車(chē)輛隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ)

1、§9車(chē)輛隨機(jī)振動(dòng)車(chē)輛的隨機(jī)振動(dòng)實(shí)際上是車(chē)輛運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，這種響應(yīng)主要是由于軌道不平順的隨機(jī)激勵(lì)而引起的。本章主要介紹隨機(jī)振動(dòng)以及相關(guān)的概念，以及單軸車(chē)模型在隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)的基本特征，初步了解車(chē)輛隨機(jī)振動(dòng)的分析計(jì)算方法和改善車(chē)輛運(yùn)行平穩(wěn)性的途徑。所討論的是車(chē)輛系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)是對(duì)稱(chēng)的，因此垂向和橫向的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)是解耦的，可以分別獨(dú)立研究。對(duì)于機(jī)車(chē)而言，它產(chǎn)生振動(dòng)的因素，除線(xiàn)路的構(gòu)造和狀態(tài)，輪對(duì)的構(gòu)造和狀態(tài)外，柴油機(jī)組和輸助機(jī)組的構(gòu)造和狀態(tài)也會(huì)起到激擾作用（對(duì)柴油機(jī)）；電動(dòng)機(jī)的構(gòu)造和狀態(tài)對(duì)電力機(jī)車(chē)也會(huì)起到激擾作用。對(duì)車(chē)輛和機(jī)車(chē)的振動(dòng)過(guò)程研究中，可在增加一組外力來(lái)反映這些作用。第一

2、節(jié)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性一、隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性1隨機(jī)過(guò)程的基本概念一切物理現(xiàn)象可分為兩類(lèi)：在給定的時(shí)間內(nèi)能確定其物理變量的現(xiàn)象就稱(chēng)為確定性現(xiàn)象； 如在一靜止的車(chē)輛上置一激振器，以激起車(chē)體在彈簧裝置上的振動(dòng)，激勵(lì)力是已知的簡(jiǎn)諧力，車(chē)體受激勵(lì)而產(chǎn)生的振動(dòng)規(guī)律由來(lái)描述。車(chē)體在任意時(shí)間t的振幅和加速度都可由計(jì)算確定，這種振動(dòng)稱(chēng)為確定性的振動(dòng)，它由確定性的激勵(lì)所引起。反之在給定時(shí)間t物理變量不能預(yù)先確定的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。如在任意時(shí)間t的振動(dòng)變量不能預(yù)先確定，而只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)其進(jìn)行整體描述，這種振動(dòng)稱(chēng)為隨機(jī)振動(dòng)。在隨機(jī)振動(dòng)中的一些量如振幅和加速度稱(chēng)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量是在隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果中能取到不同數(shù)

3、值的量。隨機(jī)過(guò)程：不能用確定性函數(shù)來(lái)描述但具有一定統(tǒng)計(jì)特性的過(guò)程稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程是一簇n個(gè)隨機(jī)變量的總集合。其中任一個(gè)元素稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的樣本。振動(dòng)的時(shí)間歷程：以時(shí)間t橫坐標(biāo)，以振動(dòng)量（位移、速度和加速度）為縱坐標(biāo)的線(xiàn)圖，常稱(chēng)為振動(dòng)波形圖。 X1(t)nt x2(t) xn(t) t1 t1+ t2 tm在研究許多隨機(jī)過(guò)程時(shí)通常作如下徦設(shè)：1） 平穩(wěn)性假設(shè)若一隨機(jī)過(guò)程x（t）在任何時(shí)間t1時(shí)的概念統(tǒng)計(jì)規(guī)律與t1+時(shí)的一樣，即過(guò)程的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律不因時(shí)間的推移而改變，則稱(chēng)x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程；2）各態(tài)歷經(jīng)性徦設(shè)隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性是考慮全部子樣而得到的。如果在任一時(shí)間ti跨越總集合的統(tǒng)計(jì)特性與

