蘇教版數(shù)學(xué)必修五25等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案含答案

1、高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明等比數(shù)列的前項(xiàng)和1. 掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；能運(yùn)用公式解決一些簡單問題。2. 掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和的推理證明。選擇題填空題解答題對(duì)于q1這一特殊情況，往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯(cuò)，應(yīng)特別注意. 注意掌握錯(cuò)位相減這種求和方法。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用。難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。考點(diǎn)一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【核心突破】1. 知三求二：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可知，已知中任意三個(gè)，便可建立方程組求出另外兩個(gè)。2. 在運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意討論公比q

2、是否為1。3. 當(dāng)時(shí)，若已知及，則用公式較好；若已知，則用公式較好。4. 注意其推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法若q1，則Snna1。若q1，Sna1a1qa1q2a1qn1，所以兩邊同乘以q，可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn。 得（1q）Sna1a1qn，當(dāng)q1時(shí)，Sn，Sn注意：錯(cuò)位相減法，它特別適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的積組成的新數(shù)列的前項(xiàng)的和?？键c(diǎn)二：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的一些性質(zhì)（1）連續(xù)項(xiàng)的和（如）仍組成等比數(shù)列。（注意：這連續(xù)n項(xiàng)的和必須非零才能成立）證明如下：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，當(dāng)q1時(shí)，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，顯然Sn，S2

3、nSn，S3nS2n成等比數(shù)列。當(dāng)q1時(shí)，SnS2nS3n則S2nSnS3nS2n（S2nSn）2Sn（S3nS2n）Sn·（S3nS2n）（S2nSn）2，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列。（2）為比數(shù)列（3）為公比）（4）若an共2n（nN*）項(xiàng)，則q。注意：運(yùn)用性質(zhì)（1）可以快速地求某些和，但在運(yùn)用此性質(zhì)時(shí)，要注意的是成等比數(shù)列，而不是成等比數(shù)列。例題1 （等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用）在等比數(shù)列an中：（1）已知a11.5，a796，求q和Sn；（2）已知q，S5，求a1和an；（3）已知a12，S326，求q和an。思路分析：解決本題可由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列出基本

4、量a1，q的方程或方程組，先求a1，q再求其他量。答案：（1）a7a1q6，q626，q±2。當(dāng)q2時(shí)，Sn3×2n1；當(dāng)q2時(shí)，Sn（1）n×2n1。綜上所述，當(dāng)q2時(shí)，Sn3×2n1；當(dāng)q2時(shí)，Sn（1）n×2n1。（2）S5，且q，a12，ana1qn1（2）×（）n122n，a12，an22n。（3）由a12，S326，q1，S326，13，即q2q120，解得q4或3.當(dāng)q4時(shí)，ana1qn12×（4）n1（1）n1×22n1。當(dāng)q3時(shí)，ana1qn12×3n1。綜上所述，當(dāng)q4時(shí)，an（1）n

5、1×22n1；當(dāng)q3時(shí)，an2×3n1。技巧點(diǎn)撥：1. 在等比數(shù)列中，對(duì)于a1，q，n，an，Sn五個(gè)量，若已知其中三個(gè)量就可求出其余兩個(gè)量，常常列方程組來解答問題，有時(shí)會(huì)涉及高次方程或指數(shù)方程，求解可能遇到困難，這時(shí)要注意表達(dá)式有什么特點(diǎn)，再采取必要的數(shù)學(xué)處理方法. 2. 在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí)，首先要對(duì)公比q1或q1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論。例題2 （等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1010，S3070，求S40。思路分析：本題可用基本量法先求a1，q再求S40，也可利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解。答案

6、：法一設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，且由條件可知q1，則由÷得q102或q103（舍去），將其代入，得10.10。S40 （1q40）10×（124）150。法二S10，S20S10，S30S20，S40S30仍成等比數(shù)列，又S1010，S3070，（S20S10）2S10·（S30S20），（S2010）210（70S20），S10S206000，S2030或S2020。an各項(xiàng)均為正數(shù)，S2030，10,20,40，S4070成等比數(shù)列，S407080，S40150。技巧點(diǎn)撥：1. 本例中，兩種解法相比較，法二的計(jì)算量較小，顯示出利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的優(yōu)越

7、性。2. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比數(shù)列（q1且n為偶數(shù)時(shí)除外），這一性質(zhì)可直接使用?！疽族e(cuò)警示】應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，忽略q1的情況致錯(cuò)【例析】等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和與積分別為S和T，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：T2（）n。【錯(cuò)解】由題意可設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以S，Taq12（n1）aq，S，所以（）n（aqn1）na·q2T2，即T2（）n。【錯(cuò)因分析】由題設(shè)無法判斷q與1的關(guān)系，以上證法，漏掉了公比q1的情形，故導(dǎo)致錯(cuò)誤。【防范措施】對(duì)于公比為q，首項(xiàng)為a1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn當(dāng)q1時(shí)，此類數(shù)列為常數(shù)列（各項(xiàng)均不為0），其前n項(xiàng)和為na1，故解決此類問題時(shí)要細(xì)心，一般來說，只要題目中含有字母，就有可能要討論，否則容易漏解?！菊狻坑深}意可設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的