傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系與應用本科畢業(yè)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 本 科 生 畢 業(yè) 論 文 （申請學士學位）論文題目 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系與應用 學 生： （簽字）學 號：論文答辯日期：2014年x月xx日指 導 教 師： （簽字）專心-專注-專業(yè)目 錄傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系與應用摘要：傅里葉級數(shù)是對周期性現(xiàn)象做數(shù)學上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數(shù)的極限形式，它也可以看作是對周期現(xiàn)象進行數(shù)學上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領域的一種很重要的算法。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號

2、的成分。在電子類學科，物理學科，信號處理學科等眾多領域都有著廣泛的應用。傅里葉級數(shù)針對的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對的是非周期性函數(shù)，它們在本質上都是一種把信號表示成復正選信號的疊加，存在相似的特性。 關鍵詞：傅里葉級數(shù)；傅里葉變換；周期性 Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier

3、series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredient

4、s synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.Four

5、ier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic1緒論傅里葉級數(shù)是法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出來的，從而極大的推動了偏微分方

6、程理論的發(fā)展，在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。積分變換起源于19世紀的運算危機，英國著名的無線電工程師海維賽德（O .Heaviside）在用它求解電工學、物理學領域中的線性微分方程的過程中逐步形成一種所謂的符號法，后來符號法又演變成今天的積分變化法。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)乘上一個確定的二元函數(shù)，然后計算積分，即這樣變成了另一個函數(shù)類B中的函數(shù)，這里的二元函數(shù)是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核，稱為象原函數(shù)，稱為的象函數(shù)，當選取不同的積分域和核函數(shù)，就得到不同名稱的積分變換。傅里葉級數(shù)對周期性現(xiàn)象做數(shù)學上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數(shù)的極限形式，它也可

7、以看作是對周期現(xiàn)象進行數(shù)學上的分析。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領域的一種很重要的算法。要想了解傅里葉變換算法的內涵，首先要了解傅里葉原理的內涵。傅里葉原理表明：對于任何連續(xù)測量的數(shù)字信號，都可以用不同頻率的正弦波信號的無限疊加來表示。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。在電子類學科，物理學科，信號處理學科等眾多領域都有著廣泛的應用。傅里葉級數(shù)針對的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對的是非周期性函數(shù)，它們在本質上都是一種把信號表示成復正選信號的疊加，存在相似的特性。 2傅里

8、葉級數(shù)的概念2.1周期函數(shù)我們把凡是滿足以下關系式： （T為常數(shù)） （2.1.1）的函數(shù)，都稱為周期函數(shù)。周期定義：（1） 滿足式（1.1.1）的T值中的最小正數(shù)，即為該函數(shù)的周期；（2） 一個常數(shù)以任何正數(shù)為周期?；救呛瘮?shù)系：按某一規(guī)律確定的函數(shù)序列稱為函數(shù)系。如下形式的函數(shù)系： 1， ， （2.1.2）稱為基本三角函數(shù)系。所有這些函數(shù)具有各自的周期，例如和的周期為，但它們的共有周期為（即所有周期的最小公倍數(shù)）。通常這個周期命名為函數(shù)系的周期。所以式（1.1.2）的三角函數(shù)系的周期為。2.2傅里葉級數(shù)的定義傅里葉級數(shù)是一類特殊的函數(shù)項級數(shù)，對周期性現(xiàn)象進行數(shù)學上的分析，其在理論和應用上都

9、有重要價值。2.2.1 三角級數(shù)、三角函數(shù)及其正交性在物理學中，我們知道，簡諧振動是一種簡單的周期運動，而在簡諧振動中，一種標準而簡單的簡諧振動可由下面函數(shù)描述， （1）我們不難看出，更一般的簡諧振動 ，可通過適當?shù)淖儞Q為（1），將無窮多個如（1）式那樣的簡諧振動疊加，便得到函數(shù)項級數(shù) （2）如果（2）式收斂到函數(shù),即 （3）則易見是周期為的函數(shù)，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復雜的周期為的函數(shù)分解為簡單標準的簡諧振動的疊加，這對研究的各種性質帶來了很大的方便。于是，我們自然提出以下問題：什么條件下我們可以將一個周期為的函數(shù)表示成如(1)式那樣簡單，標準的簡諧振動的疊加

10、?即什么條件下(3)式成立?更一般地，什么條件下可以將一個周期為T的函數(shù)表示成簡諧振動的疊加？設g(t)周期為T，則只要令,就有則周期為，所以我們只要討論前一個問題就行了。為了數(shù)學推導和理論研究方便，我們將級數(shù)(2)作如下變形=令 則 =稱級數(shù) (4)為三角級數(shù)，稱級數(shù)(4)的部分和 (5)為三角多項式，后面我們將看到，將常數(shù)項記為的形式，是為了使有統(tǒng)一的表達式。我們通過簡單的計算可知，三角函數(shù)系 (6)具有以下性質 (7) (8) (9) (10)即三角函數(shù)系（6）中任何兩個不同函數(shù)的乘積在上積分為0，我們稱這一性質為三角函數(shù)系(1)的正交性。也稱(6)為正三角函數(shù)系。從后面的推導我們也看到

