人教版高中數(shù)學(xué)【必修四】[知識點整理及重點題型梳理]-平面向量的數(shù)量積-提高

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識點梳理重點題型（常考知識點）鞏固練習(xí)平面向量的數(shù)量積【學(xué)習(xí)目標】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的運算；4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；【要點梳理】要點一： 平面向量的數(shù)量積1. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要點詮釋：1. 兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積

2、有很大區(qū)別(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定.(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出.因為其中有可能為0.2. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0°時投影為；當=180°時投影為.要點二：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義。圖所示

3、分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即。 事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以。要點三：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量.1.2.3.當與同向時，；當與反向時，. 特別的或4.5.要點四：向量數(shù)量積的運算律 1.交換律：2.數(shù)乘結(jié)合律：3.分配律：要點詮釋：1.已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c.但是；2.在實數(shù)中，有(a×b)c=a(b×c)，但是顯然，這是因為左端是與共線

4、的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線.要點五：向量數(shù)量積的坐標表示1.已知兩個非零向量，2.設(shè)，則或3.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式).要點六：向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件(2)證明垂直問題，常用垂直的充要條件(3)求夾角問題，利用(4)求線段的長度，可以利用或【典型例題】類型一：平面向量數(shù)量積的運算例1 （1）已知|=4，|=5，向量與的夾角為，求·；(+)2；22；(2+3)·(32)；（2）若向量+=0，且|=3，|=1，|=4，求·+

5、3;+·的值?！舅悸伏c撥】（1）(+)2=，(2+3)·(32)=6|2+5·6|2 把模和數(shù)量積代入可得。（2）(+)2=2+2+c2+2(·+·+·)，把模和數(shù)量積代入可得。【答案】（1）10 61 9 4（2）13【解析】 （1）。(+)2=|2+2·+|2=61。22=|2|2=9。(2+3)·(32)=6|2+5·6|2=4。（2）(+)2=2+2+2+2(·+·+·)，。【總結(jié)升華】（1）此類題目要充分利用有關(guān)的運算法則將其轉(zhuǎn)化為求數(shù)量積及模的問題，特別要靈活應(yīng)用

6、2=|2。（2）在解題中，利用了(+)2=2+2+c2+2(·+·+·)這一關(guān)系式，類似于實數(shù)的運算。舉一反三：【變式1】已知|=5，|=4，=，求（+）·.【答案】35【解析】原式= = =35例2（1）若|=4，·=6，求在方向上的投影；（2）已知|=6，為單位向量，當它們之間的夾角分別等于60°、90°、120°時，求出在方向上的正投影，并畫圖說明。【答案】（1）（2）略【解析】 （1）·=| |cos=6，又|=4，4|cos=6，。（2）在方向上的投影為|·cos。 如上圖所示，當=6

7、0°時，在方向上的正投影的數(shù)量為|·cos60°=3；當=90°時，在方向上的投影的數(shù)量為|·cos90°=0；當=120°時，在方向上的正投影的數(shù)量為|·cos120°=3?！究偨Y(jié)升華】 要注意在方向上的投影與在方向上的投影不是相同的。類型二：平面向量模的問題例3已知|=|=4，向量與的夾角為，求|+|，|。 【思路點撥】已知兩個向量的模和夾角，把|+|和|用向量的模和夾角的來表示，所以先求出和，然后再開方即可。 【答案】4，【解析】 因為2=|2=16，2=|2=16，所以。同事可求?！究偨Y(jié)升華】關(guān)系

8、式2=|2，可使向量的長度與向量的數(shù)量積互相轉(zhuǎn)化。因此欲求|+|，可求(+)·(+)，并將此式展開。由已知|=|=4，得·=·=16，·也可求得為8，將上面各式的值代入，即可求得被求式的值。舉一反三：【平面向量的數(shù)量積 例4】【變式1】已知，求。【答案】 【解析】，同理，【變式2】已知的夾角為， ，則 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1【解析】， ，解得，故選B.【總結(jié)升華】涉及向量模的問題一般利用，注意兩邊平方是常用的方法.類型三：向量垂直（或夾角）問題例4（2015 上海月考）已知，（1）若，求與的夾角；（2）若與的夾角為60°

9、;，試確定實數(shù)k，使與垂直【答案】（1）；（2）【解析】（1），與的夾角為（2），與的夾角為60°，與垂直，9k+(1k)×3×4×cos60°16=0，解得舉一反三：【變式1】已知與為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向+與向量k垂直，則k=_。 【答案】1【變式2】已知是兩個非零向量，同時滿足，求的夾角.【解析】法一：將兩邊平方得， 則， 故的夾角為30°.法二： 數(shù)形結(jié)合 因為，如圖作，則，是等邊三角形，延長至C，使AC=AB，與的夾角為，易知大小為30°?！究偨Y(jié)升華】注意兩個向量夾角共起點，靈活應(yīng)用兩個向量夾角的兩種

