自考04184線性代數(shù)經(jīng)管類講義5

1、第五章 特征值與特征向量在本章中，我們將應(yīng)用在第四章中建立的線性方程組的解的理論和求解方法，給出方陣的特征值和特征向量求法，研討方陣化成對(duì)角矩陣的問題，并具體應(yīng)用到實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問題上。5.1特征值與特征向量5.1.1特征值與特征向量的定義下面給出方陣的特征值和特征向量的定義設(shè)A（aij）為n階實(shí)方陣。如果存在某個(gè)數(shù)和某個(gè)n維非零列向量p滿足Ap=p，則稱是A的一個(gè)特征值，稱p是A的屬于這個(gè)特征值的個(gè)特征向量例1.驗(yàn)算 是否是的特征向量。答疑編號(hào)：10050101針對(duì)該題提問解:p是A的特征向量，且這時(shí)特征值=5 為了給出具體求特征值和特征向量的方法，我們把Ap=p（Ap=Enp）改寫成（

2、En-A）=0。再把看成待定參數(shù)，那么p就是齊次線性方程組（En-A）x=0的任意一個(gè)非零解。顯然，它有非零解當(dāng)且僅當(dāng)它的系數(shù)行列式為零：|En-A|=0。 帶參數(shù)的的n階方陣En A稱為A的特征方陣，它的行列式|En A|稱為A的特征多項(xiàng)式，稱|En A|0為A的特征方程。根據(jù)特征方程求特征值和特征向量時(shí)1、 解特征方程|En A|0，得出特征向量；2、 把特征向量代入矩陣，再對(duì)矩陣作初等變換，列齊次線性方程，取其解。5.1.2關(guān)于特征值和特征向量的若干結(jié)論命題1三角矩陣的特征值就是它的全體對(duì)角元命題2 一個(gè)向量p不可能是屬于同一個(gè)方陣A的不同特征值的特征向量。命題3 A的同一特征值的不同特

3、征向量p1，p2的線性組合仍是A屬于的特征向量。定理5.1.1 n階方陣A和它的轉(zhuǎn)置矩陣AT必有相同的特征值。注意: A和AT未必有相同的特征向量,即當(dāng)Ap=p時(shí)未必有ATp=p,定理5.1.2 （1）若是A的特征值，則m點(diǎn)Am的特征值，而且Am與A有同一特征向量。（2）若是A的特征值且0，則-1是A-1的特征值而且A-1與A有相同的特征向量。定理:5.1.3設(shè)A為n階方陣，f（x）=amxm+ am-1xm-1+a1x+a0為m次多項(xiàng)式，f（A）=amAm+ am-1Am-1+a1A+a0En為對(duì)應(yīng)的A的方陣多項(xiàng)式。如果Ap=p，則必有f（A）p=f（）p,這說明f（）必是f（A）的特征值，

4、特別，當(dāng)f（A）=0時(shí)，必有f（）=0，即當(dāng)f（A）=0時(shí)A的特征值必然是對(duì)應(yīng)的m次多項(xiàng)式f（x）的根。5.1.3關(guān)于求特征值和特征向量的一般方法定理5.1.4 設(shè)是n階方陣的全體特征值，則必有 5.2方陣的相似變換 設(shè)A和B是兩個(gè)n階方陣，如果存在某個(gè)n階可逆矩陣p使得B=p-1AP。則稱A和B是相似的，記為AB。當(dāng)兩個(gè)n階方陣A和B之間存在等式B=P-1AP時(shí)，我們就說A經(jīng)過相似變換變成了B。同階方陣之間的相似關(guān)系有以下三條性質(zhì)：（1）反身性 AA，這說明任意一個(gè)方陣都與自己相似。事實(shí)上，有矩陣等式（2）對(duì)稱性 若AB則BA，這說明A和B相似與B和A相似是一致的。事實(shí)上，有（3）傳遞性 若

5、AB，BC則ACP，這說明當(dāng)A和B相似，B和C相似時(shí)，A和C一定相似。事實(shí)上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ） 相似矩陣必有相同的特征多項(xiàng)式，因而必有相同的特征值，相同的跡和相同的行列式。此定理的逆定理并不成，具有相同特征多項(xiàng)式的兩個(gè)方陣未必相似推論，若n階方陣A相似于對(duì)角矩陣或三角矩陣：或 則其中的n個(gè)對(duì)角無就是A的n個(gè)特征值。定義5.2.2 對(duì)于方陣A，若有（對(duì)角形矩陣）則說對(duì)角形矩陣是方陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形。定理5.2.2三階方陣A與對(duì)角陣相似A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理5.2.4 設(shè)1，2，k是n階方陣A的兩兩不同的特征值,p1是屬于