11、，三角函數(shù)系(6)的正交性在三角級數(shù)研究中扮演了重要的角色。另外，我們還有 (11) 2.2.2周期為的函數(shù)的傅里葉級數(shù)設函數(shù)能夠表示成三角級數(shù)(4)，即 (12) 并且(12)式右邊級數(shù)在上一致收斂，則有如下關系式： , n=0,1,2, (13a) , n=0,1,2, (13b)證明：由定理條件，對（12）式逐項積分可得： = 由關系式知，上式右邊括號內的積分都等于零，所以 即得 現(xiàn)以乘（12）式兩邊（t為正整數(shù)），得 （14）由級數(shù)（12）一致收斂，可以推出級數(shù)（14）也一致收斂?，F(xiàn)在對級數(shù)（14）逐項求積，有 =由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以為系數(shù)的那一項積分外，其他各項積分都等于零

12、，于是得出即同理，（12）式兩邊乘以，并逐項求積，可得一般的說，若是以為周期且在上可積分的函數(shù)，則按公式（13）計算出的和叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù)，記作 這里的“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù)。2.2.3周期為的函數(shù)的傅里葉級數(shù)設是以2為周期的函數(shù)，通過變量置換可以把變成以為周期的t的函數(shù).若在上可積，則在上也可積，這時函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式是 (1)其中 n=0,1,2 (2) n=1,2因為，所以。于是由（1）與（2）式分別得 (3）與 , n=0,1,2 (4) , n=1,2這里（4）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，（3）式是的傅里葉級數(shù).2.2.4傅里葉級數(shù)的性質1、 收斂性定理

13、傅里葉級數(shù)的收斂準則狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者連續(xù)，或者只有有限個間斷點，在間斷處函數(shù)的左、右極限都存在； （2）在上只有有限個極大值點與極小值點； （3）在外是周期函數(shù)，其周期為2，則級數(shù) （1）證明=因為及所以 證畢例：試將鋸齒波在區(qū)間上展開為傅里葉級數(shù)。解：我們要將在之外視作是2的周期函數(shù)，由傅里葉級數(shù)公式可得： （=0,1,2,）及 = （=1,2,3，）因此，所求級數(shù)為 （2）由于=0是的連續(xù)點，所以上式兩邊可劃等號。事實上，也正是如此，可代入數(shù)字驗證。而=是間斷點，由定義可知按收斂準則，傅里葉級數(shù)在間斷點處應收斂到事實上，以=代入級數(shù)（2），得級數(shù)和為零。

14、必須注意，狄利克雷定理中加在上的條件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在實際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級數(shù)收斂的必要且充分的條件是什么。值得注意的是，單從的連續(xù)性考慮還不能保證傅里葉級數(shù)收斂。2、 積分定理2 如果在區(qū)間上分段連續(xù)，其傅里葉級數(shù)為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所證。如果原級數(shù)中，只要用代替公式（4）中的即可。3微分定理3 若在上連續(xù)，又絕對可積，則有 （6）其中 。利用求系數(shù)公式及分部積分，可以證明 （=0,1,2，） （=1,2,3，）如果，則的傅里葉級數(shù)可通過對的傅里葉級數(shù)進行逐項求導而得，即 （7）微分與積分

15、大不相同，例如考慮下列函數(shù)（鋸齒波）： 的傅里葉級數(shù)為 （9.3.7）對上式逐項微分得 于是得到不收斂的級數(shù)其次，再考慮三角波 它的傅里葉級數(shù) 是一個收斂得相當快的級數(shù)，且在上一致收斂。對上式逐項微分得 上式正是方波的傅里葉級數(shù)。事實上，三角波得導數(shù)正數(shù)方波。 從上面的例子可知，與積分相反，微分之后每一個系數(shù)前卻添加了一個增長因子，這就降低了收斂程度。所以上面第一個例子微分后得一發(fā)散級數(shù)。事實上，第一個例子中的級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。一般來說，微分使級數(shù)的收斂 程度降低。有時將可以逐項微分的條件表示成如下形式： （8）此外，函數(shù)的光滑程度可以從該函數(shù)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)上反映出來。一般而言，一個滿

16、足狄利克雷條件的周期函數(shù)。其傅里葉級數(shù)中的系數(shù)和隨著趨向于無窮大時，他們至少應與（其中為與無關的常數(shù)）一樣快的趨向于零。如果函數(shù)包含一個或幾個間斷點，那么不是就是，一般情況是二者都不能比更快的趨向于零。如果函數(shù)以及它的前（-1）階導數(shù)滿足狄利克雷條件，而且處處連續(xù)，那么隨著趨向于無窮大，的傅里葉級數(shù)的系數(shù)和至少應與一樣快趨向于零。如果的階導數(shù)不處處連續(xù)，那么不是就是，一般情況是二者都不能比更快地趨向于零。因此，函數(shù)愈光滑，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)收斂得越快，反之，只要考慮某函數(shù)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的收斂快慢程度，就可以判斷該函數(shù)的光滑程度。3 傅里葉變換的概念及性質傅里葉變換是一種對連續(xù)時間函數(shù)的積分

