,根據(jù)向量模的公式得|AB| .(X2 X1)2 卜2 yi)2,從而求得平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 為 |AB| .(X2 Xi)2

9、(y2 yi)2 .解:設(shè)點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2) , AB (x2 x1, y2 y1) | AB |. &2一Xi)2(丫2一yj2 ,而 | AB | | AB|點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為:|AB| ; (x2 x1)2 (y2 y1)26.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題 例 8 證明:cos( ) cos cos sin sin則 向 量分析如圖,在單位圓上任取兩點(diǎn) A, B,以O(shè)x為始 邊,OA,OB為終邊的角分別為 ,設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐 標(biāo),即得到 OA,OB的坐標(biāo),貝U為向量OA,OB的夾角;利用向量的夾角公式,即可得證 證明:在單位圓

10、 O上任取兩點(diǎn) 代B,以O(shè)x為始邊, 以O(shè)A,OB為終邊的角分別為,則A點(diǎn)坐標(biāo)為OA(cos ,sin ), OB(cos,sin),它們的夾角為,|OA|OB| 1, OA OBcoscossin sin,由向量夾角公式得、 OA OBcos()coscossin sin,從而得證|OA|OB|注:用同樣的方法可證明cos()cos cossin sin(cos ,sin ),B 點(diǎn) 坐 標(biāo)為 (cos , sin )7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題例9證明柯西不等式(為22 2 2y1 ) (X2y2 ) (X1X2y“2)2證明:令a(X1, yjb(X2, y?)(1)當(dāng)a 0或b0 時,a b X1X2 y20,結(jié)論顯然成立;(2)當(dāng)a 0且b0時,令為a,b的夾角,則0,a bX1X2 yy |a |b | cos .又 |cos | 1|a b| |a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a / b時等號成立)x1y

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論