數(shù)學(xué)常微分方程第五章

1、5.3 Coefficients Linear ODEs5.3.3 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用0dttetLsst)()()(ffF這里這里 f(t) f(t) 是是 n n 維向量函數(shù)，要求它的每一個(gè)分量維向量函數(shù)，要求它的每一個(gè)分量定義定義都存在拉普拉斯變換。都存在拉普拉斯變換。5.3 Coefficients Linear ODEs00和M使不等使不等式式tMetf)(xfAxx) 0(),( t的解的解)(t )( t 如果對(duì)向量函數(shù)如果對(duì)向量函數(shù) f (t)，存在常數(shù)，存在常數(shù)定理定理12對(duì)所有充分大的對(duì)所有充分大的t 成立，則初值問題成立，則初值問題 及其導(dǎo)數(shù) (5.62

2、)的不等式從而它們的拉普拉斯變換都存在。的不等式從而它們的拉普拉斯變換都存在。(5.62)均象均象 f(t) 一樣滿足類似一樣滿足類似5.3 Coefficients Linear ODEs試求方程組試求方程組21221142xxxxxx例例12滿足初始條件滿足初始條件100021)(,)(的解的解),(),(tt21并求出它的基解矩陣。并求出它的基解矩陣。解解 令令)()(),()(txLsXtxLsX2211假設(shè)假設(shè))(),(2211txtx滿足微分方程組滿足微分方程組對(duì)方程組施行拉普拉斯變換，有對(duì)方程組施行拉普拉斯變換，有: :5.3 Coefficients Linear ODEs)(

3、4)()0()()()(2)0()(21222111sXsXssXsXsXssX即即1)0()()4()(0)0()()()2(221121sXssXsXsXs解出解出)(),(21sXsX有有: :22221)3(131)3(2,)3(1)(ssssXssX5.3 Coefficients Linear ODEs取反變換，得取反變換，得: :ttttetteettet333231)1 ()(,)(22213131 31)(,)()(ssXssX為了尋求基解矩陣，再求滿足初始條件為了尋求基解矩陣，再求滿足初始條件0) 0(, 1) 0(21的解的解)(),(21tt5.3 Coefficien

4、ts Linear ODEs0) 0()() 4()(1) 0()()() 2(221121sXssXsXsXs其解為其解為: :22221) 3(1)(,) 3(131) 3(4)(ssXsssssXtttetett32311)(,)()(基解矩陣是基解矩陣是ttttetttttt11)()()()()(32211作業(yè)作業(yè)P.236, 第第6(a)題（用拉普拉斯變換法）。題（用拉普拉斯變換法）。5.3 Coefficients Linear ODEsAxx (5.33) (5.33)1 應(yīng)用拉普拉斯變換可以將求解線性微分方程組的應(yīng)用拉普拉斯變換可以將求解線性微分方程組的問題轉(zhuǎn)化為求解線性代數(shù)

5、方程組的問題。問題轉(zhuǎn)化為求解線性代數(shù)方程組的問題。2 應(yīng)用拉普拉斯變換還可以直接解高階的常系數(shù)線性微應(yīng)用拉普拉斯變換還可以直接解高階的常系數(shù)線性微分方程組，不必先化為一階的常系數(shù)線性微分方程組。分方程組，不必先化為一階的常系數(shù)線性微分方程組。3 拉普拉斯變換提供了一種尋求常系數(shù)線性微分方程組拉普拉斯變換提供了一種尋求常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣的又一種方法。的基解矩陣的又一種方法。5.3 Coefficients Linear ODEs可化為常系數(shù)線性方程組的類型可化為常系數(shù)線性方程組的類型1)(xxdxdgAyy1利用自變量的代換tex 可將方程化為常系數(shù)線性方程組)(tedtdgAyy5

6、.3 Coefficients Linear ODEs11112201)(nnnn利用自變量的代換 與tex 可將方程化為常系數(shù)線性方程組ntnnttyeYyeYyeYyY)(,13232211 5.3 Coefficients Linear ODEs2nnnnnnnnnnnnnnnnyxayxayxayxadxdyyxayayxayxadxdyyxaxyayayxadxdy323212113232322212212213132121111的次數(shù)有以下規(guī)律：為常數(shù)，xaij5.3 Coefficients Linear ODEsnnnnnnnnnnnnnynayayayadxdyyayayay

7、adxdyyayayayadxdyyayayayadxdy)()()(1213322112333232131223232121212131321211115.3 Coefficients Linear ODEs例例1 求解方程組求解方程組01110101101texx 5.3 Coefficients Linear ODEs21222122yxyxdxdyydxdy例例2 求解方程組求解方程組解解tex 2211 yeYyYt,21222122yeyedtedyydtedytttt2122122yeydtdyeyedtdyttt221222122yeyeydtdyeyeyedtdyttttt5.3 Coefficients Linear OD