17、變換，它通過特定形式的積分建立了函數(shù)之間的對應關系。它既能簡化計算，又具有明確的物理意義，因而在許多領域被廣泛的應用，如電力工程、通信和控制領域以及其他許多數(shù)學、物理和工程技術領域。3.1傅里葉變換的概念傅里葉（Fourier）變換，簡稱傅式變換，像拉普拉斯變換一樣，它也是一種化繁為簡，變難為易的重要數(shù)學運算工具，它的理論與方法在數(shù)學的許多分支以及其他自然科學和工程技術領域中，都有著廣泛的應用。若F(t)在上滿足以下條件：(1)在任一有限區(qū)間上滿足Dirchlet條件（即在任意有限區(qū)間上滿足：a連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；b只有有限個極值點）； (2) 在無限區(qū)間上絕對可積，那么在的連續(xù)點處

18、有 由此定義 （3.1）稱為函數(shù)的傅里葉變換，記作為，即 （3.2）其中由(2.1)式定義，公式（2.2）稱為的傅里葉逆變換。記為，即3.2傅立葉變換的性質1、共軛性質 設，是的共軛函數(shù)，則=2、線性性質 設則3、位移性質 4傅里葉變換與傅里葉級數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系1、 傅里葉級數(shù)是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換2、 傅里葉級數(shù)是以三角函數(shù)為基對周期信號的無窮級數(shù)展開，如果把周期函數(shù)的周期取作無窮大，對傅里葉級數(shù)取極限即得到傅里葉變換。3、 傅里葉變換是從傅里葉級數(shù)推演而來的，傅里葉級數(shù)是所有周期函數(shù)都可以分解成一系列的正交三角函數(shù)，這樣，周期函數(shù)對應的傅里葉級數(shù)即是它的頻譜函數(shù)4、 傅里

19、葉級數(shù)是周期信號的另一種時域的表達方式，也就是正交級數(shù)，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換就是完全的頻域分析5傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的應用5.1傅里葉級數(shù)的應用1、 在數(shù)學方面計算無窮級數(shù)的和例如，設周期為2的某函數(shù)，其在一個周期上的表達式為 （由于是偶函數(shù)，所以它的傅里葉級數(shù)只有余弦項 （=1,2,3，）因此，的傅里葉級數(shù)為 （令=,且利用，所以 因此得 2、 在物理方面為設計放大器提供依據(jù)例如電路中常常使用矩形波及鋸齒波，對于矩形波其傅里葉展開式為其中系數(shù)和成正比，因此，隨著簡諧次數(shù)的增高，幅度迅速減小。一般來說，在10次諧波以后，就認為幅度已經(jīng)相當小，可以略去不計。因此在設計矩形波放大

20、器時，要求它的通頻帶寬帶約為矩形脈沖的10倍。若掃描矩形波頻率為60Hz，則要求放大器的通頻帶度為600Hz就可以了。電視機及示波器常用掃描鋸齒波，也可作與上述相同的分析。5.2傅里葉變換的應用傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲結構力學、海洋學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量1、 傅里葉變換在求解微分方程中的應用我們在研究研究線性常系數(shù)偏微分方程中，傅里葉變換法是一種特別重要的方法，它的應用范圍包括求解無界區(qū)域的定解問題，用傅里葉變換法求解定解問題的思想與步驟：（1） 對定解問題作傅里葉變換，化

21、偏微分方程為常微分方程（2）求解像函數(shù)（3）對像函數(shù)作傅里葉逆變換，得所求問題的解例：對于任意，求下面方程的定解問題 （1）其中解：對方程（1）兩邊作傅里葉變換，可得： （2）顯然偏微分方程（1）已經(jīng)被轉換成代數(shù)方程（3.2）。求解方程（2），可得：經(jīng)過傅里葉逆變換，可得：為了使的表達式比較簡單明了，下面來化簡上式可得：其中下面來求解 （其中a.0）假設且b0,令，則有其中表示在復平面的等直線，把轉化成實軸，則可計算，所以有所以 根據(jù)卷積原理，則偏微分方程（1）的解為 注：上面求解偏微分方程中用到的化歸思想，實際上就是開始時使用傅里葉變換，將偏微分方程的問題轉化為常微分方程的問題，解出這個常微分方程的問題的解，然后利用傅里葉逆變換求原問題的解。2、 周期函數(shù)與離散頻譜眾所周知，一個諧波函數(shù)，是由振幅，相位和頻率三個參數(shù)唯一的確定了。對于周期為的周期函數(shù)，它可展成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：對上式取傅里葉變換，并考慮不是時間的函數(shù)，由此可得：是周期函數(shù)的傅里葉變換譜，上式表明，周期函數(shù)的頻譜由無窮多個脈沖組成，這些脈沖位于頻率處，每個脈沖