6、i，1ik的特征向量，則p1，p2,pk是線性無關(guān)組。根據(jù)定理5.2.2和定理5.2.4，可以得到以下兩個(gè)重要結(jié)論：（1）任意一個(gè)無重特征值的方陣一定相似于對(duì)角矩陣；（2）對(duì)角元兩兩互異的三解矩陣一定相似于對(duì)角矩陣；（3）若A中任一k的特征根對(duì)應(yīng)有k個(gè)線性無關(guān)特征向量，則A一定與對(duì)角陣相似。由本題知，若p-1AP=則有A=PP-1小結(jié)求相似更換矩陣P，使P-1AP=的步驟。第一步，解特征方程，求特征值1，2，3第二步，對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值i（i=1,2,3）解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解pi就是特征向量（i=1,2,3）注意k垂特征應(yīng)用有k個(gè)基礎(chǔ)解向量。第三步，令相似變換矩陣p=（p1,p2,p3）有5

7、.3向量?jī)?nèi)積和正交矩陣為了引進(jìn)正交矩陣這一類重要的方陣。我們先介紹兩個(gè)向量?jī)?nèi)積的概念。5.3.1 向量?jī)?nèi)積定義5.3.1 兩個(gè)n維行向量的內(nèi)積為兩個(gè)同維向量的內(nèi)積是: 對(duì)應(yīng)的分量的乘積之和，它是一個(gè)實(shí)數(shù)。注意：1、從內(nèi)積定義可以看出：無論兩個(gè)行向量還是兩個(gè)列向量只要是同維就有內(nèi)積，他們的內(nèi)積是個(gè)數(shù)，內(nèi)積的大小等于各對(duì)應(yīng)分量乘積的和定義5.3.2 n維行向量=（a1,a2,an）的長(zhǎng)指的是實(shí)數(shù) ，當(dāng)時(shí)，稱為單位向量。若=（a1,a2,an），則定義，若向量的長(zhǎng)度，就說是單位向量。定義5.3.3 設(shè)正交當(dāng)且僅當(dāng) ，即。任何一個(gè)非0向量，除以它的長(zhǎng)度后得到的向量一定是單位向量。定義5.3.3 設(shè)正交

8、當(dāng)且僅當(dāng) ，即。定義5.3.4 如果一個(gè)同維向量組中不含零向量，且其中任意兩個(gè)向量都是正交的（簡(jiǎn)稱為兩兩正交），則稱這個(gè)向量組為正交向量組。定義5.3.5 若是 Rn中的一個(gè)正交向量組，且其中每個(gè)向量都是單位向量，則稱這個(gè)向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。（正交單位向量組）定量5.3.1 正交向量組一定是線性無關(guān)組。5.3.2 正交矩陣定義5.3.6 如果n階方陣A滿足，則稱A為正交矩陣。正交矩陣的基本性質(zhì)，設(shè)A是n階正交矩陣，則有下列結(jié)論：（1）；行列式為±1的方陣未必是正交矩陣,（2）；（3）正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣和逆矩陣也是正交矩陣。正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣和逆矩陣也是正交矩陣。定義5.3.7 設(shè)

9、A是n階方陣,x,y是兩個(gè)n維列向量，則稱線性變稱y=Ax為正交變換。定理5.3.2 兩個(gè)同階的正交矩陣的乘積一定是正交矩陣。這個(gè)結(jié)論可推廣到有限個(gè)正交矩陣相乘的情形，即有限個(gè)正交矩陣的乘積一定是正交矩陣。定理5.3.3n階實(shí)方陣A 是正交矩陣的n個(gè)行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的n個(gè)列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。A是正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。例如，若A，B，C都是n階正交矩陣，則由知道，ABC是正交矩陣。 A是正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。定理5.3.4設(shè)A是n階正交矩陣，是A的任意一個(gè)特征值，則0而且也是A的特征值。5.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形定理5.4.1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)，其特

