電路分析_08般二階電路分析

1、第八章第八章 二階電路二階電路 8-1 LC電路中的正弦振蕩電路中的正弦振蕩8-2 RLC電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng)8-3 RLC電路的全響應(yīng)電路的全響應(yīng)8-4 GLC并聯(lián)電路的分析并聯(lián)電路的分析8-5 一般二階電路一般二階電路1.1.二階電路：二階電路： 變量用二階微分方程描述的電路；變量用二階微分方程描述的電路； 從結(jié)構(gòu)上看，含有兩個獨立從結(jié)構(gòu)上看，含有兩個獨立初始狀態(tài)初始狀態(tài)動態(tài)元件的電路。動態(tài)元件的電路。2.2.二階電路的分析方法：二階電路的分析方法： 根據(jù)兩類約束，列寫二階電路微分方程；根據(jù)兩類約束，列寫二階電路微分方程； 求特征方程的根，即固有頻率；求特征方程的根，即固有頻率

2、； 根據(jù)根的性質(zhì)確定解答形式（公式）。根據(jù)根的性質(zhì)確定解答形式（公式）。 初始狀態(tài)求解與一階電路方法相同。初始狀態(tài)求解與一階電路方法相同。引引 言言8-1 LC電路中的正弦振蕩電路中的正弦振蕩一、已知一、已知u uC C(0) = 1V(0) = 1V，i iL L(0) = 0(0) = 0，L = 1HL = 1H，C = 1FC = 1F，求求u uC C，i iL L。C CL Li iL Lu uC C+ +_ _dtdudtduCiidtdidtdiLuuCCCLLLLC022CCudtud得到二階微分方程：得到二階微分方程：ttittuLCsin)(cos)(解答形式：解答形式：

3、JCuLitw212121)(22儲能：儲能：解：解：圖圖8-1 LC振蕩回路振蕩回路二、二、LC 振蕩電路波形振蕩電路波形t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t124T4T2T2T4T34T3TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12 圖圖8-28-2 LC LC 振蕩電路波形振蕩電路波形三、三、 LC 振蕩電路的物理過程振蕩電路的物理過程1、0,1/4T : C放電，放電，L充電，電場能向磁場能轉(zhuǎn)化；充電，電場能

4、向磁場能轉(zhuǎn)化；2、1/4T,1/2T：L放電，放電，C反向充電，磁場能向電能轉(zhuǎn)化；反向充電，磁場能向電能轉(zhuǎn)化；3、1/2T,3/4T：C放電，放電，L反向充電，電場能向磁場能轉(zhuǎn)化；反向充電，電場能向磁場能轉(zhuǎn)化；4、3/4T,T ：L放電，放電，C充電，磁場能向電場能轉(zhuǎn)化。充電，磁場能向電場能轉(zhuǎn)化。 純純LC電路，儲能在電場和磁場之間往返轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生振電路，儲能在電場和磁場之間往返轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生振蕩的電壓和電流。振蕩是等幅的，等副振蕩是按正弦方式蕩的電壓和電流。振蕩是等幅的，等副振蕩是按正弦方式隨時間變化的。隨時間變化的。四、結(jié)論四、結(jié)論想一想：若回路中含有電阻，還是等幅振蕩嗎？想一想：若回路中含有電

5、阻，還是等幅振蕩嗎？82 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)一、一、RLC串聯(lián)電路的微分方程串聯(lián)電路的微分方程 圖圖8-3 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路)()()()(SCLRtutututu 2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 為了得到圖為了得到圖8-3所示所示RLC串串聯(lián)電路的微分方程，先列出聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程方程 根據(jù)前述方程得到以下微分方程根據(jù)前述方程得到以下微分方程 ) 18 ()(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC 這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。這是一個常系

6、數(shù)非齊次線性二階微分方程。)28(0ddddCC2C2utuRCtuLC 其特征方程為其特征方程為 ) 38 (012RCsLCs 其特征根為其特征根為 ) 48 (122221LCLRLRs， 零輸入響應(yīng)方程為零輸入響應(yīng)方程為 電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)R，L，C的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況 1. 時，時， 為不相等的實根。過阻尼情況。為不相等的實根。過阻尼情況。 CLR2 21,ss 2. 時，時， 為兩個相等的實根。臨界阻尼為兩個相等的實根。臨界阻尼情況。情況。21,ssCL