4、單個(gè)子樣xi(t)的統(tǒng)計(jì)特性相等，則稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)過(guò)程為各態(tài)歷經(jīng)的。3) 隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程的概率分布符合正態(tài)（高斯）分布規(guī)律。二、隨機(jī)變量的概率密度和均值 為了描述隨機(jī)過(guò)程的特性，采用時(shí)域上的各種參數(shù)和頻域上的參數(shù)來(lái)進(jìn)行。先了解如下概念。1 幅值概率密度（概率的定義：E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一實(shí)數(shù)，記為P（A），稱(chēng)為事件A的概率，如果它滿(mǎn)足下列條件：1。對(duì)于每一事件A有0P（A）1，2。P（S）13。對(duì)于兩兩互不相容的事件AK（）有P（）P（A1）P（A2）P（An）)幅值概率密度用表示.幅值概率密度是隨機(jī)變量瞬時(shí)值出現(xiàn)于某一單位幅值區(qū)間內(nèi)的概率。隨機(jī)振動(dòng)幅值處于x到x+

5、x之間的概率是 幅值 T1 t2 t3 tn在振動(dòng)時(shí)間歷程上x(chóng)+xxt T概率密度曲線(xiàn)愈精確。 X2x1與x2對(duì)應(yīng)的面積就是x1與x2之間的幅值出現(xiàn)的概率 x0 x1 x1+其值為2 統(tǒng)計(jì)平均值與概率分布隨機(jī)振動(dòng)的幅值特性由時(shí)間域內(nèi)的下列均值來(lái)描述：1）平均值或2)平均絕對(duì)值或3） 均方值或4）均方根值或平均值為T(mén)時(shí)間內(nèi)x(t)的算術(shù)平均值，代表了隨機(jī)變量的穩(wěn)態(tài)量。當(dāng)平均值0時(shí)，和就分別等于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方差和標(biāo)準(zhǔn)離差。方差的定義為表示隨機(jī)變量在其平均值兩邊的分布特性。均方值和均方根值能表征隨機(jī)振動(dòng)所含的能量，是個(gè)重要的描述量。對(duì)于振幅為的正弦波，平均值0均方值隨機(jī)振動(dòng)的概率分布通常服從正態(tài)分規(guī)律

6、，若振動(dòng)瞬時(shí)值為x，幅值的平均值m。其幅值概率密度m值的改變將使曲線(xiàn)沿x軸平移而不改變其形狀。改變時(shí)將使曲線(xiàn)形狀改變，但曲線(xiàn)和x軸之間所圍的面積仍然不變而等于1。愈小，則該面積愈集中于平均值m的附近。隨機(jī)振動(dòng)幅值的概率主要分布在±3之間。占到99.7%。 +xx(t) 3 m m 3 0 p(x) 0 -x 隨機(jī)振動(dòng)幅值的正態(tài)分布因此常把m+3作為隨機(jī)振動(dòng)的最大幅值。正態(tài)分布的均方值可由這兩式求得，m2+三、隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)（一）相關(guān)函數(shù) 1自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)定義為的平均值即對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程，每個(gè)樣本函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)定義為 t m2X1X2t o

7、T 時(shí)間歷程 自相關(guān)函數(shù)曲線(xiàn)描述的是一個(gè)特定的瞬時(shí)幅值與先前某一瞬時(shí)t時(shí)的幅值的關(guān)聯(lián)程度。小，x(t+)與x(t)關(guān)系密切；大，x(t+)與x(t)關(guān)系不密切。x(t)所決定的成分減少。也就小。當(dāng)，x(t+)與x(t)無(wú)關(guān)，此時(shí)，就衰減到隨機(jī)變量平均值的平方，或衰減到零。當(dāng)0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)為上式表明，自相關(guān)函數(shù)的最大值即等于該隨機(jī)變量的均方值。如果x(t)是周期性函數(shù)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期性的。2互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)不同的平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)x(t)與 y(t)之間的互相關(guān)函數(shù)定義為：和對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，可以用樣本函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)來(lái)表示，即對(duì)于大多數(shù)隨機(jī)過(guò)程，時(shí)差越大則相關(guān)性越弱，當(dāng)很大時(shí)，可以認(rèn)為x與y互