10、求法.【平面向量的數(shù)量積 例5】【變式3】已知為非零向量，且，求證：?！咀C明】由，得， （1）同理： （2）由（1）、（2）式得：，例5（1）已知量、滿足+=0，且|=5，|=7，|=10，求、的夾角的余弦值；（2）已知|=2，|=3，與的夾角為60°，若+與+的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）（2）【解析】 （1）由+=0知，+=，|+|=|，(+)2=2，即2+2·+2=2。則。故、的夾角的余弦值為。（2）由題意可得。又(+)·(+)= 2+(2+1) ·+2，而+與+的夾角為銳角，2+(2+1) · +20，而2=|2=4，

11、2=|2=9，·=3，32+13+30，解得或。但是當=1時，+與+共線，其夾角不為銳角。故的取值范圍是?！究偨Y(jié)升華】（1）已知兩向量的模，欲求它們的夾角，一般是先求它們的數(shù)量積，然后利用向量的數(shù)量積的定義求其夾角。（2）求向量，的夾角范圍，可轉(zhuǎn)化為·與零的關(guān)系來確定，本題要注意排除兩向量+與+共線且同向的情況。因為此時兩向量夾角為0°，非銳角。兩向量夾角為銳角，則其數(shù)量積大于零，反之若兩向量數(shù)量積大于零，則夾角不一定為銳角，還可能存在兩夾角為0°的情況。 舉一反三：【變式1】 對于兩個非零向量，求使|+t|的值最小時t的值，并求此時與+t的夾角?！敬鸢?/p>

12、】90°【解析】 |+t|2=2+2(2·)t+t22=|2+2(·)t+t2|2 。當時，|+tb|2取得最小值，即|+tb|取得最小值，此時，。又0，(+t)0，(+t)。與+t的夾角為90°?！究偨Y(jié)升華】本題中字母較多，求|+t|的最小值是轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)的最值問題，同時應(yīng)用數(shù)量積進行化簡也是必不可少的 。類型四：平面向量數(shù)量積的坐標表示及運算 例6（2017 安徽模擬）已知向量（1）若，求實數(shù)x的值；（2）當取最小值時，求與的夾角的余弦值【思路點撥】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模，先求出，再根據(jù)向量的垂直即可求出x的值 （2）根據(jù)二次

13、函數(shù)的性質(zhì)即可求出x的值，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，解得 或 當時，3(4x1)(23x)=0，解得，當時，3(5x2)+1=0，解得（2）設(shè)與的夾角由（1）可知，當時，則，當時，取最小值，則，當時，則，當時，取最小值，則，【總結(jié)升華】關(guān)于向量數(shù)量積的坐標運算的問題，關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積的坐標運算公式以及相關(guān)的模長公式和夾角公式 舉一反三：【變式1】（2015 湖南衡陽縣一模）已知，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 （1）若，且，求的坐標；（2）若，且與垂直，求與的夾角【答案】（1），或；（2）=【解析】（1）關(guān)于，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中，若，且，可

14、設(shè)，則由，可得=±2，或（2），且與垂直，化簡可得，即，cos=1，故與的夾角=【總結(jié)升華】涉及向量數(shù)量積的坐標運算的問題，關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積的坐標運算公式以及相關(guān)的模長公式和夾角公式，在這個過程中還要熟練運用方程的思想；值得注意的是，對于一些向量數(shù)量積坐標運算的問題，有時考慮其幾何意義可使問題快速獲解。 例7在ABC中，且ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值。【思路點撥】ABC中的哪一個內(nèi)角為直角并不明確，因此要分類討論，分類討論的時候要分類明確，不重不漏?！窘馕觥?（1）當A=90°時，故2×1+3k=0，即。（2）當B=90°時，故2×(1

15、)+3(k3)=0，。（3）當C=90°時，。由（2）得。故1+k(k3)=0，k23k1=0，。故當或或時，ABC為直角三角形?！究偨Y(jié)升華】直角邊所形成的兩向量互相垂直，故可借此構(gòu)造關(guān)于k的方程。舉一反三：【變式1】已知=（1，1），=（0，2）當k為何值時，（1）k與+共線；（2）k與+的夾角為120°。【答案】（1）1（2） 【解析】=（1，1），=（0，2），k=k（1，1）（0，2）=（k，k+2）。+=（1，1）+（0，2）=（1，1）。（1）k與+共線，k+2(k)=0。k=1。（2），(k)·(+)=(k，k+2)·(1，1)=kk2=2，而k與+的夾角為120°，即。化簡，整理得k2+2k2=0，解之得。類型五：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例8. 平面內(nèi)有向量，點M為直線OP上的一個動點。（1）求當取最小值時，求的坐標；（2）當點M滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cosAMB的值?！窘馕觥?（1）如圖，設(shè)M（x，y）。則，點M在直線OP上，向量與共線。又，x·1y·2=0，即x=2y。又，。同理。于是，=4y212y+5+y28y+7=5y220y+12由二次函數(shù)的知識，可知當時，有最小值8，此時。（2）當，即y=2時，有，。【總結(jié)升華】平面向量的共線關(guān)系、垂直