計(jì)數(shù)原理排列組合的題目型與方法

1、 計(jì)數(shù)原理、排列組合題型與方法基本思路：大的方向分類，類中可能有步或類例1：架子上有不同的2個(gè)紅球，不同的3個(gè)白球，不同的4個(gè)黑球.若從中取2個(gè)不同色的球，則取法種數(shù)為_.解：先分類、再分步，共有取法23243426種.故填26.基本思路：大的方向分步，步中可能有類或步例1：如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有( )A11種B20種C21種D12種解：分兩步，第一部分接通，則可能有一個(gè)接通或者兩個(gè)都接通，有3種可能；第二部分接通，則可能恰有一個(gè)接通或恰有兩個(gè)接通或者都接通，有7種可能。從而總共有種方式?；舅悸罚号懦ㄩg接求解例1：()電路如圖所示，在A，B間有四個(gè)開關(guān)，若發(fā)現(xiàn)A，B之間

2、電路不通，則這四個(gè)開關(guān)打開或閉合的方式有()A.3種 B.8種C.13種 D.16種解：各個(gè)開關(guān)打開或閉合有2種情形，故四個(gè)開關(guān)共有24種可能，其中能使電路通的情形有：1，4都閉合且2和3中至少有一個(gè)閉合，共有3種可能，故開關(guān)打開或閉合的不同情形共有24313(種).故選C.剔除重復(fù)元素例1：()從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lgalgb的不同值的個(gè)數(shù)是()A.9 B.10 C.18 D.20解：lgalgblg，而，故所求為A218個(gè)，故選C.投信問(wèn)題例1：將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有()A.53種 B.35種 C.3種 D.15種解：第

3、1封信，可以投入第1個(gè)郵筒，可以投入第2個(gè)郵筒，也可以投入第3個(gè)郵筒，共有3種投法；同理，后面的4封信也都各有3種投法.所以，5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有35種.故選B.例2：有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(不一定六名同學(xué)都能參加)(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限解(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有選法36729(種)(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目

4、有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法654120(種)(3)由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法63216(種)數(shù)字排列問(wèn)題例1：用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？(2)可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)？解：(1)直接法：AA300； 間接法：AA300.(2)由題意知四位數(shù)的個(gè)位上必須是偶數(shù)，同時(shí)暗含了千位不能是0，因此該四位數(shù)的個(gè)位和千位是“特殊位置”，應(yīng)優(yōu)先處理；另一方面，0既是偶數(shù)，又不能排在千位，屬“特殊元素”，應(yīng)重點(diǎn)對(duì)待.解法一：(

5、直接法)0在個(gè)位的四位偶數(shù)有A個(gè)；0不在個(gè)位時(shí)，先從2，4中選一個(gè)放在個(gè)位，再?gòu)挠嘞碌乃膫€(gè)數(shù)(不包括0)中選一個(gè)放在千位，應(yīng)有AAA個(gè).綜上所述，共有AAAA156(個(gè)).解法二：(間接法)從這六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字組成最后一位是偶數(shù)的排法，有AA個(gè)，其中千位是0的有AA個(gè)，故適合題意的數(shù)有AAAA156(個(gè)).點(diǎn)撥：本例是有限制條件的排列問(wèn)題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時(shí)注意題中隱含條件0不能在首位.例2：用數(shù)字2，3組成四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(gè)(用數(shù)字作答)解析數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3

6、次，共可組成C4(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C6(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C4(個(gè))四位數(shù)綜上所述，共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù)例3：()如果正整數(shù)M的各位數(shù)字均不為4，且各位數(shù)字之和為6，則稱M為“幸運(yùn)數(shù)”，則三位正整數(shù)中的“幸運(yùn)數(shù)”共有_個(gè).解：不含4，且和為6的三個(gè)自然數(shù)可能為(1，2，3)，(1，5，0)，(2，2，2)，(3，3，0)，(6，0，0).因此三位正整數(shù)中的“幸運(yùn)數(shù)”有A2A1A114(個(gè)).故填14.錯(cuò)位排列例1：將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格中，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填

7、法有_種解析編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法；編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字3，共有3種不同填法；編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，共有3種不同填法于是由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有3339(種)不同的填法例2：()用6個(gè)字母A，B，C，a，b，c編擬某種信號(hào)程序(大小寫有區(qū)別).把這6個(gè)字母全部排到如圖所示的表格中，每個(gè)字母必須使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信號(hào)，如果恰有一對(duì)字母(同一個(gè)字母的大小寫)排到同一列的上下格位置，那么稱此信號(hào)為“微錯(cuò)號(hào)”，則不同的“微錯(cuò)號(hào)”總個(gè)數(shù)為()A.432 B.288 C.96 D.48解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行：先確定排到同一列的上下格位置的一對(duì)字母，有C