8、不相關(guān)，此時(shí)有互相關(guān)函數(shù)的圖線(xiàn)形狀和自相關(guān)函數(shù)相類(lèi)似，但其左右的對(duì)稱(chēng)軸不象后者是在0時(shí)，而是在某一0時(shí)互相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大值。（二）、功率譜密度函數(shù)1功率譜密度函數(shù)1） 從頻域上，用功率譜密度函數(shù)來(lái)描述。功率譜密度函數(shù)用Wx（f）表示。用譜密度的均方值對(duì)隨機(jī)變量的頻率結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。對(duì)隨機(jī)振動(dòng)而言，表示振動(dòng)能量在頻率域上的分布。其定義為隨機(jī)變量x(t)在微小頻帶寬度內(nèi)的均方值除以帶寬Wx（f）：某一窄頻的帶寬；：在范圍內(nèi)的變量，即經(jīng)過(guò)帶寬為的窄帶濾波器后的變量，如振動(dòng)量。（位移、加速度、速度等）Wx（f）中含有項(xiàng)，表示了系統(tǒng)的能量如振動(dòng)系統(tǒng)的位能。（動(dòng)能，粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比）。

9、故Wx（f）表示了能量的度量，借用“功率”來(lái)命名，實(shí)際上Wx（f）本身并不包含功率的意思，故稱(chēng)其為均方譜密度函數(shù)更確切。還被稱(chēng)為：功率譜（power spectral density）PSD自功率譜譜密度Wx（f）縱坐標(biāo)為Wx（f）；橫坐標(biāo)為f；頻率范圍在fa 、fb之間；f1、 f2的振動(dòng)分量較大； fO fa f1 f2 fb 寬頻帶的隨機(jī)功率譜圖頻譜圖可通過(guò)將實(shí)測(cè)的隨機(jī)振動(dòng)的時(shí)間歷程記錄經(jīng)頻譜分析儀得到。功率譜密度函數(shù)的單位：（隨機(jī)變量單位）2/單位頻率。如當(dāng)x(t)是振動(dòng)位移的時(shí)間歷程時(shí)，其譜密度單位為（位移）2/HZ。當(dāng)x(t)是振動(dòng)加速度的時(shí)間歷程時(shí)，其譜密度單位為（g）2/HZ。

10、 當(dāng)x(t)是軌道不平順波形時(shí)，其譜密度單位為（mm）2·m/周。功率譜圖形的意義：上式左邊為上圖中以陰影表示的微面積；右邊為微小寬帶內(nèi)的均方值。于是在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)由Wx（f）和橫坐標(biāo)所圍的面積就等于全部寬帶內(nèi)的相應(yīng)的均方值之和。即等于x(t)的總的均方值功率譜的作用：通過(guò)對(duì)它的分析，有助于了解隨機(jī)振動(dòng)的機(jī)理，有助于進(jìn)行振動(dòng)模擬。如已測(cè)得軌道不平順的功率譜，就可對(duì)其進(jìn)行譜型模擬，用它作激勵(lì)函數(shù)在室內(nèi)對(duì)車(chē)輛進(jìn)行振動(dòng)模擬試驗(yàn)，由此而得到試驗(yàn)結(jié)果和車(chē)輛在實(shí)際線(xiàn)路上運(yùn)行的結(jié)果具有相同的特性。在隨機(jī)過(guò)程理論的推理中，常用傅里葉變換來(lái)表明自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)間的關(guān)系：（1）（2）稱(chēng)為自相

11、關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，而則稱(chēng)為的傅里葉逆變換。在（2）式中令0則得因，故這樣，又得到了均方值等于曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)軸之間面積的關(guān)系式。上式中的稱(chēng)為雙邊功率譜。Wx（f）稱(chēng)為單邊功率譜Wx（f）f兩種功率譜的關(guān)系式為2d= Wx（f）df而f=/2df=d/2所以，有Wx（f）42互功率譜密度函數(shù)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度函數(shù)定義為這兩個(gè)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。即互譜密度的一個(gè)重要性質(zhì)是兩者為共軛復(fù)數(shù)，即第二節(jié)線(xiàn)性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的基本特性當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)可以用線(xiàn)性微分方程描述時(shí)，成為線(xiàn)性系統(tǒng)。若系統(tǒng)方程中的系數(shù)不隨時(shí)間而變，則稱(chēng)為常系數(shù)線(xiàn)性系統(tǒng)。一、線(xiàn)性系統(tǒng)的基本特性常系數(shù)線(xiàn)性系統(tǒng)具有如下特性：1）

