課堂導學221綜合法與分析法

1、課堂導學三點剖析一,利用綜合法證明數(shù)學問題【例1】 如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,求證:PCBD.證明:(綜合法)因為PA是平面ABCD的垂線,PC是平面ABCD的斜線,連結AC、BD,則AC是PC在底面ABCD內的射影.又因為四邊形ABCD為正方形，ACBD.故PCBD.溫馨提示 本例圖形具有很多性質,從不同的審視角度去分析,可以得到多個證明方法,如可以轉化為線面垂直來證線線垂直,也可以用向量來證明(因為圖形中有AB、AD、AP兩兩垂直的基向量)等等. 一般地,對于命題“若A則D”用綜合法證明時,思考過程可表示為 綜合法的思考過程是由因導果的順序,是從A

2、推演達到D的途徑,但由A推演出的中間結論未必唯一,如B、B1、B2等,可由B、B1、B2能推演出的進一步的中間結論則可能更多,如C、C1、C2、C3、C4等等.最終,能有一個(或多個)可推演出結論D即可.二,利用分析法證明數(shù)學問題【例2】求證：+2<2+.證法一:為了證明+2<2+,+2>0,2+>0,只需證明(+2)2<(2+)2,展開得11+4<11+4,只需證4<4,只需證6<7.顯然6<7成立.+2<2+成立.證法二:為了證明+2<2+,只要證明2-<2-,只要證明.2>2,>,2+>2+>

3、0.成立.+2<2+成立.溫馨提示 用分析法思考數(shù)學問題的順序可表示為：(對于命題“若A則D”) 分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序,是從D上溯尋其論據(jù),如C、C1、C2等,再尋求C、C1、C2的論據(jù),如B、B1、B2、B3、B4等等,繼而尋求B、B1、B2、B3、B4的論據(jù),如果其中之一B的論據(jù)恰為已知條件,于是命題已經得證.用分析法與綜合法來敘述證明,語氣之間也應當有區(qū)別.在綜合法中,每個推理都必須是正確的,每個論斷都應當是前面一個論斷的必然結果,因此所用語氣必須是肯定的.而在分析法中,就應當用假定的語氣,習慣上常用這樣一類語句：假如要A成立,就需先有B成立;如要有B成立,又只需有C成

4、立這樣從結論一直推到已知條件.當我們應用分析法時,所有各個中間的輔助命題,僅僅考慮到它們都是同所要證明的命題是等效的,而并不是確信它們都是真實的,直至達到最后已知條件或明顯成立的事實后,我們才確信它是真實的,從而可以推知前面所有與之等效的命題也都是真實的,于是命題就被證明了.三,創(chuàng)新應用【例3】 設a,b,c為任意三角形三邊長,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證3SI2<4S.證明:I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S.故要證3SI2<4S,只需證3Sa2+b2+c2+2S<4S,即Sa2+b2+c2<2S(這

5、對于保證結論成立是充分必要的).欲證上式左部分,只需證a2+b2+c2-ab-bc-ca0，即只需證(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)0(這對于保證前一定結論成立也是充要的).要證上式成立,可證三括號中式子都不為負(這一條件對保證上結論成立是充分的,但它并不必要),注意到:a2+b2-2ab=(a-b)20,b2+c2-2bc=(b-c)20,c2+a2-2ca=(c-a)20,故結論真.欲證上式右部分,只需證:a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,即要證:(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0.欲證上式,則

6、要證以上三個括號中式子都小于零(這一條件對保證上結論成立只是充分的,但它并不必要),即要證a2<ab+ac,b2<bc+ba,c2<ca+cb都真,也就是要證a<b+c,b<c+a,c<a+b都真,它們顯然都成立,因為三角形一邊小于其他兩邊和.故原式成立.各個擊破類題演練 1 已知a>b>0,求證：a-b<a-b.證明：a>b>0,b<,即2b<2.進而-2<-2b,于是a-2+b<a+b-2b,即0<(-)2<a-b,-<.變式提升 1 用綜合法證明,設a>0,b>0,ab

7、,證明:>.證明：綜合法.因為ab,所以a-b0,而(a-b)2>0,展開(a-b)2得a2-2ab+b2>0，兩邊加上4ab得a2+2ab+b2>4ab,左邊寫成(a+b)2得(a+b)2>4ab，由于a>0,b>0,兩邊取算術平方根得a+b>2ab，兩邊除以2得>.類題演練2 已知a、b、c是不全相等的正數(shù),且0<x<1.求證：logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc.證明：要證明logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc,只需要證明logx··&

8、lt;logx(abc).由已知0<x<1,只需證明··>abc.由公式知>0,>0, >0.a、b、c不全相等,上面三式相乘,··>=abc,即··>abc成立,logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc成立.變式提升2 設a,bR+,且ab,求證:a3+b3>a2b+ab2.證明：要證a3+b3>a2b+ab2成立,只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).又因a+b>0,只需證a2-ab+b2>ab成立.又需證a

9、2-2ab+b20成立，即需證(a-b)2>0成立.而依題設ab,則(a-b)2>0顯然成立.由此命題得證.類題演練3 求證y=|x|在點x=0處連續(xù),但在x=0處不可導.證明：y=|x|=且f(x)=f(x)=0.又f(0)=0,f(x)=|x|在點x=0連續(xù).又y=f(0+x)-f(0)=|x|,=,當x>0時,=1,=1.當x<0時,=-1,=-1.當x0時,不存在.故f(x)=|x|在x=0處連續(xù)但不可導.變式提升 3 設實數(shù)a0,且函數(shù)f(x)=a(x2+1)-(2x+)有最小值-1.(1)求a的值;(2)設數(shù)列an的前n項和Sn=f(n),令bn=,證明數(shù)列bn為等差數(shù)列.答案:(1)解：f(x)=a(x-)2+a-,由題設知f()=a-=-1,且a>0,解得a=1或a=-2(舍去).(2)證明：由(1)得f(x)=x2-2x,當Sn=n2-2n,a1=S1=-1.當n2時,an