組合數(shù)學(xué) 工學(xué)研究生 2

1、西安電子科技大學(xué)研究生課程考試試題考試科目： 組 合 數(shù) 學(xué) 考試日期：考試方式： 閉卷 任課教師： 學(xué)生姓名： 學(xué) 號(hào)： 注意：請(qǐng)先閱讀完題目后面的要求后再答題！一、 （10分）設(shè)盒子中有3n個(gè)球，其中有n個(gè)樣子相同的紅球和n個(gè)樣子相同的籃球，而其余的n個(gè)球的顏色互相都不一樣，且都不是紅色或藍(lán)色?，F(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)球（不考慮取出來的球的次序），且要求紅球和籃球一樣多。那么，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可能有多少種不同的選取結(jié)果？此題不允許用母函數(shù)方法求解。二、 （10分）請(qǐng)利用二項(xiàng)式展開的方法求被13除所得的余數(shù)。三、 （10分）將n元面值為1元的人民幣分給四名同學(xué)，且要求同學(xué)甲與乙分得的錢一樣多，同學(xué)丙

2、與丁一樣多，同時(shí)還要求甲同學(xué)至少分得2元錢。問共有多少種不同的分法？四、 （10分）設(shè)集合S1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3，試問由集合S的10個(gè)基本數(shù)字可構(gòu)成多少個(gè)不同的四位數(shù)？五、 （10分）由a、b、c、d、e五個(gè)基本符號(hào)組成n位符號(hào)串，其中希望相鄰的兩個(gè)字母不能同時(shí)為a，請(qǐng)問滿足條件的串共有多少個(gè)？六、 （10分）平面上有兩兩相交，但無3線共點(diǎn)的n條直線，試求這n條直線把平面分成多少個(gè)區(qū)域？七、 （10分）現(xiàn)有t種不同顏色的球，其中第i種顏色的球有個(gè)（i1, 2, , t）。要把這些球放入m個(gè)不同的盒子中，且使每個(gè)盒子至少放入一個(gè)球，問共有多少種不同的放法？八、

3、 （10分）某班每天放學(xué)后都要打掃衛(wèi)生，其項(xiàng)目有掃地、整理桌椅、擦窗子和擦黑板共4項(xiàng)工作，故每天留下4名同學(xué)打掃衛(wèi)生，每人恰好完成其中的一項(xiàng)。而今天留下的4名同學(xué)中，甲愿意整理桌椅或擦窗子，乙則不愿意擦窗子，丙不愿意整理桌椅，丁同學(xué)對(duì)每一項(xiàng)工作都不挑剔。那么，能給出多少種安排打掃衛(wèi)生的方案，使得每個(gè)同學(xué)都不用干自己不愿意干的工作？九、 （10分）設(shè)n是大于1的奇數(shù)，證明在整數(shù)，中必有一個(gè)數(shù)能被n整除。十、 （10分）桌子上放著一些大小一樣的等邊三角形木框，且每個(gè)木框的每條邊都被染成了彩色。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，所用的顏色共有10種。那么，如果按照木框的邊的顏色異同對(duì)其進(jìn)行分類，請(qǐng)問這些木框最多可以分成多少類

4、。要求：（1） 請(qǐng)?jiān)谠囶}和試卷上寫上學(xué)號(hào)和姓名；（2） 請(qǐng)給出每一個(gè)問題的具體解答過程；（3） 考試時(shí)允許攜帶計(jì)算器；（4） 所有的答案都要寫在試卷上；（5） 請(qǐng)按題目的順序書寫答案；（6） 請(qǐng)將試題夾在自己的試卷中一并交回；（7） 對(duì)于計(jì)算題，當(dāng)計(jì)算結(jié)果較大時(shí)，不要求計(jì)算出具體的數(shù)字，只要給出答案的表達(dá)式即可。如答案為15或20!3×8!等。一、 （10分）設(shè)盒子中有3n個(gè)球，其中有n個(gè)樣子相同的紅球和n個(gè)樣子相同的籃球，而其余的n個(gè)球的顏色互相都不一樣，且都不是紅色或藍(lán)色?，F(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)球（不考慮取出來的球的次序），且要求紅球和籃球一樣多。那么，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可能有多少種不同

5、的選取結(jié)果？ 分析問題 4分設(shè)紅球選k個(gè)，則籃球必選k個(gè)，從而其它球應(yīng)選n2k個(gè)，此時(shí)有種不同的選取結(jié)果（k0, 1, 2, , n/2）。 總的選取結(jié)果數(shù)為 4分 計(jì)算總的選取結(jié)果數(shù)為 2分二、 （10分）請(qǐng)利用二項(xiàng)式展開的方法求被13除所得的余數(shù)。 展開 3分 展開 3分 展開 3分 答：余數(shù)為3 1分三、 （10分）將n元面值為1元的人民幣分給四名同學(xué)，且要求同學(xué)甲與乙分得的錢一樣多，同學(xué)丙與丁一樣多，同時(shí)還要求甲同學(xué)至少分得2元錢。問共有多少種不同的分法？ 分析問題，化為經(jīng)典問題 2分相當(dāng)于將n個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，且甲盒與乙盒的球一樣多，丙盒與丁盒的球一樣多，同時(shí)甲盒至少放2