12、疊加性：若系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)x1(t)單獨(dú)作用下，對(duì)應(yīng)于某一響應(yīng)為y1(t),在xn(t)作用下的響應(yīng)為yn(t),則在x1（t）x2(t)、。xn（t）的同時(shí)作用下總的響應(yīng)y(t)為y1(t) 、y2(t) 。yn(t)之和；2） 齊次性當(dāng)激勵(lì)的輸入項(xiàng)按某一倍數(shù)變化時(shí)，輸出量也按同一倍數(shù)變化；3） 頻率保存性系統(tǒng)在頻率為的諧和函數(shù)激勵(lì)下，其響應(yīng)也具有相同的頻率，不會(huì)引起頻率的轉(zhuǎn)換，而只能改變相位和振幅。線(xiàn)性系統(tǒng)適用于疊加原理，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。這樣可將系統(tǒng)分解為一個(gè)輸出對(duì)應(yīng)于一個(gè)輸入來(lái)研究，然后將響應(yīng)進(jìn)行疊加即得系統(tǒng)總的響應(yīng)。二、頻率響應(yīng)函數(shù)線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)受到諧和函數(shù)x(t)=x0sint激勵(lì)時(shí)，其響

13、應(yīng)也具有同頻率的簡(jiǎn)諧波，但存在相位差，即y(t)=y0sin(t+).因此，用振幅比y0/ x0和相角就可確定系統(tǒng)的傳遞特性。頻率響應(yīng)函數(shù)或傳遞函數(shù)用H（）表示H（）的定義：該函數(shù)的模等于輸出與輸入的振幅比，虛部與實(shí)部之比等于相角的正切。即H（）A（）jB（）注意：輸出量并不一定就是振幅，是廣義的幅值。y0 具有不同的意義時(shí)，H（）值也不同。應(yīng)用復(fù)數(shù)表示法中的的關(guān)系，可將上面輸入和輸出寫(xiě)為隨然是系統(tǒng)對(duì)諧和輸入的頻第響應(yīng)函數(shù)，但在隨機(jī)輸入所引起的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)中有十分重要的應(yīng)用，它決定了系統(tǒng)的響應(yīng)特性。（一） 單自由度系統(tǒng)受單一激勵(lì)時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)F（t）求的方法 MZ系統(tǒng)受到軌道不平順Zv(t)

14、的激勵(lì) K C其動(dòng)動(dòng)方程為取ZV（t）為單位振幅的諧和函數(shù) t則響應(yīng)z(t)= 將 z(t)代入上面方程Zv(t)得為求出的模令EK，F(xiàn)C，GKM2，HC則的模為： 再進(jìn)行下面代換：令系統(tǒng)的自振頻率為P，減振因素為D，頻率比為r,則有PD將上式分子分母各除以K，經(jīng)演算后得上式為車(chē)體振幅與線(xiàn)路波形振幅之比的擴(kuò)大倍率。（二）、單自由系統(tǒng)受多個(gè)激勵(lì)時(shí)的頻率響應(yīng)函數(shù)仍以上圖為例，除有軌不平順產(chǎn)生的激勵(lì)外，簧上部分還作用有垂向激振力系統(tǒng)的方程為該系統(tǒng)的已求得，以下求作用的頻率響應(yīng)函數(shù)現(xiàn)令Zv(t)0，代入上式得為求其模，將上式寫(xiě)成于量有當(dāng)系統(tǒng)受到多個(gè)激勵(lì)時(shí)，便會(huì)有多個(gè)頻率響應(yīng)函數(shù)，其中每一個(gè)都可按求的方