8、3種情況，將其放進(jìn)表格中，有C3種情況，考慮這一對(duì)字母的順序，有A2種不同順序；再分析第二對(duì)字母，其不能排到同一列的上下格位置，假設(shè)選定的一對(duì)大小寫字母為A和a，則分析B與b：B有4種情況，b的可選位置有2個(gè)；最后一對(duì)字母放入最后兩個(gè)位置，有A2種放法.則共有332422288個(gè)“微錯(cuò)號(hào)”.故選B.選派分配問(wèn)題例1：2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有( )A36種B12種C18種D48種解：根據(jù)題意分2種情況討論，若小張或小

9、趙入選，則有選法C21C21A33=24；若小張、小趙都入選，則有選法A22A32=12，共有選法12+24=36種，故選A例2：2015年開春之際，六中食堂的伙食在百升老師的帶領(lǐng)下進(jìn)行了全面升級(jí)某日5名同學(xué)去食堂就餐，有米飯，花卷，包子和面條四種主食每種主食均至少有一名同學(xué)選擇且每人只能選擇其中一種花卷數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)因腸胃不好不能吃米飯，則不同的食物搭配方案種數(shù)為（） A 96 B 120 C 132 D 240解：分類討論：甲選花卷，則有2人選同一種主食，方法為=18，剩下2人選其余主食，方法為=2，共有方法182=36種；甲不選花卷，其余4人中1人選花卷，方法為4種，甲包子

10、或面條，方法為2種，其余3人，若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法為3=6；若沒(méi)有人選甲選的主食，方法為=6，共有42（6+6）=96種，故共有36+96=132種，故選：C分堆與分配問(wèn)題例1：現(xiàn)有6本不同的書：(1)甲、乙、丙三人每人兩本，有多少種不同的分配方法？(2)分成三堆，每堆2本，有多少種分堆方法？(3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中，一人分4本，另兩人每人分1本，有多少種不同的分配方法？解：(1)在6本書中，先取2本給甲，再?gòu)氖Ｏ碌?本書

11、中取2本給乙，最后兩本給丙，共有CCC90(種)分配方法；(2)6本書平均分成3堆，用上述分法重了A倍，故共有15(種)分堆方法；(3)從6本書中，先取1本作為一堆，再在剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，共有CCC60(種)分堆方法；(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有CCCA360(種)分配方法.(5)先分堆、再分配，共有A90(種)分配方法.點(diǎn)撥：平均分配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆數(shù)的全排列.分堆到位相當(dāng)于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為：.對(duì)于分堆與分配問(wèn)題應(yīng)注意：處理分配問(wèn)題要注意先分堆再分配.被分配的元素是不同的(像“名額”

12、等則是相同元素，不適用)，位置也應(yīng)是不同的(如不同的“盒子”).分堆時(shí)要注意是否均勻.如6分成(2，2，2)為均勻分組，分成(1，2，3)為非均勻分組，分成(4，1，1)為部分均勻分組.例2：4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有多少種放法？(2)恰有2個(gè)盒不放球，共有多少種放法？解：(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有多少種放法？”即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后進(jìn)行全排列，共有CA144(種)放法.(2)確定2個(gè)空盒有C種方法.4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3，1)，(2

13、，2)兩類，第一類為有序不均勻分組，有CCA種放法；第二類為有序均勻分組，有A種放法，故共有C84(種).相鄰捆綁，不鄰插空例1：3名女生和5名男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法？(2)如果女生都不相鄰，有多少種排法？(3)如果女生不站兩端，有多少種排法？(4)其中甲必須排在乙前面(可不鄰)，有多少種排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法？解(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起有6個(gè)元素，排成一排有A種排法，而其中每一種排法中，三個(gè)女生間又有A種排法，因此共有AA4 320(種)不同排法(2)(插空法)先排5個(gè)男生，有

