八年級下冊四邊形講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 精銳教育學科教師輔導講義 組長簽字： 簽字日期： 學員編號： 年 級： 課時數(shù)：3 學員姓名： 輔導科目：數(shù)學 學科教師：馬睿 課 題授課日期及時段教學目標重點、難點教學內(nèi)容四邊形講義一、四邊形及平行四邊形：知識點梳理：1.1、n邊形的內(nèi)角和： ，外角和： 。1.2、平行四邊形的性質(zhì)：對邊 ，對角 ，鄰角 ，對角線 。1.3、平行四邊形的判定：（用邊判斷） ； ； ；（用角判斷） ；（用對角線判斷） 。命題聚焦：1、 分析近幾年的中考題，四邊形在中考試題中占有很重要的地位，本節(jié)一個方面主要考察多邊形的內(nèi)、外角和公式，確定多邊形的邊數(shù)，這類題主要以填空，選擇題得方式考

2、察；另一方面重點考察平行四邊形的判定和性質(zhì)，運用這些性質(zhì)證明線段或角相等，考察題型有填空、選擇、證明等。2、 正多邊形的相關(guān)知識，如鑲嵌的條件和簡單的鑲嵌設(shè)計命題熱點，運用平行四邊形的性質(zhì)與判定結(jié)合相似形、全等形等知識命題是必考趨勢，同時注意圖形的旋轉(zhuǎn)折疊類題目。典例精析：命題角度1、多邊形內(nèi)角和及其應(yīng)用例1、一個正多邊形，它的每一個外角都是45，則該正多邊形是（）A、正六邊形B、正七邊形C、正八邊形D、正九邊形例2、一個多邊形的內(nèi)角和是720，這個多邊形的邊數(shù)是（）A、4 B、5 C、6 D、7例3、如果一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的一半，那么這個多邊形是（）A、六邊形B、五邊形C、四邊形D

3、、三角形命題角度2、平行四邊形的性質(zhì)例4、如圖，已知E、F是ABCD對角線AC上的兩點，且BEAC，DFAC（1）求證：ABECDF；（2）請寫出圖中除ABECDF外其余兩對全等三角形（不再添加輔助線） 例5、如圖，在ABCD中，E為BC的中點，連接DE延長DE交AB的延長線于點F求證：AB=BF 命題角度3、平行四邊形的判定例6、已知，如圖E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF=CE，DF=BE，DFBE，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由 例7、如圖，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點求證：四邊形MFNE是平行四邊形 2、 矩形、菱形、正方形：知識點

4、梳理：2.1、幾種特殊平行四邊形的性質(zhì)：2.2、幾種特殊平行四邊形的轉(zhuǎn)換圖：圖形用邊判定用角判定用對角線判定矩形有一個角是直角的平行四邊形三個角是直角的四邊形對角線相等的平行四邊形菱形一組鄰邊相等的平行四邊形或四邊相等的四邊形對角線互相垂直的平行四邊形正方形有一組鄰邊相等的矩形有一個角是直角的菱形對角線相互垂直平分相等的四邊形2.3、種特殊平行四邊形的判定方法：命題聚焦：特殊四邊形是歷年中考必考內(nèi)容之一，主要考查矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，要求會運用這些性質(zhì)及判定定理判斷真假命題，證明線段或角相等，考察題型有填空題、選擇題，更多以證明題求值計算題及探索性問題、幾何動態(tài)問題出現(xiàn)，試題強調(diào)基礎(chǔ)

5、，突出能力，源于教材，變中求新，考察學生的發(fā)散思維能力。典例精析：命題角度1、矩形的判定與性質(zhì)例1、如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點求證：EBC=ECB 例2、在ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，連接AF、CE（1）求證：BECDFA；（2）連接AC，當CA=CB時，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論 命題角度2、菱形的判定與性質(zhì)例3、如圖所示，在菱形ABCD中，ABC=60，DEAC交BC的延長線于點E求證：DE=1/2BE 例4、如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過點A作AGDB交CB的延長線于點G（1）求證：DEBF；（2）若

6、G=90，求證：四邊形DEBF是菱形 命題角度3、正方形的性質(zhì)及應(yīng)用例5、如圖，在正方形ABC1D1中，AB=1，連接AC1，以AC1為邊作第二個正方形AC1C2D2，連接AC2，以AC2為邊作第三個正方形AC2C3D3（1）求第二個正方形AC1C2D2和第三個正方形AC2C3D3的邊長；（2）請直接寫出按此規(guī)律所作的第7個正方形的邊長。 例6、如圖，ABC是等腰直角三角形，A=90，點P、Q分別是AB、AC上的一動點，且滿足BP=AQ，D是BC的中點（1）求證：PDQ是等腰直角三角形；（2）當點P運動到什么位置時，四邊形APDQ是正方形，并說明理由 三、梯形知識點梳理：3.1、一組對邊 而另

