數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié).精品文檔.數(shù)列高考知識(shí)點(diǎn)大掃描數(shù)列基本概念數(shù)列是一種特殊函數(shù)，對(duì)于數(shù)列這種特殊函數(shù)，著重討論它的定義域、值域、增減性和最值等方面的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)將數(shù)列分類：依定義域分為：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；依值域分為：有界數(shù)列和無界數(shù)列；依增減性分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。數(shù)列的表示方法：列表法、圖象法、解析法（通項(xiàng)公式法及遞推關(guān)系法）；數(shù)列通項(xiàng)：2、等差數(shù)列 1、定義 當(dāng),且 時(shí)，總有 ，d叫公差。 2、通項(xiàng)公式 1）、從函數(shù)角度看 是n的一次函數(shù)，其圖象是以點(diǎn) 為端點(diǎn), 斜率為d斜線上一些孤立點(diǎn)。2）、從變形角度看 , 即可

2、從兩個(gè)不同方向認(rèn)識(shí)同一數(shù)列，公差為相反數(shù)。又,相減得 ，即.若 n>m，則以 為第一項(xiàng)，是第n-m+1項(xiàng)，公差為d；若n<m ，則 以為第一項(xiàng)時(shí)，是第m-n+1項(xiàng)，公差為-d. 3）、從發(fā)展的角度看 若是等差數(shù)列，則 ，, 因此有如下命題：在等差數(shù)列中，若 , 則. 3、前n項(xiàng)和公式 由 ，相加得 ， 還可表示為，是n的二次函數(shù)。特別的，由 可得 。3、等比數(shù)列1、 定義 當(dāng),且 時(shí)，總有 , q叫公比。2、通項(xiàng)公式： , 在等比數(shù)列中，若 , 則.3、前n項(xiàng)和公式: 由 ， 兩式相減，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng)時(shí) ， 。 關(guān)于此公式可以從以下幾方面認(rèn)識(shí)：不能忽視 成立的條件：。特別是公比用字

3、母表示時(shí)，要分類討論。公式推導(dǎo)過程中，所使用的“錯(cuò)位相消法”，可以用在相減后所得式子能夠求和的情形。如，公差為d 的等差數(shù)列， ，則，相減得 ，當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí) ，； 3）從函數(shù)角度看 是n的函數(shù)，此時(shí)q和 是常數(shù)。4、等差與等比數(shù)列概念及性質(zhì)對(duì)照表名稱等差數(shù)列等比數(shù)列定義，通項(xiàng)公式變式：性質(zhì)中項(xiàng)單調(diào)性時(shí) 增時(shí) 常數(shù)列時(shí) 減或增；或時(shí)減；時(shí)常數(shù)列，時(shí)擺動(dòng)數(shù)列前n項(xiàng)和（推導(dǎo)方法：倒加法）（推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相消法）結(jié)論1、等差,公差d ， 則 等差 公差kd ；子數(shù)列等差,公差md; 若等差 ，公差，則等差，公差。等比, 公比q，則等比， 公比q ;等比 ,公比;等比,公比。子數(shù)列等比，公比 ; 若等差

4、,公差d, 則等比 , 公比為。2、等差,公差d 則等差，公差2d; 等差, 公差3d.等差, 公差,且即連續(xù)相同個(gè)數(shù)的和成等差數(shù)列。等比, 公比q , 則等比，公比 ; 等比，公比；等比，公比q; 等比，公比，（當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，）。3、等差.公差等比，公比4、等差共2n項(xiàng)，則 等差，共2n+1項(xiàng)，則 =5、等差等比, 公比q聯(lián)系1、各項(xiàng)不為0常數(shù)列，即是等差，又是等比。2、通項(xiàng)公式.3、等差，公差d，, 則,即等比，公比.4、等比，公比q, 即等差,公差.5、等差, 等比, 則前n項(xiàng)和求法，利用錯(cuò)位相消法6、求和方法：公式法，倒加法，錯(cuò)位相消法，裂項(xiàng)法，累加法，累積法，等價(jià)轉(zhuǎn)化法等。5、遞推數(shù)