14、A種排法，這5個(gè)男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有A種排法，因此共有AA14 400(種)不同排法(3)法一(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?個(gè)男生中選2人排列，有A種排法，剩余的位置沒(méi)有特殊要求，有A種排法，因此共有AA14 400(種)不同排法法二(元素分析法)從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生，有A種排法，其余位置無(wú)限制，有A種排法，因此共有AA14 400(種)不同排法(4)8名學(xué)生的所有排列共A種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中，符合要求的排法種數(shù)為A20 160(種)(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置法一(特殊元素法)甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有

15、A種；甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè)，有A種而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上，有A種，其余人全排列，共有AAA種由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有AAAA30 960(種)法二(特殊位置法)先排最左邊，除去甲外，有A種，余下7個(gè)位置全排，有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法AA種，因此共有AAAA30 960(種)法三(間接法)8個(gè)人全排，共A種，其中，不合條件的有甲在最左邊時(shí)，有A種，乙在最右邊時(shí)，有A種，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有A種因此共有A2AA30 960(種)規(guī)律方法(1)對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行

16、排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法(2)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法例2：有5盆菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花不同的擺放種數(shù)是( )A12B24C36D48解：由題意，第一步將黃1與黃2綁定，兩者的站法有2種，第二步將此兩菊花看作一個(gè)整體，與除白1，白2之外的一菊花看作兩個(gè)元素做一個(gè)全排列有A22種站法，此時(shí)隔開了三個(gè)空，第三步將白1，白2兩菊花插入三個(gè)空，排法種

17、數(shù)為A32，則不同的排法種數(shù)為2A22A32=226=24故選B例3：編號(hào)為1、2、3、4、5、6、7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有()A60種 B8種 C20種 D10種解：四盞不亮燈有5個(gè)空位，再安排3亮燈，總有種方案。例4：某班元旦晚會(huì)已經(jīng)排好4個(gè)節(jié)目的順序，先臨時(shí)要增加2個(gè)節(jié)目進(jìn)來(lái)，要求不打亂原來(lái)節(jié)目的順序，則晚會(huì)節(jié)目的安排方案有_種。解：原來(lái)4個(gè)節(jié)目有5個(gè)空位，先安排第一個(gè)節(jié)目，有5種方案；這時(shí)有6個(gè)空位，再安排第二個(gè)節(jié)目，有6種方案，所以總共有30種方案。最短路走法問(wèn)題例1：A , B兩地街道如圖所示，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法

18、有 種（用數(shù)字作答） 解：3右2上，共5步，從中選3步來(lái)右走余下則上走，走法有種。無(wú)區(qū)別元素分配的隔板法例1. 求方程X+Y+Z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。解：將10個(gè)球排成一排，球與球之間形成9個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為x、y、z之值（如下圖）。則隔法與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對(duì)立關(guān)系，故解的個(gè)數(shù)為C92=36（個(gè)）。 例2：求方程X+Y+Z=10的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。解：注意到x、y、z可以為零，故上題解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不成立了，怎么辦呢？只要添加三個(gè)球，給x、y、z各一個(gè)球。這樣原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求X+Y+Z

19、=13的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)了，故解的個(gè)數(shù)為C122=66（個(gè)）。例3：將20個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，求放法總數(shù)。解法1：先在編號(hào)1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，剩下14個(gè)球，有1種方法；再把剩下的球分成4組，每組至少1個(gè)，由例1知方法有C133=286（種）。解法2：第一步先在編號(hào)1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放1，2，3，4個(gè)球，剩下10個(gè)球，有1種方法；第二步把剩下的10個(gè)相同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有C133=286（種）。涂色問(wèn)題例1：有一個(gè)圓被兩相交弦分成四塊，現(xiàn)用5種不同的

20、顏料給這四塊涂色，要求相鄰的兩塊顏色不同，每塊只涂一種顏色，共有多少種涂色方法？解：如圖，分別用A，B，C，D記這四個(gè)部分，A與C，B與D不相鄰，因此，它們可以同色，也可以不同色.首先分兩類，即A，C涂相同顏色和A，C涂不同顏色：類型一，分三步：第一步，給A，C涂相同的顏色，有5種涂法；第二步，給B涂色有4種涂法；第三步，給D涂色，由于D與B可以涂相同的顏色，所以有4種涂法.由分步計(jì)數(shù)原理知，共有54480種不同的涂法.類型二，分四步：第一步，給A涂色，有5種涂法；第二步，給C涂色，有4種涂法；第三步，給B涂色有3種涂法；第四步，給D涂色有3種涂法.由分步計(jì)數(shù)原理知，共有5433180種不同的