7、一組對邊 的四邊形叫梯形，其中 的梯形叫做等腰梯形，的 梯形叫直角梯形。3.2、等腰梯形性質(zhì)：（1）兩腰 ；（2）同一底上的兩個內(nèi)角 ；（3）對角新 。3.3、梯形的中位線平行于兩底，等于兩底和的一半。3.4、梯形問題一般轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形的問題。3.5、梯形中常用輔助線的作法（1）平移一腰（內(nèi)部或外部平移成為平行四邊形）（2）平移對角線（3）延長兩腰相交一點（相似）（4）過一腰的頂點及另一腰中點作直線與另一底延長線相交（面積）（5）由梯形上底的兩端點作下底的垂線（面積）。命題聚焦：由于圓部分知識難度降低，梯形又是三角形與平行四邊形知識的結(jié)合點，所以有關(guān)梯形的試題形式靈活，考察面廣，注意

8、梯形基本知識的掌握，熟練掌握梯形中輔助線的添加方法，體會轉(zhuǎn)化思想，適當練習操作題，創(chuàng)新題，綜合性的閱讀探索題。典例精析：命題角度1、與梯形有關(guān)的計算和證明例1、如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）若ABC=60，CE=2BE，試判斷CDE的形狀，并說明理由 例2、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BDDC，C=60，AD=4，BC=6，求AB的長 命題角度2、等腰梯形的性質(zhì)與判定例3、在梯形ABCD中，ADBC，且AD=DC，對角線BD平分ABC求證：梯形ABCD是一個等腰梯形 例4、如圖，等腰梯形A

9、BCD中，ADBC，點E，F(xiàn)在BC上，且BE=FC，連接DE，AF求證：DE=AF 命題角度3、三角形和梯形的中位線例5、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E、F分別是兩腰AB、DC的中點，AF、BC的延長線交于點G（1）求證：ADFGCF（2）類比三角形中位線的定義，我們把EF叫做梯形ABCD的中位線閱讀填空：在ABG中：E中AB的中點由（1）的結(jié)論可知F是AG的中點，EF是ABG的中位線EF=又由（1）的結(jié)論可知：AD=CG （ + ）因此，可將梯形中位線EF與兩底AD，BC的數(shù)量關(guān)系用文字語言表述為 。 【能力提高】 例1如圖2 菱形ABCD，E、F分別是BC、CD上的點， B=EAF=

10、600，BAE=180，求CEF的度數(shù)。 分析 由菱形ABCD中，B=600， 可推出ABC是等邊三角形，所以BAC=ACB=600， 由EAF=600，可推出BAE=CAF，從而可證BAEACF 進而可知AEF是等邊三角形，即可求出CEF的度數(shù)。解：連接AC 菱形ABCD BA=BC ACB=ACF B=600 ABC是等邊三角形 BAC=ACB=600 AB=AC ACF=B=600 EAF=BAC=600 BAE=CAF ABEACF AE=AF AEF是等邊三角形 AEF=600 AEF+CEF=B+BAF 而BAE=180 CEF=180 例2 如圖3 四邊形EFGH是矩形ABCD的

11、外角平分線圍成的。 求證：四邊形EFGH是正方形 分析：先證EFGH 矩形，再證EFGH是菱形 證明：矩形ABCD的外角都是直角， HE、EF都是外角平分線 BAE=ABE=450 E=900 同理可證：F=G=900 四邊形EFGH是矩形 AD=BC HAD=HDA=FBC=FCB ADHBCF AH=BF 又EAB=EBA AE=BE EA+AH=EB+BF EH=EF 四邊形EFGH是正方形 例3 如圖4 ，E是正方形ABCD的邊AD的中點， F是DC上的點，且 求證：EFBE分析 要證EFBE 只要證BEF是以BEF為直角的直角三角形，可以通過計算，有BE2+EF2=BF2證明 連結(jié)B

12、F 四邊形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA A=ABC=C=D=900 設(shè)正方開ABCD的邊長為4a 則AE=DE=2a，DF=a，CF=3a 在RtABE中，BE2=AB2+AE2= 在RtEFD中 EF2=DE2+DF2= 在RtBCF中，BF2=BC2+CF2= BE2+EF2=BF2 BFE是以BEF為直角的三角形 EFBE 例4 如圖5 已知正方形ABCD中，BE/AC， AE=AC，求證：CE=CF分析 只要證CEF=CFE，從作圖可知，這兩個角的大小是固定的，可結(jié)合正方形的特征，通過計算求出它們的大小。證明 過點E作EGAC交AC于G，連結(jié)BDEGAC BDAC EGBD