6、個(gè)球。 進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為兩個(gè)盒子的問題 2分相當(dāng)于將n個(gè)相同的球放入2個(gè)大盒子A和B，每個(gè)盒子放偶數(shù)個(gè)球，且A盒至少放4個(gè)球。 寫母函數(shù) 2分 求的系數(shù) 2分 答：分法總數(shù)為 2分四、 （10分）設(shè)集合S1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3，試問由集合S的10個(gè)基本數(shù)字可構(gòu)成多少個(gè)不同的四位數(shù)？ 【方法1】用母函數(shù) 分析問題，寫相應(yīng)的（指）母函數(shù) 4分 母函數(shù)展開 4分 答：共有79種分法 2分【方法2】直接算排列組合 集合的4排列有81種 4分 不符合要求的排列有“1111”和“2222”2個(gè) 4分 故構(gòu)成的四位數(shù)有81279個(gè) 2分五、 （10分）由a、b、c、d、e五個(gè)基

7、本符號(hào)組成n位符號(hào)串，其中希望相鄰的兩個(gè)字母不能同時(shí)為a，請(qǐng)問滿足條件的串共有多少個(gè)？ 設(shè)滿足要求的串有個(gè)，分析問題 3分首字母不是a的串有4個(gè)；若首字母為a，則次字母一定不是a，這樣的串有個(gè) 建立遞推關(guān)系 3分 解得 3分 答：滿足要求的串有個(gè) 1分六、 （10分）平面上有兩兩相交，但無3線共點(diǎn)的n條直線，試求這n條直線把平面分成多少個(gè)區(qū)域？ 設(shè)把平面劃分為個(gè)區(qū)域，分析問題 3分第n條直線被原來的n1條直線分為n段，而每一段又把所在的區(qū)域一分為二，即增加一條直線，增加n個(gè)新的區(qū)域。 建立遞推關(guān)系 3分 解得 4分七、 （10分）現(xiàn)有t種不同顏色的球，其中第i種顏色的球有個(gè)（i1, 2, ,

8、t）。要把這些球放入m個(gè)不同的盒子中，且使每個(gè)盒子至少放入一個(gè)球，問共有多少種不同的放法？ 分析問題，設(shè)全集S和子集（i1,2, , n） 3分設(shè)每個(gè)盒子不要求至少一個(gè)球的全部分配方案組成集合S，其中第i個(gè)盒子為空的所有分配方案構(gòu)成集合（i=1, 2, , m）。其次，將個(gè)相同的球放入m個(gè)不同的盒子的方案數(shù)為（即可重復(fù)組合數(shù)） 計(jì)算 4分， （k=1, 2, , m） 由逐步淘汰原理計(jì)算結(jié)果 3分八、 （10分）某班每天放學(xué)后都要打掃衛(wèi)生，其項(xiàng)目有掃地、整理桌椅、擦窗子和擦黑板共4項(xiàng)工作，故每天留下4名同學(xué)打掃衛(wèi)生，每人恰好完成其中的一項(xiàng)。而今天留下的4名同學(xué)中，甲愿意整理桌椅或擦窗子，乙則不

9、愿意擦窗子，丙不愿意整理桌椅，丁同學(xué)對(duì)每一項(xiàng)工作都不挑剔。那么，能給出多少種安排打掃衛(wèi)生的方案，使得每個(gè)同學(xué)都不用干自己不愿意干的工作？ 方法I 分析問題，對(duì)應(yīng)為如下的棋盤布局問題 3分 求禁區(qū)A的棋盤多項(xiàng)式 2分或分離為2個(gè)小棋盤， 套公式： 3分 答案：4!4×3!5×2!2×1!0×0!8 2分九、 （10分）設(shè)n是大于1的奇數(shù)，證明在，中必有一個(gè)數(shù)能被n整除。 構(gòu)造n個(gè)正整數(shù) 4分 令，則由n為奇數(shù)知令，即（i=1,2,n） 6分 由抽屜原理知必有2個(gè)相等，設(shè)且j<k 6分 由此知n整除 6分 但n為奇數(shù)，故n不能整除，從而n必整除（1kjn1） 6分另法：張國良，劉曉東十、 （10分）桌子上放著一些大小一樣的等邊三角形木框，且每個(gè)木框的每條邊都被染成了彩色。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，所用的顏色共有10種。那么，如果按照木框的邊的顏色異同對(duì)其進(jìn)行分類，請(qǐng)問這些木框最多