21、涂法.綜上，由分類計(jì)數(shù)原理可知，共有80180260種不同的涂法.點(diǎn)撥：本題也可以在分四步的基礎(chǔ)上再分類來(lái)完成：A有5種涂法，B有4種涂法，若C與A相同，則D有4種涂法，若C與A不同，則C有3種涂法，且D有3種涂法，故有54(433)260種涂法.涂色問(wèn)題多以平面、空間為背景，涂色對(duì)象以平面區(qū)域居多，也有以點(diǎn)或線為對(duì)象的涂色問(wèn)題.此類問(wèn)題往往需要多次分類、分步(也有用窮舉法解決的題目)，常用分類依據(jù)有：所涂顏色種類(如本題，可依用4種、3種、2種色來(lái)分類)；可涂同色的區(qū)域(或點(diǎn)、線等)是否涂同色.例2：給一個(gè)各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的

22、邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有多少種？解法一：如圖，染五條邊總體分五步，染每一邊為一步.當(dāng)染邊1時(shí)有3種染法，則染邊2有2種染法.(1)當(dāng)邊3與邊1同色時(shí)有1種染法，則邊4有2種染法，邊5有1種染法，此時(shí)染法總數(shù)為3212112(種).(2)當(dāng)邊3與邊1不同色時(shí)，邊3有1種染法，當(dāng)邊4與邊1同色時(shí)，邊4有1種染法，邊5有2種染法；當(dāng)邊4與邊1不同色時(shí)，邊4有1種染法，邊5有1種染法.則此時(shí)共有染法321(1211)18(種).綜合(1)、(2)，由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得染法的種數(shù)為30種.解法二：通過(guò)分析可知，每種色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余兩種顏色各染2次.染五

23、條邊總體分兩步.第一步選一色染1次有CC種染法，第二步另兩色各染2次有2種染法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，一共有2CC30種染法.幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題例1：從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有種解：使用間接法，首先分析從6個(gè)面中選取3個(gè)面，共C63種不同的取法，而其中有2個(gè)面相鄰，即8個(gè)角上3個(gè)相鄰平面，選法有8種，則選法共有C638=12種，故答案為：12例2： 如圖，設(shè)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)P有（ ）A4個(gè) B.6個(gè) C. 10個(gè) D.14個(gè)解：分以下兩種情況討論：（1

24、）點(diǎn)P到其中兩個(gè)點(diǎn)的的距離相等，到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離分別相等，且這兩個(gè)距離相等，此時(shí)點(diǎn)P位于正四面體各棱的中點(diǎn)，符合條件的有6個(gè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)P到其中三個(gè)點(diǎn)的的距離相等，到另外一個(gè)點(diǎn)的距離與它到其它三個(gè)點(diǎn)的距離不相等，此時(shí)點(diǎn)P在正四面體各側(cè)面的中心，符合條件的有4個(gè)點(diǎn)；綜上，滿足題意的點(diǎn)共計(jì)10個(gè)，故答案選C.例3：正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成（ ）個(gè)四面體A.70 B.64 C.61 D.58解：所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，共C(8，4)-12=70-12=58個(gè)。創(chuàng)新問(wèn)題例1：()用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中

25、取出若干個(gè)球的所有取法可由(1a)(1b)的展開式1abab表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái).依此類推，下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5 B.(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C.(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5) D.(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)解：分三步：第一步，5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球可能取出0個(gè)，1個(gè)，5個(gè)，則有(1aa2a3a4a5

26、)種不同的取法；第二步，5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有(1b5)種不同的取法；第三步，5個(gè)有區(qū)別的黑球中任取0個(gè)，1個(gè)，5個(gè)，有(1CcCc2Cc3Cc4Cc5)(1c)5種不同的取法，所以所求為(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5，故選A.例2：如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()A240 B204 C729 D920解析若a22，則“凸數(shù)”為120與121，共122個(gè)若a23，則“凸數(shù)”有236個(gè)若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3412個(gè)，若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8972個(gè)所有凸

27、數(shù)有26122030425672240(個(gè))習(xí)題薈萃1、(2014北京卷)把5件不同產(chǎn)品擺成一排若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種解析記5件產(chǎn)品為A、B、C、D、E，A、B相鄰視為一個(gè)元素，先與D、E排列，有AA種方法；再將C插入，僅有3個(gè)空位可選，共有AAC26336(種)不同的擺法答案362、(2014重慶卷)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72 B120 C144 D168解析先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有AA144種，再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況，共有AA