13、 又BEAC EGOB是矩形 EG=BO而BO=DO EG=BD BD=AC EG=AC=AEEAG=300 ACE是等腰三角形 AEC=（1800-300）=750 AC是正方形ABCD對角線 ACB=450 CFE=EAC+FCA=300+450=750 CFE=CEF CF=CE 例5 如圖6 在ABC中，BAC=900 ADBC于D， CE平分ACB交AD于G交AB于E， EFBC于E 求證：四邊形AEFG是菱形分析 先證AEFG是平行四邊形， 再證AEFG兩鄰邊相等， 可通過證RtACERtFCE 來實現(xiàn)AE=EF證明 BAC=900 EFBC CE平分BCAACE=ECF 又EC=

14、EC RtCEARtCEF AE=EFEFBC ADBC AD/EF FEG=EGA AGE=AEGAG=AE=EF AEFG是平行四邊形 又AE=AG AEFG是菱形 例6 如圖7 已知正方形ABCD， 以對角線AC為邊作菱形AEFC，BF/AC求證ACF=5F分析 要證ACF=5F就是要證F=CAE=300 這就需要構(gòu)作Rt，為此作輔助線EHAC，問題轉(zhuǎn)為證HE= 由于AC=BD，變?yōu)樽CEH=BD， 即證BOHE為矩形證明：過E作EHAC于H，連BDABCD為正方形 BD=AC 且BO=ACBOC=900=DOC BF/ACEBO=900=DOC BEHO為矩形EH=BO=AC 又AEFC

15、為菱形 AC=AE EH=AECAE=300 A=F=300 ACF=AEF=ACF=5F點評：本題將求角的倍（分）量，轉(zhuǎn)化為求角的大小，由特殊邊求特殊角，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形，這種將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題的思想方法是數(shù)學研究中最常用的基本思想方法。例7 如圖8，已知Q是正方形ABCD的CD邊的中點，P為CQ上一點，且BAP=2QAD 求證 AP=PC+BC分析 由BAP=2QAD 可作BAP的平分線，構(gòu)造ABEADQ證明：作PAB的平分線AF交DC的延長線于F交BC于E，則1=2=QADABCD是正方形 B=D=900 AB=AD ABEADQ BE=DQ又DQ=CD CD=BC B

16、E=CE=BCAEB=FEC ABE=ECF=900 ABEFEC AB=FC CF=BC 又1=2，2=F， 1=FAP=PF=PC+CF AP=PC+BC點評：本題也采用截補短的引輔助線，請讀者作為練習來試試。例8 如圖9在等腰三角形ABC中，C=900，BC=2cm， 如果以AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個三角形旋轉(zhuǎn)1800，點B落在點處，求點與點B的原來位置之間的距離分析 點B與點關(guān)于O成中心對稱， BO=，=2BO 在RtBCO中，OB=（cm）解：（略）點評：ABC以點O為中心旋轉(zhuǎn)1800后的圖形與ABC關(guān)于O點成中心對稱【練習與測試】1如圖 菱形ABCD中， AECD 若BE=EC

17、， 則EAC的度數(shù)為 度2在菱形ABCD中，AC、BD相交于O， 若BD=6，BAD=600，則菱形的周長= AC= = 3如圖 E、F是正方形的對角線 BD上的點， 且BE=DF 求證四邊形AECF是菱形4如圖 四邊形ABCD和CEFG都是正方形， BG延長線交DE于點H，求證：BHDE5如圖 正方形ABCD中，F(xiàn)是BC中點， BAF=FAE，求證：AE=BC+CE6如圖 已知F是正方形ABCD 的邊BC的中點， CG平分DCE，GFAF 求證：AF=FG7命題：如圖，已知正方形ABCD的對角線 AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過 A作AG，垂足為G，AG交BD于點F， 則OE=OF。

18、8如圖，已知：正方形ABCD， 過D作DEMN，求證：DE=MN 9如圖，已知直線MN與直線PQ垂直 相交于點O，A1與A是以MN為軸的對稱點， 而A2與A是以PQ為軸的對稱點， 求證：點A1與A2是以O(shè)為對稱中心的對稱點。10（1）線段（2）角（3）三角形（4）等邊三角形 （5）平行四邊形，上述圖形中是中心對稱的是 11如圖，ABC內(nèi)有一點P，作出關(guān)于點P的對稱圖形【練習與測試參考解答或提示】160； 224，； 3提示：連AC，證AC、EF互相垂直平分；4提示：證BCGDCE5提示：過F作FMAE于M，連結(jié)EF，證ABFAMF，EFMEFC6提示：取AB中點M，連FM，證AMFFCG7ABCD為正方形，BOE=AOF=900，AO