7、R2 3. 時，時， 為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。CLR2 21,ss二、過阻尼情況二、過阻尼情況 當(dāng)當(dāng) 時，電路的固有頻率時，電路的固有頻率s1，s2為兩個不相同的為兩個不相同的實數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式實數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 ) 58 (ee)(2121CtstsKKtu 式中的兩個常數(shù)式中的兩個常數(shù)K1，K2由初始條件由初始條件iL(0)和和uc(0) 確定。確定。 )68()0(21CKKu 對式對式(95)求導(dǎo)，再令求導(dǎo)，再令t=0得到得到 )78()0(d)(dL22110CCisKsKttut 求解以上兩個方程，可以得

8、到求解以上兩個方程，可以得到 CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121 由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和方程和電容的電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 例例8-1 電路如圖電路如圖8-4所示，已知所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應(yīng)。入響應(yīng)。 42138331222221LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入特征根表達式，計算出固有頻率的

9、量值代入特征根表達式，計算出固有頻率圖圖84 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路 將固有頻率將固有頻率s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（85）得到）得到 )0(ee)(4221C tKKtutt 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個方程：得到以下兩個方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21C CiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42C ttutt 最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為 利用利用KCL和電容的和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響

10、方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)應(yīng) )0(A)e4e3(dd)()(42CCL ttuCtititt 從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。路各元件的能量交換過程。二、臨界情況二、臨界情況 當(dāng)當(dāng) 時，電路的固有頻率時，電路的固有頻率s1, s2為兩個相同的實為兩個相同的實數(shù)數(shù)s1=s2=s 。齊次微分方程的解答具有下面的形式。齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 ) 88 (ee)(21CststtKKtu 式中的兩個常數(shù)式中的兩個常數(shù)K1，K2由初始條件由初始條件iL(0)和和uC(0) 確定。確定。令式令式(8

11、-5)中的中的t=0得到得到 )98()0(1C Ku 聯(lián)立求解以上兩個方程，可以得到聯(lián)立求解以上兩個方程，可以得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK 將將 K1, K2的計算結(jié)果，代入式（的計算結(jié)果，代入式（88）得到電容電壓）得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的方程和電容的VCR可以得到電可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。感電流的零輸入響應(yīng)。 對式對式(85)求導(dǎo)，再令得到求導(dǎo)，再令得到 )108()0(d)(dL210CCiKsKttut例例8-2 電路如圖電路如圖8-5所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(

12、0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應(yīng)。流的零輸入響應(yīng)。 22024221222221LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入式的量值代入式(8-4)計算出固有頻率的數(shù)值計算出固有頻率的數(shù)值圖圖85 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程得到以下兩個方程 0)0(2d)(d1)0( L210C1C CiKKttuKut 將兩個相等的固有頻率將兩個相等的固有頻率s1=s2=-2 代入式（代入式（88）得到）得到 )0(ee)(

13、2221c ttKKtutt 得到電感電流的零輸入響應(yīng)得到電感電流的零輸入響應(yīng) )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL ttttuCtititttt 求解以上兩個方程得到常數(shù)求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=-1和和K2=-2，得到電容，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)電壓的零輸入響應(yīng) )0( V )e2e()(22C tttutt 根據(jù)以上兩個表達式用計算機程序根據(jù)以上兩個表達式用計算機程序DNAP畫出的波形畫出的波形曲線，如圖曲線，如圖86所示。所示。 (a) 電容電壓的波形電容電壓的波形 (b) 電感電流的波形電感電流的波形圖圖86 臨界阻尼情況臨界阻尼情況 )0( Ae4)()(

14、)0(V )e2e()(2CL22C tttititttuttt三、欠阻尼情況三、欠阻尼情況 當(dāng)當(dāng) 時，電路的固有頻率時，電路的固有頻率s1，s2為為兩個共軛復(fù)為為兩個共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為數(shù)根，它們可以表示為 CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs， 其中其中 稱稱為為衰衰減減諧諧振振角角頻頻率率稱稱為為諧諧振振角角頻頻率率稱稱為為衰衰減減系系數(shù)數(shù)2200 1 2 dLCLR 齊次微分方程的解答具有下面的形式齊次微分方程的解答具有下面的形式 )118 ()cos(e)sin()cos(e)(dd2d1CtKtKtKtutt 式中式中 122221arctanKKKKK 由初

15、始條件由初始條件iL(0)和和uC(0)確定常數(shù)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和和VCR方程得到電感電流方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。的零輸入響應(yīng)。 例例8-3 電路如圖電路如圖8-7所示。已知所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)。j4351222221 233LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入式的量值代入式(8-4)計算出固有頻率的數(shù)值計算出固有頻率的數(shù)值圖圖87 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)