5、列 表示數(shù)列中相鄰的若干項(xiàng)之間關(guān)系的式子叫數(shù)列遞推公式。作為特殊的函數(shù)，數(shù)列可用遞推式表示。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式常用方法：公式法、歸納法、累加法、累乘法。特別的，累加法是求形如 遞推數(shù)列的基本方法，其中數(shù)列 可求前n項(xiàng)和，即 ；累乘法是求形如 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，其中數(shù)列 可求前n項(xiàng)積，即 .等差數(shù)列等差數(shù)列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等差中項(xiàng)：任何兩個(gè)數(shù)都有且僅有一個(gè)等差中項(xiàng).通項(xiàng)公式：，（廣義）.特征：，其中.前n項(xiàng)和：.特征：，其中.注：1.等差數(shù)列的定義式和遞推式、等差中項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征、前n項(xiàng)和的特征，都可以作為一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的判定依據(jù)，但等差數(shù)列的證明

6、必須根據(jù)定義式.2.對(duì)任何數(shù)列，都有等差數(shù)列的性質(zhì)1. 若為等差數(shù)列，則.2. 若為等差數(shù)列，且，則.3. 若為等差數(shù)列，則. 4. 若等差數(shù)列共有項(xiàng)，則； .5. 若等差數(shù)列共有項(xiàng)，則；.6. 若為各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則.7. 若、均為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為，則.8. 在等差數(shù)列中，若，則.9. 在等差數(shù)列中，若，則.10.在等差數(shù)列中，若，則.11.若為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列，其中和是常數(shù).12.若、為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列.13.若為等差數(shù)列，則序號(hào)成等差的項(xiàng)也成等差數(shù)列，即：若為等差數(shù)列，為正整數(shù)等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.14.為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則為等差數(shù)

7、列為等差數(shù)列.15.若為等差數(shù)列，則依次項(xiàng)和仍為等差數(shù)列，即仍為等差數(shù)列.等比數(shù)列等比數(shù)列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等比中項(xiàng)：兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)才有但有兩個(gè)等比中項(xiàng).通項(xiàng)公式：，（廣義）.前n項(xiàng)和：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.特征：.注：非零常數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，反之亦然.等比數(shù)列的性質(zhì)1. 若為等比數(shù)列，則.2. 若為等比數(shù)列，且，則.3. 若為等比數(shù)列，則仍為等比數(shù)列，其中是非零常數(shù).4. 若為等比數(shù)列，則當(dāng)恒有意義時(shí)仍為等比數(shù)列，其中是任意常數(shù).5. 若、為等比數(shù)列，則、仍為等比數(shù)列.6. 若為等比數(shù)列，則序號(hào)成等差的項(xiàng)也成等比數(shù)列，即：若為等比數(shù)列，為正整數(shù)等差數(shù)列，則為等比數(shù)列.

8、7. 為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積，則為等比數(shù)列為等比數(shù)列.8. 若為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則依次項(xiàng)和仍為等比數(shù)列，即仍為等比數(shù)列.注：等比數(shù)列各項(xiàng)積的性質(zhì)類似于等差數(shù)列各項(xiàng)和的性質(zhì)，應(yīng)用范圍較小，故未寫入.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系1. 非零常數(shù)列，也只有非零常數(shù)列，即是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。2. 等差數(shù)列與等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化.事實(shí)上，若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列；若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列，其中是常數(shù)，且.3. 等差數(shù)列和的運(yùn)算與等比數(shù)列積的運(yùn)算有類似的性質(zhì)，等差數(shù)列差的運(yùn)算與等比數(shù)列商的運(yùn)算有類似的性質(zhì).一、基本概念1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)二、等差數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)

9、的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差 ，或1、若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則有 性質(zhì)： 2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式： 等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：（1） （2） 若等差數(shù)列,的前n項(xiàng)和為,則 （3）等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）若，則有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足若，則有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足三、等比數(shù)列：從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比1、通項(xiàng)公式及其性質(zhì) 若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則2、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)四、(1)與的關(guān)系：（檢驗(yàn)是否滿足）(2)五、一些方法1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的最大項(xiàng)