10、征向量一定是實(shí)向量。定理5.4.2實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量一定是正交向量。定理5.4.3（對(duì)稱矩陣基本定理）對(duì)于任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定存在n階正交矩陣P，使得對(duì)角矩陣中的n個(gè)對(duì)角元就是A的n個(gè)特征值。反之，凡是正交相似于對(duì)角矩陣的實(shí)方陣一定是對(duì)稱矩陣。（本章小結(jié)（一）本章的基本概念（1）實(shí)方陣的特征值，特征向量的概念。若0，且A=則叫A屬于特征值的特征向量。（2）特征向量的性質(zhì)（）若與是方陣A的屬于同一特征值的特征向量的線性組合，仍是A屬于的特征向量。（）方陣A的不同特征值的特征向量線性無關(guān)。（）對(duì)稱方陣A的不同特征值的特征向量正交。（3）特征值的性質(zhì)（）若是A的特征值是

11、的特征值，是的特征值。F()是f(A)的特征值。（）是A有0特征值的充分必要條件。（）A與有相同的特征值。（）若BA，則B與A有相同特征值，跡和行列式。（）若是A的全部特征值，則有其中叫A的跡tr(A)（4）向量的長(zhǎng)度一定是單位向量。（5）內(nèi)積若則若（6）若，則A叫正交矩陣性質(zhì)（）A正交（）若A正交（）A正交的行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交組，A正交的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交組.（7）若P可逆，使特別情形與標(biāo)準(zhǔn)相似。（8）若P正交使與正交相似。這時(shí)有（二）重點(diǎn)練習(xí)內(nèi)定理：只有對(duì)稱陣才能與正交相似（1）解特征方程求特征值.（2）解齊次線性方程組求A的屬于特征值的特征向量。（3）求可逆陣P，使的步驟。（）解特征方程

12、求特征值（）解齊次線性方程組,取它的基作為A屬于的特征向量，（i=1,2,3）若是二重根，則特征基可能有二個(gè)。（）取一定有（4）求正交陣Q，使的步驟。若A是對(duì)稱矩陣，（）解特征方程求特征值（根）（）解齊次線性方程組,求特征向量，通常取其基為特征向量。（）若是單根，則已正交。取則是標(biāo)準(zhǔn)正交組。若是二重根，則取再取（）取必有第一章 實(shí)二次型在本章中，我們把在第五章中所建立的實(shí)對(duì)稱矩陣基本定理，具體運(yùn)用到求實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型問題，并講座正定二次型和正定矩陣。6.1實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形6.1.1實(shí)二次型的定義定義n元實(shí)二次型指的是含有n個(gè)未知量的實(shí)系數(shù)二次齊次多項(xiàng)式，這里它可簡(jiǎn)寫成矩陣形式：例如所以一般地

13、有當(dāng)中A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣。一旦選定未知量組，則n元實(shí)二次型與n階實(shí)對(duì)稱矩陣是互相惟一確定的。稱A是二次型f的矩陣，稱f是以A為矩陣的二次型。由此可見，n元實(shí)二次型與n階實(shí)對(duì)稱矩陣之間密切相關(guān)，完全可以用第五章中關(guān)于對(duì)稱矩陣的結(jié)論講座二次型。在本課程中，我們只討論對(duì)稱矩陣和實(shí)二次型，因此往往省略一個(gè)“實(shí)”字。例1寫出二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣A。答疑編號(hào)：10060101針對(duì)該題提問解可根據(jù)所給的二次型的各個(gè)系數(shù)直接寫出對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣。例2寫出由對(duì)稱矩陣確定的二次型.答疑編號(hào)：10060102針對(duì)該題提問解：6.1.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（一）定義6.1.2只有平方項(xiàng)而沒有交叉項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，

14、其對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)角矩陣現(xiàn)在要討論的問題是，對(duì)于一個(gè)一般的n元二次型，是否存在某個(gè)可逆線性變換即使上述線性變換可記成x=Cy，其中C為n階可逆矩陣。（二）定義三：若存在可逆陣Q，使（二）定義三：若存在可逆陣Q，使就說A與B合同，記作定義四，若存在正交陣Q，使就說A與B正交合同。由上面的定義可見矩陣A與矩陣B相似與合同是兩個(gè)完全不同的的概念，但是若Q正交，則,所以A與B正交相似與A與B正交合同是一回事。定理6.1.1對(duì)于任意一個(gè)n元二次型，一定存在正交變換x=Py，使得其中，就是矩陣A的n個(gè)特征值。我們把這種標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的相似標(biāo)準(zhǔn)形，它的n個(gè)系數(shù)就是對(duì)稱矩陣A的n個(gè)特征值。6.1.3用配方法求

