對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

1、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算問題問題1：假設(shè)假設(shè)1995年我國國民生產(chǎn)總值為年我國國民生產(chǎn)總值為a億億元，如果每年平均增長元，如果每年平均增長8%，那么，經(jīng)過多，那么，經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是少年國民生產(chǎn)總值是1995年時的年時的2倍？倍？a(1+8%)x1.081.08x x=2=2 怎樣求出這個x x?析：析：-a-a(1+8%)-a(1+8%)(1+8%)=a(1+8%)2-a(1+8%)2(1+8%)=a(1+8%)31995年生產(chǎn)總值1996年生產(chǎn)總值1997年生產(chǎn)總值1998年生產(chǎn)總值 ？ - =2aX年ab=N解出b解出N指數(shù)底數(shù)冪對數(shù)底數(shù)真數(shù)a0且a1N0bRbRa0且a1b=

2、 logaNN0?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果 1, 0aaa的b次冪等于N, 就是 Nab，那么數(shù) b叫做以a為底 N的對數(shù)，記作 bNaloga叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。定義：復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容 練習(xí)：練習(xí)： 1.將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式 (1)54=625 (2)2-6= (3)3a =27 (4)( )m =5.73641314=log5625-6=log2(1/64)a =log327m=log(1/3) 5.732.將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式(1)log 16=4(2)log2128=7(3)log100.01= -2(4

3、)loge10=2.3032116= 4)21(128=270.01=10-210=e 2.30310_3log. 13_1log. 25練習(xí)練習(xí)1：計(jì)算下列各式的值：計(jì)算下列各式的值思考思考:?1loga?logaa?logNaa有關(guān)性質(zhì)： 負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)（在指數(shù)式中 N 0 ） , 01loga1logaa對數(shù)恒等式NaNalog復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容16log, 1log, 0log),1(log)2(132有意義嗎？下面介紹兩種特殊對數(shù)：下面介紹兩種特殊對數(shù)：常用對數(shù)常用對數(shù)：我們將以：我們將以10為底的對數(shù)叫為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并記做做常用對數(shù)，并記做N10logNlg自然對數(shù)自然對數(shù)：

4、無理數(shù)：無理數(shù)e=2.71828,以以e為底的對為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并記做數(shù)稱為自然對數(shù)，并記做Nelog.ln N常用對數(shù)： 我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)。 為了簡便,N的常用對數(shù) N10log簡記作lgN。 自然對數(shù)： 在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。 為了簡便，N的自然對數(shù) Nelog簡記作lnN。 （6）底數(shù)a的取值范圍： ), 1 () 1 , 0(真數(shù)N的取值范圍 :), 0( 復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容 例例2 求下列各式中求下列各式中x的值：的值：xxx2x64lne-(4) 100lg)3(68(2)log 32log) 1

5、 (2)223(log)5(x0)(loglog)6(25x例例3 計(jì)算下列各式計(jì)算下列各式:(1)25log5(2)161log2(3)15log15(1) 解:225log25552(2) 解:4161log161224(3) 解:115log15 對于冪的運(yùn)算我們有三條運(yùn)算法則對于冪的運(yùn)算我們有三條運(yùn)算法則.現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了對數(shù)了對數(shù),那么對于對數(shù)之間的運(yùn)算那么對于對數(shù)之間的運(yùn)算,又會有什么樣的運(yùn)又會有什么樣的運(yùn)算性質(zhì)呢算性質(zhì)呢?冪的運(yùn)算的三條法則冪的運(yùn)算的三條法則:), 0, 0()() 3(), 0()()2(), 0() 1 (RrbabaabRsraaaRsraaaar

6、rrrssrsrsr如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (證明：設(shè) ,logpMa,logqNa由對數(shù)的定義可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即證得 ?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N)(1NlogMlog(MN)logaaa證明：設(shè) ,logpMa,logqNa由對數(shù)的定義可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即證得 ?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=NNM

7、)(2NlogMlogNMlogaaa證明：設(shè) ,logpMa由對數(shù)的定義可以得： ,paM npnaMnpMna log即證得 ?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N)(3R)M(nnlogMloganaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaa對數(shù)運(yùn)算的三條運(yùn)算法則：對數(shù)運(yùn)算的三條運(yùn)算法則：對于上面的每一條運(yùn)算法則，都要注意只有當(dāng)式子對于上面的每一條運(yùn)算法則，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)符號都有意義時，等式才成立中所有的對數(shù)符號都有意義時，等式才

8、成立對嗎？請問：)5(log)3(log)5()3(log222其他重要公式1:NmnNanamloglog證明：設(shè) ,logpNnam由對數(shù)的定義可以得： ,)(pmnaN 即證得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN 其他重要公式2:aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca證明：設(shè) 由對數(shù)的定義可以得： ,paN 即證得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog這個公式叫做換底公式其他重要公式3:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba證

9、明:由換底公式 取以b為底的對數(shù)得： 還可以變形,得 , 1logbbaNNccalogloglogabbbbalogloglogabbalog1log1loglogabba4log2) 2(4log) 1.(32log4log) 2(24log) 1.(29log3log) 2() 93 (log) 1.(1222222333例用表示下列各式：zyxaaalog,log,log32log)2(log) 1 (zyxzxyaa例例計(jì)算下列各式：5572100lg)2();24(log) 1 (練習(xí)、求下列各式的值：練習(xí)、求下列各式的值：探究探究換底公式換底公式：) 0; 1, 0; 1, 0(

10、logloglogbccaababacc且且如何推導(dǎo)？18lg7lg37lg214lg(1)(2)2lg20lg5lg8lg325lg22(3)7 . 0lg20lg)21lg(7lg(4)7 . 0lg20lg)21(7)0; 1, 0; 1, 0(logloglogbccaababacc且且證明：.logloglog,loglog,loglog,loglog,logabbabpbapbacbabpccacccccpcpa即所以則有為底的對數(shù)兩邊取以，則令例7 利用換底公式可得:2log12log3log3log3332請利用同樣的方法證明:abbalog1log例8 證明 .NNamaml

11、oglog 例9 計(jì)算8log7log3log732bye!(請記住請記住)(請記住請記住)計(jì)算計(jì)算:16log2例10 27log9例1132log9log278x01. 113x01. 11318例例1 1999底我國人口為底我國人口為13億億,人口增長的年平均增長率為人口增長的年平均增長率為1%,則則x年后，我國的人口數(shù)為；若問多少年后年后，我國的人口數(shù)為；若問多少年后我國的人口達(dá)到我國的人口達(dá)到18億，即解方程，則億，即解方程，則1318log01. 1x而如果計(jì)算器只能求而如果計(jì)算器只能求10,e為底的對數(shù)，那該怎么辦？為底的對數(shù)，那該怎么辦？方法：進(jìn)行換底，把底換成以進(jìn)行換底，把底換成以10，或者換成以，或者換成以e為底為底01. 1lg13118lg01. 1lg1318lg1318log01. 1gx01. 1ln13ln18ln01. 1ln1318ln1318log01. 1x或者或者2lg5lg)7(15log5log) 6(000001. 0lg) 5(3log6log) 4(31log3log) 3(100lg) 2()927(log) 1 (332255223小