10、、最小項(xiàng)；前n項(xiàng)和的最大值、最小值2、求通向公式的常見方法 （1）觀察法；待定系數(shù)法（已知是等差數(shù)列或等比數(shù)列）； （2）累加消元;累乘消元。（3）；（4）化為構(gòu)造等比，化為，分是否等1討論。3、求前n項(xiàng)和的常見方法 公式法、倒序相加、錯(cuò)位相減、列項(xiàng)相消、分組求和1常見數(shù)列公式等差數(shù)列1等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即=d ，（n2，nN），這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示） 2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 或 =pn+q (p、q是常數(shù)) 3 有幾種方法可以計(jì)算公差d d= d= d=4等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列5等差

11、數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q (m, n, p, q N )等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式 （1） （2） （3），當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式8.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:（1） 利用：當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值等比數(shù)列1等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）2.等比數(shù)列的通

12、項(xiàng)公式: ， 3成等比數(shù)列=q（,q0） “0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列 5等比中項(xiàng)：G為a與b的等比中項(xiàng). 即G=±（a,b同號(hào)）.6性質(zhì)：若m+n=p+q，7判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法8等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, >0或0<q<1, <0時(shí), 是遞增數(shù)列; 當(dāng)q>1, <0,或0<q<1, >0時(shí), 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí), 是常數(shù)列; 當(dāng)q<0時(shí), 是擺動(dòng)數(shù)列;等比數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 當(dāng)時(shí)， 或 當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)已知, q, n

13、 時(shí)用公式；當(dāng)已知, q, 時(shí)，用公式.類型1 遞推公式為已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以類型2遞推公式為. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，1. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.2. 數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數(shù)列 a2是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列a2=（） a=2（）3 已知數(shù)列滿足，且，求解：設(shè)，則

14、，是以為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列類型4 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用進(jìn)行求解。數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧第一部分：數(shù)列的基本概念1理解數(shù)列定義的四個(gè)要點(diǎn)數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律”因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列2數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列 a的第n項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果用一個(gè)公式a=來表示，就把這個(gè)公式叫做數(shù)列 a的通項(xiàng)公式。若給

15、出數(shù)列 a的通項(xiàng)公式，則這個(gè)數(shù)列是已知的。若數(shù)列 a的前n項(xiàng)和記為S，則S與a的關(guān)系是：a=。第二部分：等差數(shù)列1等差數(shù)列定義的幾個(gè)特點(diǎn)： 公差是從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)的差(同一常數(shù))，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，必須對(duì)任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式為： 當(dāng)n2時(shí)，有aa= d (d為常數(shù))當(dāng)n時(shí)，有aa= d (d為常數(shù))當(dāng)n2時(shí)，有aa= aa成立若判斷數(shù)列 a不是等差數(shù)列，只需有aaaa即可2等差中項(xiàng)若a、A、b成等差數(shù)列，即A=，則A是a與b的等差中項(xiàng)；若A=，則a、A、b成等差數(shù)列，故A=是a、A、

16、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于a=，所以，等差數(shù)列的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。3等差數(shù)列的基本性質(zhì)公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd若 a、 b為等差數(shù)列，則 a±b與kab(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列對(duì)任何m、n，在等差數(shù)列 a中有：a= a+ (nm)d，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆為自然數(shù)，且l + k + p + = m + n + r + （兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等）

17、，那么當(dāng)a為等差數(shù)列時(shí)，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項(xiàng)數(shù)之差)如果 a是等差數(shù)列，公差為d，那么，a，a，a、a也是等差數(shù)列，其公差為d；在等差數(shù)列 a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減??；d0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù)設(shè)a，a，a為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且a與a，a與a的項(xiàng)距差之比=（1），則a=4等差數(shù)列前