15、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形以上所介紹的求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的方法是，先求出對(duì)稱矩陣A的所有特征值，再求出n個(gè)兩兩正交的單位特征向量組把它們拼成正交矩陣P，就有，其中為對(duì)角元為實(shí)數(shù)的對(duì)角矩陣。實(shí)際上，這就是找正交變換x=Py, ，把原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型，其中，是矩陣A的n個(gè)特征值。實(shí)際上，對(duì)于給定的二次型，未必要通過上述正交變換，x=Py，P為可逆矩陣，使得來得到標(biāo)準(zhǔn)形我們把這種標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形，它的n個(gè)系數(shù)未必是對(duì)稱矩陣A的特征值。常用的方法之一是用配方法求出它的合同標(biāo)準(zhǔn)形。需要注意的是，由于所用的是一般的可逆變換，不一定是正交變換，所以不能說所得到的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)1.-3就是此二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩

16、陣的特征值。事實(shí)上，它的特征值為1,-1。6.1.4二次型的規(guī)范形對(duì)于任意一個(gè)n元實(shí)二次型，可以通過以下兩種方法之一得到標(biāo)準(zhǔn)形一種方法是通過正交變換x=Py后得到的，其中P是n階正交矩陣，滿足。此時(shí)，根據(jù)知道，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形中的n個(gè)系數(shù)就是對(duì)稱矩陣A的全體特征值。另一種方法是通過可逆變換x=Py后得到的，這里P為可逆矩陣，此時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)就未必是對(duì)稱矩陣A的特征值。我們要指出一個(gè)重要事實(shí)：不管是通過哪一種方法得到的標(biāo)準(zhǔn)形，都可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)。定義6.1.4所有平方項(xiàng)的系數(shù)均為1,-1或0的標(biāo)準(zhǔn)二次型稱為規(guī)范二次型。為了敘述方便，對(duì)二次型化得的規(guī)范二次型，可簡(jiǎn)稱為二次型的規(guī)范形。定理6.1.2

17、（慣性定理）任意一個(gè)n元二次型，一定可以經(jīng)過可逆線性變換化為規(guī)范形慣性定理的矩陣形式對(duì)于任意一個(gè)n階對(duì)稱矩陣A，一定存在n階可逆陣R，使得定義6.1.5規(guī)范形中的k稱為二次型（或?qū)ΨQ矩陣A）的正慣性指數(shù)，稱r-k為二次型（或?qū)ΨQ矩陣A）的負(fù)慣性指數(shù)，k-(r-k)=2k-r稱為它們的符號(hào)差。定理6.1.3對(duì)稱矩陣A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)。（不證）6.2正定二次型和正定矩陣6.2.1實(shí)二次型的分類n元實(shí)二次型和對(duì)應(yīng)的n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，可分成以下五類：1） 如果對(duì)于任何非零實(shí)列向量x，都有，則稱f為正定二次型，稱A為正定矩陣。（2）如果對(duì)于任何實(shí)列向量x，都有，則稱f為半

18、正定二次型，稱A為半正定矩陣。（3）如果對(duì)于任何非零實(shí)列向量x，都有，則稱f為負(fù)定二次型，稱A為負(fù)定矩陣。（4）如果對(duì)于任何實(shí)列向量x，都有，則稱f為半負(fù)定二次型，稱A為半負(fù)定矩陣。（5）其他的實(shí)二次型稱為不定二次型，其他的實(shí)對(duì)稱陣稱為不定矩陣。定理6.2.1實(shí)對(duì)角矩陣為正定矩陣當(dāng)且僅當(dāng)中的所有對(duì)角元全大于零。因此，單位矩陣一定是正定矩陣。定理6.2.2設(shè)n階矩陣是正定矩陣，則A中所有對(duì)角元定理6.2.3設(shè)A與B是兩個(gè)合同的實(shí)對(duì)稱矩陣，則A為正定矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B為正定矩陣。定理6.2.4同階正定矩陣之和必為正定矩陣。定理6.2.5n階對(duì)稱矩陣是正定矩陣的n個(gè)特征值全大于零。推論（1）n階對(duì)稱矩陣是正定矩陣的正慣性指數(shù)為n.（2）n階對(duì)稱矩陣是正定矩陣合同于單位矩陣。定理6.2.6n階對(duì)稱矩陣是正定矩陣的n個(gè)順序主子式 本章小結(jié)一、本章的基本概念1.實(shí)二次型叫實(shí)二次型的矩陣。2.標(biāo)準(zhǔn)實(shí)二次型