15、法單獨(dú)求出。以上討論的是系統(tǒng)輸出位移的頻率響應(yīng)函數(shù)，對(duì)于輸出的是振動(dòng)速度和加速度時(shí)可如下處理；若系統(tǒng)輸出的是y(t)=y0sin(t+)，輸入的是x(t)=x0sint，則有= y0cos(t+) =y02sin(t+)于是，振動(dòng)速度和加速度的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為三、系統(tǒng)響應(yīng)的譜密度隨機(jī)過(guò)程理論表明：對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，如果輸入的函數(shù)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而且是各態(tài)歷經(jīng)的和呈正態(tài)分布的，則輸出的振動(dòng)響應(yīng)也是平穩(wěn)的、各態(tài)歷經(jīng)的和呈正態(tài)分布的。如單個(gè)輸入函數(shù)x(t)的譜密度為SX（），輸出函數(shù)y(t)的相應(yīng)譜密度為Sy(),則有下列重要關(guān)系存在：（1）當(dāng)有兩個(gè)輸入函數(shù)時(shí)有：Sy()（2）式中分別為的復(fù)數(shù)共軛；分別

16、為輸入的譜密度；分別為輸入的互譜密度。當(dāng)有n個(gè)輸入函數(shù)時(shí)，則相應(yīng)的式子為：（3）對(duì)于單個(gè)輸入的情況有因復(fù)數(shù)和它的復(fù)共軛的乘積等于該復(fù)數(shù)模的平方，故有（1）式對(duì)于互不相關(guān)的各個(gè)輸入，其互譜密度均為零，由式（3）可得（4）由3式與4式比較，互譜密度為零時(shí)，計(jì)算響應(yīng)的譜密度要簡(jiǎn)單得多。因此，只要互譜密度很小，在工程計(jì)算中往往略運(yùn)河不計(jì)。四、系統(tǒng)響應(yīng)的均方值若已知系統(tǒng)的響應(yīng)譜密度，則其均方值可按下式求得：（5）對(duì)于單個(gè)輸入，有度度ef1gh1gqj1tgj1s1ud1txi1dh z z對(duì)于多個(gè)互不相關(guān)的輸入，有即此時(shí)系統(tǒng)總的均方響應(yīng)值為各個(gè)輸入產(chǎn)生的響應(yīng)均方值之總和。如多個(gè)輸入之間存在著相關(guān)關(guān)系時(shí)，

17、就需用（3）式求出相應(yīng)的譜密度，然后再用式（5）求出響應(yīng)的均方值。對(duì)于單個(gè)輸入的響應(yīng)加速度均方值有：（6）式中的即導(dǎo)出得到，過(guò)程加速度的譜密度是原振動(dòng)位移譜密度的倍。同樣有振動(dòng)速度的譜密度是原振動(dòng)位移譜密度的倍。有此重要關(guān)系，就可從已知的輸入譜密度通過(guò)以上關(guān)系式計(jì)算出響應(yīng)速度和加速度的均方值。而后者正是計(jì)算車(chē)輛響應(yīng)和評(píng)定平穩(wěn)性所必須的。例由上圖系統(tǒng)為例計(jì)算其響應(yīng)的均方值。這里僅考慮由的激勵(lì)引起的響應(yīng)。S0設(shè)的譜密度為常數(shù)，即S0。0輸入譜密度利用n 0n 頻響函數(shù)可得出輸出的譜密度為：見(jiàn)圖n 0n輸出譜密度輸出的均方值為：這種形式的定積分可由查表得到，結(jié)果得：由于譜密度曲線(xiàn)下面的面積等于響應(yīng)的均方值，由圖可見(jiàn)，系統(tǒng)的振動(dòng)能量集中在共振峰值附近。這表明在寬帶的輸入作用下其輸出是一個(gè)窄帶過(guò)程。第三節(jié) 車(chē)輛簡(jiǎn)化模型的垂向隨機(jī)振動(dòng)一、具有一個(gè)自由度模型的響應(yīng)減小振動(dòng)響應(yīng)的途徑：以簡(jiǎn)化模型為對(duì)象時(shí)車(chē)輛隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的一些重要特征：1、 車(chē)體的均方根加速度和軌道不平順的大小有關(guān)，線(xiàn)路的等級(jí)和技術(shù)狀態(tài)愈差，則振動(dòng)加速度愈大；2、 振動(dòng)加速度隨運(yùn)行速度的提高而明顯增大，速度增加一倍時(shí)加速度要增大41%；3、 振動(dòng)加速度隨車(chē)輛自振頻率的提高而急劇加大；4、 系統(tǒng)的阻尼和剛度比對(duì)振動(dòng)響應(yīng)有不同程度的影響。途徑：1、 降低車(chē)輛的自