16、二階電路 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個方程得到以下兩個方程 7)0(43d)(d)0( L210C1C CiKKttuKut 求解以上兩個方程得到常數(shù)求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=3和和K2=4，得到電容電，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)壓和電感電流的零輸入響應(yīng): )0( A)74.73cos(e)sin(24)cos(7e04. 0dd)()0( V )1 .53cos(e5)sin(4cos3e)(cLc tttttuCtitttttutttt4444443333 將兩個不相等的固有頻率將

17、兩個不相等的固有頻率 s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入式代入式（811）得到）得到 )0( )sin(cose)(21C ttKtKtut443 用計算機程序畫出的波形曲線，如圖用計算機程序畫出的波形曲線，如圖88所示所示 (a) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為3的電感電流的波形的電感電流的波形(c) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形的電容電壓的波形 (d) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為0.5的電感電流的波形的電感電流的波形 圖圖88 欠阻尼情況欠阻尼情況 欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形欠阻尼情況的特點是能量

18、在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。減越慢。 當(dāng)例當(dāng)例83中電阻由中電阻由R=6減小到減小到R=1，衰減系數(shù)由，衰減系數(shù)由3變變?yōu)闉?.5時，可以看出曲線衰減明顯變慢。時，可以看出曲線衰減明顯變慢。 假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時，電容電壓和電假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。感電流將形成無衰減的等幅振蕩。 例例8-4 電路如圖電路如圖8-9所示。已知所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和

19、電感電流的零，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應(yīng)。輸入響應(yīng)。j551222221 LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入式（的量值代入式（84）計算出固有頻率的）計算出固有頻率的 數(shù)值數(shù)值 圖圖89 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路 將兩個不相等的固有頻率將兩個不相等的固有頻率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（8-11）得到得到 )0()sin()cos()(21c ttKtKtu55 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個方程得到以下兩個方程 7)0(5d)(d3)0( L20C1C C

20、iKttuKut 求解以上兩個方程得到常數(shù)求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=3和和K2=1.4，得到電容，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)電壓和電感電流的零輸入響應(yīng): )0(A)65cos(66. 0)cos(7)sin(1504. 0dd)()0(V)25cos(31. 3)sin(4 . 1)cos(3)(CLC tttttuCtitttttu555555 用計算機程序畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，用計算機程序畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖如圖810所示。所示。 圖圖810 無阻尼情況無阻尼情況 從電容電壓和電感電流的表達式和波形曲線可見，由從電容電壓和電感電流的表達式和波形

21、曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為差為90 ，當(dāng)電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達，當(dāng)電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。電場中。 從以上分析計算的結(jié)果可以看出，從以上分析計算的結(jié)果可以看出，RLC二

22、階電路的零二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫在圖種情況畫在圖811上。上。圖圖8-11 由圖由圖811可見：可見： 1. 在過阻尼情況，在過阻尼情況，s1和和s2是不相等的負(fù)實數(shù)，固有頻率是不相等的負(fù)實數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在出現(xiàn)在s平面上負(fù)實軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。平面上負(fù)實軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實數(shù)，固有頻率是相等的負(fù)實數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在出現(xiàn)在s平面上負(fù)實軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。平面上負(fù)實軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，在欠阻尼情況

23、，s1和和s2是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的左半平面上，響應(yīng)是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，平面上的左半平面上，響應(yīng)是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù)其振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù) 越大，衰減越越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率快。衰減振蕩的角頻率 d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。越大，振蕩周期越小，振蕩越快。 圖中按圖中按Ke- t畫出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的畫出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化范圍。變化范圍。 4.在無阻尼情況，在無阻尼情況，s1和和s2是共軛虛數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在是共軛虛數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的

24、虛軸上，衰減系數(shù)為零，振幅不再衰減，形成角平面上的虛軸上，衰減系數(shù)為零，振幅不再衰減，形成角頻率為頻率為 0的等幅振蕩。的等幅振蕩。 顯然，當(dāng)固有頻率的實部為正時，響應(yīng)的振幅將隨時顯然，當(dāng)固有頻率的實部為正時，響應(yīng)的振幅將隨時間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個電路的全部間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個電路的全部固有頻率均處于固有頻率均處于s平面上的左半平面上時，電路是穩(wěn)定的。平面上的左半平面上時，電路是穩(wěn)定的。 83 RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)串聯(lián)電路的全響應(yīng) 對于圖示直流激勵的對于圖示直流激勵的RLC串聯(lián)電路，當(dāng)串聯(lián)電路，當(dāng)uS(t)=US時，可時，可以得到以下非齊次微分方程以得到