18、n項(xiàng)和公式S=與S= na的比較前n項(xiàng)和公式公式適用范圍相同點(diǎn)S=用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)都是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S= na用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差5等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S的基本性質(zhì)數(shù)列 a為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列 a的前n項(xiàng)和S可以寫成S= an+ bn的形式(其中a、b為常數(shù))在等差數(shù)列 a中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (nN)時(shí)，SS= nd，=；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n1) (n)時(shí)，SS= a，=若數(shù)列 a為等差數(shù)列，則S，SS，SS，仍然成等差數(shù)列，公差為若兩個(gè)等差數(shù)列 a、 b的前n項(xiàng)和分別是S、T(n為奇數(shù))，則=在等差數(shù)列 a中，S= a，S= b (nm)，則S=(ab)等差數(shù)列a

19、中，是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n，）均在直線y =x + (a)上記等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S若a0，公差d0，則當(dāng)a0且a0時(shí)，S最大；若a0 ，公差d0，則當(dāng)a0且a0時(shí)，S最小第三部分：等比數(shù)列1正確理解等比數(shù)列的含義q是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，順序不要錯(cuò)，即q = (n)或q = (n2)由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為0，因而公比q也不為0要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必須對(duì)任意n，= q；或= q (n2)都成立2等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的主要區(qū)別如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么=，即G= ab，G =±所以，只要兩個(gè)同號(hào)的數(shù)才有等比中項(xiàng)，而且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；如

20、果A是a與b的等差中項(xiàng)，那么等差中項(xiàng)A唯一地表示為A=，其中，a與b沒有同號(hào)的限制在這里，等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)既有數(shù)量上的差異，又有限制條件的不同3等比數(shù)列的基本性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q( m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差)對(duì)任何m、n，在等比數(shù)列 a中有：a= a· q，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性一般地，如果t ，k，p，m，n，r，皆為自然數(shù)，且t + k，p，m + = m + n + r + (兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等)，那么當(dāng)a為等比數(shù)列時(shí)，有：aaa = aaa 若

21、a是公比為q的等比數(shù)列，則| a|、a、ka、也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |、q、q、如果 a是等比數(shù)列，公比為q，那么，a，a，a，a，是以q為公比的等比數(shù)列如果 a是等比數(shù)列，那么對(duì)任意在n，都有a·a= a·q0兩個(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積當(dāng)q1且a0或0q1且a0時(shí)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a0且0q1或a0且q1時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q0時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式S的基本性質(zhì)如果數(shù)列a是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項(xiàng)和公式是S=也就是說，公比為q的

22、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q1進(jìn)行討論當(dāng)已知a，q，n時(shí)，用公式S=；當(dāng)已知a，q，a時(shí)，用公式S=若S是以q為公比的等比數(shù)列，則有S= SqS若數(shù)列 a為等比數(shù)列，則S，SS，SS，仍然成等比數(shù)列若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列(q1)前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S與T，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S與T，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S與T，則S，S，S成等比數(shù)列，T，T，T亦成等比數(shù)列二、難點(diǎn)突破1并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在

23、形式上也不一定唯一已知一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的2等差(比)數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差(比)等于同一個(gè)常數(shù)”這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而“同一個(gè)常數(shù)”則是保證至少含有3項(xiàng)所以，一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列的必要非充分條件是這個(gè)數(shù)列至少含有3項(xiàng)3數(shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個(gè)問題： a與a是不同的，前者表示數(shù)列a，a，a，而后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)；數(shù)列a，a，a，與集合 a，a，a，不同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個(gè)有確定范圍的整體；數(shù)列的項(xiàng)有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性4

24、注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有區(qū)別，即：對(duì)連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， a，aq，aq，；對(duì)連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號(hào)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， aq，aq，5一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此，在研究等比數(shù)列時(shí)，要注意a0，因?yàn)楫?dāng)a= 0時(shí)，雖有a= a· a成立，但a不是等比數(shù)列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比數(shù)列的必要非充分條件；對(duì)比等差數(shù)列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差數(shù)列的充要條件，這一點(diǎn)同學(xué)們要分清6由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此