28、A24種，于是符合題意的排法共有14424120種答案B3、(2015杭州調(diào)研)四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案有_種解析分兩步：先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對(duì)三組學(xué)生全排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A種依分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有NCA36(種)4、在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為()A10 B11 C12 D15解析與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110有兩個(gè)

29、對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C6(個(gè))；第二類：與信息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C4(個(gè))；第三類：與信息0110沒(méi)有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C1(個(gè))；故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有64111(個(gè))答案B5、 將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，上海交通大學(xué)，浙江大學(xué)等三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為( )種A240B180C150D540解：當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1或3，1，1兩種形式，當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時(shí)，共有C52C32A33=90種結(jié)果，當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，共有C53A33=60種結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有90+

30、60=150 故選：C6、小明有4枚完全相同的硬幣，每個(gè)硬幣都分正反兩面他想把4個(gè)硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對(duì)，不同的擺法有（）A 4種B 5種C 6種D 9種解：記反面為1，正面為2；則正反依次相對(duì)有12121212，21212121兩種；有兩枚反面相對(duì)有21121212，21211212，21212112；共5種擺法，故選B7、我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有( )A12B18C24D48解：把甲、乙看作1個(gè)元素和戊全排列，調(diào)整甲、乙，共有種方法，再把

31、丙、丁插入到剛才“兩個(gè)”元素排列產(chǎn)生的3個(gè)空位種，有種方法，由分步計(jì)算原理可得總的方法種數(shù)為：=24故選C8、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）60 90 120 180解：把新轉(zhuǎn)來(lái)的4名學(xué)生平均分兩組，每組2人，分法有種，把這兩組人安排到6個(gè)班中的某2個(gè)中去，有種方法，故不同的安排種數(shù)為，故選答案9、如圖，A、B、C、D為四個(gè)村莊，要修筑三條公路，將這四個(gè)村莊連起來(lái)，則不同的修筑方法共有()A8種 B12種C16種 D20種10、平面內(nèi)有4個(gè)紅點(diǎn)，6個(gè)藍(lán)點(diǎn)，其中只有一個(gè)紅點(diǎn)和兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)共線，其余任意三點(diǎn)不共線，過(guò)

32、這十個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)所確定的直線中，至少過(guò)一紅點(diǎn)的直線的條數(shù)是（ ）CA27 B28 C29 D3011、已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（ ）A48種 B72種 C78種 D84種解析：由題意知先使五個(gè)人的全排列，共有A55種結(jié)果去掉相同顏色衣服的人相鄰的情況，穿藍(lán)色相鄰和穿黃色相鄰兩種情況穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是A55A22A22A332A22A22A32=48，故選A12、兩個(gè)三口之家，共4個(gè)大人，2個(gè)小孩，約定星期日乘“奧迪”、“捷達(dá)”兩輛轎車結(jié)伴郊游，每輛車最多只能乘坐4人，其

33、中兩個(gè)小孩不能獨(dú)坐一輛車，則不同的乘車方法種數(shù)是（） A 40 B 48 C 60 D 68解：只需選出乘坐奧迪車的人員，剩余的可乘坐捷達(dá)若奧迪車上沒(méi)有小孩，則有=10種；若有一個(gè)小孩，則有（+）=28種；若有兩個(gè)小孩，則有+=10種故不同的乘車方法種數(shù)為10+28+10=48種故選：B13、現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（） A 232 B 252 C 472 D 484解：由題意，不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，故所求的

34、取法共有=5601672=472故選C14、如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為 ( )CA24種 B48種 C72種 D96種15、給四面體的六條棱分別涂上紅，黃，藍(lán)，綠四種顏色中的一種，使得有公共頂點(diǎn)的棱所涂的顏色互不相同，則不同的涂色方法共有( ) A 96 B144 C. 240 D. 360解析：先從紅，黃，藍(lán)，綠四種顏色中選一種，有種，排列種數(shù)有,故不同的涂色方法共有，故選A.16、某人根據(jù)自己愛(ài)好，希望從中選2個(gè)不同字母，從中選3 個(gè)不同數(shù)字編擬車牌號(hào)，要求前3位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字2不能排在首位，字母和數(shù)字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號(hào)有（A）198個(gè) （B）180個(gè) （C）216個(gè) （D）234個(gè)解析：不選2時(shí)，有種，選2，不選Z時(shí)，有種，選2，選Z時(shí)，2在數(shù)字的中間，有種，當(dāng)2在數(shù)字的第三位時(shí)，種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有72