25、以下非齊次微分方程 )0(ddddSCC2C2 tUutuRCtuLC 電路的全響應(yīng)由對應(yīng)齊次微分方程的通解與微分方程電路的全響應(yīng)由對應(yīng)齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成的特解之和組成 )()()(CpChCtututu 微分方程的特解為：微分方程的特解為： Scp)(Utu 微分方程的通解微分方程的通解 )(chtu與固有頻率有關(guān)，有四種解答與固有頻率有關(guān)，有四種解答1. 1. 過阻尼過阻尼SttCUeKeKtu2121)(2. 2. 臨界阻尼臨界阻尼3. 3. 欠阻尼欠阻尼4. 4. 無阻尼無阻尼StCUetKKtu)()(21SddtCUtKtKetu)sincos()(21SC

26、UtKtKtu0201sincos)(CidtduLtC)0(0)0(CuK1、K2由初始條件確定由初始條件確定四種解答形式的全響應(yīng)：四種解答形式的全響應(yīng)：例例8-5 電路如圖所示。已知電路如圖所示。已知 R=4 ，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求。求t0時，電容電時，電容電 壓和電感電流的響應(yīng)。壓和電感電流的響應(yīng)。 3112342122221，LCLRLRs解：先計算固有頻率解：先計算固有頻率 這是兩個不相等的負(fù)實根，其通解為這是兩個不相等的負(fù)實根，其通解為 ttKKtu321chee)( 特解為特解為 V2)(cp tu 全響應(yīng)為全響應(yīng)為

27、 V2ee)()()(321CpChC ttKKtututu 利用初始條件得到利用初始條件得到 12)0(3d)(d6V2)0(L210C21C CiKKttuKKut 聯(lián)立求解以上兩個方程得到聯(lián)立求解以上兩個方程得到 V8,V1221 KK 最后得到電容電壓和電感電流的全響應(yīng)最后得到電容電壓和電感電流的全響應(yīng) )0( A)e8e4(dd)()()0( V )2e8e12()(3CCL3C ttuCtitittutttt二階電路一般分析步驟：二階電路一般分析步驟：1.1.列電路方程：列電路方程：根據(jù)兩個約束，確定未知量。根據(jù)兩個約束，確定未知量。2.2.由特征方程求特征根由特征方程求特征根;

28、;3.3.根據(jù)根的性質(zhì)確定解答形式：根據(jù)根的性質(zhì)確定解答形式：有四種有四種4.4.由由初始條件初始條件確定確定 K K1 1、K K2 2 ：CidtduLtC)0(0, )0(Cu若若u uC C(0)(0)和和i iL L(0)(0)未知，與一階電路求法相同：未知，與一階電路求法相同： 畫畫t = 0t = 0- - ，0 0+ +時的等效電路，求時的等效電路，求u uC C(0(0+ +) ) 和和 i iL L(0(0+ +) ) 5.5.全響應(yīng)：全響應(yīng)：CpChCuuuSLpSCpIiUu特解與一階電路求法相同：特解與一階電路求法相同：直流：直流：階躍：階躍：84 RLC并聯(lián)電路的響

29、應(yīng)并聯(lián)電路的響應(yīng) RLC RLC并聯(lián)電路如上圖所示，為了得到電路的二階微分方并聯(lián)電路如上圖所示，為了得到電路的二階微分方程，列出程，列出KCLKCL方程方程 )()()()(SCLRtitititi 代入電容，電阻和電感的代入電容，電阻和電感的VCRVCR方程方程 2L2CLRLCLdddd)( dd)()(dd)()()(tiLCtuCtitiGLtGutitiLtututu 得到微分方程得到微分方程 )(ddddSLL2L2tiitiGLtiLC 這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。 其特征方程為其特征方程為 012 GLsLCs由此求解得到特征根由