25、，判斷一數(shù)列是否成等比數(shù)列，首先要注意特殊情況“0”等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式蘊(yùn)含著分類討論思想，需分分q = 1和q1進(jìn)行分類討論，在具體運(yùn)用公式時(shí)，常常因考慮不周而出錯(cuò)等差數(shù)列等差數(shù)列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等差中項(xiàng)：任何兩個(gè)數(shù)都有且僅有一個(gè)等差中項(xiàng).通項(xiàng)公式：，（廣義）.特征：，其中.前n項(xiàng)和：.特征：，其中.注：1.等差數(shù)列的定義式和遞推式、等差中項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征、前n項(xiàng)和的特征，都可以作為一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的判定依據(jù)，但等差數(shù)列的證明必須根據(jù)定義式.2.對(duì)任何數(shù)列，都有等差數(shù)列的性質(zhì)1. 若為等差數(shù)列，則.2. 若為等差數(shù)列，且，則.3. 若為等差數(shù)列，則. 4.

26、 若等差數(shù)列共有項(xiàng)，則； .5. 若等差數(shù)列共有項(xiàng)，則；.6. 若為各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則.7. 若、均為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為，則.8. 在等差數(shù)列中，若，則.9. 在等差數(shù)列中，若，則.10.在等差數(shù)列中，若，則.11.若為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列，其中和是常數(shù).12.若、為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列.13.若為等差數(shù)列，則序號(hào)成等差的項(xiàng)也成等差數(shù)列，即：若為等差數(shù)列，為正整數(shù)等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.14.為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則為等差數(shù)列為等差數(shù)列.15.若為等差數(shù)列，則依次項(xiàng)和仍為等差數(shù)列，即仍為等差數(shù)列.等比數(shù)列等比數(shù)列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等比

27、中項(xiàng)：兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)才有但有兩個(gè)等比中項(xiàng).通項(xiàng)公式：，（廣義）.前n項(xiàng)和：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.特征：.注：非零常數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，反之亦然.等比數(shù)列的性質(zhì)1. 若為等比數(shù)列，則.2. 若為等比數(shù)列，且，則.3. 若為等比數(shù)列，則仍為等比數(shù)列，其中是非零常數(shù).4. 若為等比數(shù)列，則當(dāng)恒有意義時(shí)仍為等比數(shù)列，其中是任意常數(shù).5. 若、為等比數(shù)列，則、仍為等比數(shù)列.6. 若為等比數(shù)列，則序號(hào)成等差的項(xiàng)也成等比數(shù)列，即：若為等比數(shù)列，為正整數(shù)等差數(shù)列，則為等比數(shù)列.7. 為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積，則為等比數(shù)列為等比數(shù)列.8. 若為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則依次項(xiàng)和仍為等比數(shù)列，即仍為等比數(shù)列.注：等

28、比數(shù)列各項(xiàng)積的性質(zhì)類似于等差數(shù)列各項(xiàng)和的性質(zhì)，應(yīng)用范圍較小，故未寫入.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系1. 非零常數(shù)列，也只有非零常數(shù)列，即是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。2. 等差數(shù)列與等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化.事實(shí)上，若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列；若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列，其中是常數(shù)，且.3. 等差數(shù)列和的運(yùn)算與等比數(shù)列積的運(yùn)算有類似的性質(zhì)，等差數(shù)列差的運(yùn)算與等比數(shù)列商的運(yùn)算有類似的性質(zhì).數(shù)列知識(shí)點(diǎn)1 考綱要求內(nèi)容4要求層次ABC數(shù)列數(shù)列的概念數(shù)列的概念和表示法等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列的概念等比數(shù)列的概念等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式2 知識(shí)點(diǎn) (一)數(shù)列的該概念和表示法、 （

29、1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作； 數(shù)列的一般形式：，簡記作 。 （2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。 不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號(hào)：1 2 3 4 5 6 項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9 上面每一項(xiàng)序號(hào)與

30、這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立的點(diǎn)（3） 數(shù)列分類： 按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列； 按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列（4） 遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式（2） 等差數(shù)列 1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）； 2等差數(shù)列通項(xiàng)公式： ， 首項(xiàng):，公差

31、:d，末項(xiàng): 推廣： 從而；3等差中項(xiàng) （1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或 （2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù) 乘以中間項(xiàng)）5等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列 （3） 數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4） 數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6等差數(shù)列的證明方法 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列7.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函 數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.（4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列 (5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 （6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