30、此求解得到特征根 LCCGCGs12222 , 1 當(dāng)電路元件參數(shù)當(dāng)電路元件參數(shù)G G, ,L L, ,C C的量值不同時，特征根可能的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：出現(xiàn)以下三種情況： 1. 1. 時，時，s s1 1, ,s s2 2為兩個不相等的實根。為兩個不相等的實根。 LCG2 2. 2. 時，時，s s1 1, ,s s2 2為兩個相等的實根。為兩個相等的實根。 LCG2 3. 3. 時，時，s s1 1, ,s s2 2為共軛復(fù)數(shù)根。為共軛復(fù)數(shù)根。 LCG2 當(dāng)兩個特征根為不相等的實數(shù)根時，稱電路是過阻尼的；當(dāng)兩個特征根為不相等的實數(shù)根時，稱電路是過阻尼的；當(dāng)兩個特征根為

31、相等的實數(shù)根時，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個特征根為相等的實數(shù)根時，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個特征根為共軛復(fù)數(shù)根時，稱電路是欠阻尼的。當(dāng)兩個特征根為共軛復(fù)數(shù)根時，稱電路是欠阻尼的。GLC并聯(lián)電路的分析方法完全同并聯(lián)電路的分析方法完全同RLC串聯(lián)電路。串聯(lián)電路。根據(jù)對偶性質(zhì)根據(jù)對偶性質(zhì)RLC： uC L C R US RLC二階方程解答二階方程解答GLC： iL C L G IS GLC二階方程解答二階方程解答例例8-7 8-7 電路如圖所示，已知電路如圖所示，已知G G=3S,=3S,L L=0.25H,=0.25H, C C=0.5F,=0.5F, i iS S( (t t)=)= ( (t

32、t)A)A。求。求t t00時電感電流和電容電壓的零時電感電流和電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。狀態(tài)響應(yīng)。 4213833122322 , 1LCCGCGs解：根據(jù)解：根據(jù)G G, ,L L, ,C C 的量值，計算出固有頻率的量值，計算出固有頻率 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值u uC C(0)=0(0)=0和電感電流的初始和電感電流的初始i iL L(0)=0(0)=0， 得到以下兩個方程得到以下兩個方程 0)0(42d)(d0A1)0( C210L21L LuKKttiKKit 求得常數(shù)求得常數(shù)K K1 1=-2,=-2,K K2 2=1=1。最后得到電感電流和電容電壓。最后得到電感電流

33、和電容電壓 )0(V)ee (dd)()()0(A) 1ee2()(42LCL42L ttiLtututtitttt這是兩個不相等的實根，電感電流的表達式為這是兩個不相等的實根，電感電流的表達式為 )0(A1ee)(4221L tKKtitt85 一般二階電路一般二階電路 除了除了RLC串聯(lián)和并聯(lián)二階電路以外，還有很串聯(lián)和并聯(lián)二階電路以外，還有很多由兩個儲能元件以及一些電阻構(gòu)成的二階電路。多由兩個儲能元件以及一些電阻構(gòu)成的二階電路。本節(jié)討論這些電路的分析方法，關(guān)鍵的問題是如本節(jié)討論這些電路的分析方法，關(guān)鍵的問題是如何建立電路的二階微分方程以及確定相應(yīng)的初始何建立電路的二階微分方程以及確定相應(yīng)的

34、初始條件。條件。例例8-9 如下圖所示電路在開關(guān)轉(zhuǎn)換前已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)，已如下圖所示電路在開關(guān)轉(zhuǎn)換前已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)，已 知知uS(t)=6e-3tV，t=0閉合開關(guān)。試求閉合開關(guān)。試求t 0時電容電壓時電容電壓 uC(t)的全響應(yīng)。的全響應(yīng)。 解：先求出電容電壓和電感電流的初始值為解：先求出電容電壓和電感電流的初始值為 A1)64(V10)0()0(V6V10646)0()0(LLCC iiuu 由此得到由此得到t0的電路如圖的電路如圖(b)所示。所示。 以電容電壓以電容電壓uC(t)和電感電流和電感電流iL(t)為變量，列出兩個網(wǎng)為變量，列出兩個網(wǎng)孔的孔的KVL方程方程 0dd16 )dd41(4LLCSCLCtiiuuuitu 從這兩個微分方程中消去電感電流從這兩個微分方程中消去電感電流iL(t)，可以得到以，可以得到以電容電壓電容電壓uC(t)為變量的二階微分方程。一種較好的方法是為變量的二階微分方程。一種較好的方法是引用微分算子引用微分算子 將以上微分方程變換成代數(shù)方程將以上微分方程變換成代數(shù)方程 tsdd 0)6( 4)1(LCSLCisuuius 用克萊姆法則求得用克萊姆法則求得 107)6(4)6)(1()6(2SSC ssusssusu 將上式改