工程力學第3章

1、第3章 力矩和平面力偶系 第3章 力矩和平面力偶系 3.1 3.1 力對點之矩及合力矩定理力對點之矩及合力矩定理3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系3.3 3.3 力的平移定理力的平移定理思考題思考題 習題習題 第3章 力矩和平面力偶系 3.1 力對點之矩及合力矩定理力對點之矩及合力矩定理 以扳手擰緊螺母為例（如圖3-1所示），人施于扳手上的力F使扳手和螺母一起繞轉動中心O點轉動，即產生轉動效應。 由經驗可知，轉動效應的大小不僅與力F的大小和方向有關，且與轉動中心O點到力F作用線的垂直距離d有關。因此，力F對扳手的轉動效應可用乘積Fd冠以適當?shù)恼撎杹矶攘?。這個量稱為力對點之矩，簡稱力矩，以符

2、號MO(F)表示，即 dFMO)(F（3-1） 式中O點稱為矩心，O點到在力的作用線的垂直距離d稱為力臂，正負號的規(guī)定如下：力使物體繞矩心作逆時針轉動時力矩為正，反之為負。由此式可見，平面內力對點之矩，只取決于力矩的大小及其正負號，說明力矩是代數(shù)量。 第3章 力矩和平面力偶系 圖圖 3-1第3章 力矩和平面力偶系 在國際單位制中，力F矩的單位是牛頓米（）或千牛頓米（）。 從幾何上看，力對O點的矩在數(shù)值上等于ABO面積的兩倍，即 ABO2)(SdFMOF F（3-1） 力矩是相對某一矩心而言的，離開了矩心，力矩就沒有意義。而矩心的位置可以是力作用面內任一點，但并不一定是物體內固定的轉動中心，換句

3、話說，平面上的一個力可以對平面內任意一點取矩，而力矩一般不相同。 第3章 力矩和平面力偶系 由以上力對點之矩的概念， 可得到以下結論： (1) 力的大小為零或力的作用線通過矩心時， 其力矩為零； (2) 力沿其作用線滑動時， 不會改變力對矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力對同一點之矩的代數(shù)和為零。 第3章 力矩和平面力偶系 3.1.2 3.1.2 合力矩定理合力矩定理在計算力矩時，力臂一般可通過幾何關系確定，但有時幾何關系比較復雜，直接計算力臂比較困難。這時，如果將力適當進行分解，計算各分力的力矩可能會比較簡單。合力矩定理建立了合力對某點的矩與其分力對同一點矩之間的關系, 對于平面匯交力系可

4、敘述如下： 合力矩定理合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內任一點之矩， 等于力系中各分力對同一點之矩的代數(shù)和。 即 )()()()()(in21RFFFFFOOOOOMMMMM（3-3） 第3章 力矩和平面力偶系 例例3-1一齒輪受到嚙合力Fn作用，F(xiàn)n=980N，齒輪的壓力角=20，節(jié)圓直徑D=0.16 m，如圖3-2(a)所示。試計算Fn對軸心O的力矩。 圖 3-2 第3章 力矩和平面力偶系 解解 （1） 應用力矩的計算公式。力臂： cos2Dh 由式（3-1）得力Fn對O點之矩: mN7 .73cos2)(nnnDFhFMOF負號表示力Fn使齒輪繞O點做順時針轉動。 第3章 力矩和平面力

5、偶系 （2） 應用合力矩定理。將力Fn分解為圓周力Ft和徑向力Fr，如圖3-2（b）所示， 則 cosntFF sinnrFF 根據(jù)合力矩定理 )()()(rtnFFFOOOMMM因為徑向力Fr過矩心O，故MO(Fr)=0，于是 mN7 .73cos22)()(ntnDFDFMMOOFF第3章 力矩和平面力偶系 例例3-2手動剪斷機的結構及尺寸如圖3-3所示。設l1=80cm，l2=8cm，=15，被剪物體放在刃口K處，在B處施加F=50 N的作用力。試求在圖示位置時力F對A點之矩。 解解本題用合力矩定理求解較為方便，將力F分解為垂直于手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得 cos1FF

6、 sin2FF 根據(jù)合力矩定理，力F對A點之矩 mN7 .39cmN3970)15sin15cos()()()(0201221121llFlFlFMMMAAAFFF負號說明力F使手柄繞A點順時針轉動。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-3 第3章 力矩和平面力偶系 3.2 平平 面面 力力 偶偶 系系 3.2.1 3.2.1 力偶及其基本性質力偶及其基本性質1. 1. 力偶的概念力偶的概念在日常生活及生產實踐中，常見到物體受一對大小相等、 方向相反但不在同一作用線上的平行力作用，而使物體產生轉動效應的情況， 如人用手擰水龍頭開關（圖3-4(a)）、司機用雙手轉動方向盤（圖3-4(b)）、 鉗工用

7、絲錐攻螺紋（圖3-4(c)）等。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-4 第3章 力矩和平面力偶系 這樣由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系稱為力偶。力偶用符號(F，F(xiàn))表示，兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂， 如圖3-5所示。 力偶兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，力偶使物體轉動的方向稱為力偶的轉向。 實踐證明，力偶只能對物體產生轉動效應，而不能使物體產生移動效應。力偶對物體的轉動效應，可用力偶中的力與力偶臂的乘積再冠以適當?shù)恼撎杹泶_定，稱為力偶矩，記做M(F，F(xiàn)), 或簡寫為M，即 dFMM),(FF（3-4） 第3章 力矩和平面力偶系 式中的正負號表示力偶的轉向，通常規(guī)定

8、，逆時針轉動取正逆時針轉動取正號，順時針轉動取負號號，順時針轉動取負號。力偶矩與力矩一樣都是代數(shù)量，力偶矩的單位與力矩的單位也相同，是牛頓米（）或千牛頓米（）。力偶矩的大小、力偶的轉向和力偶的作用面力偶矩的大小、力偶的轉向和力偶的作用面，稱為力偶的三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-5第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性質力偶的性質根據(jù)力偶的定義，力偶具有以下一些性質。性質一性質一 力偶在任意軸上投影的代數(shù)和為零，如圖3-6，故力偶無合力，力偶不能與一個力等效，也不能用一個力平衡。力偶無合力，故力偶對物體的平移運動不會產生任何影響，力與力偶相互不能代替，不

9、能構成平衡。因此，力與力偶是靜力學中的兩種基本元素。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-6 第3章 力矩和平面力偶系 性質二性質二力偶對其作用面內任意點的矩恒等于此力偶的力偶矩，而與矩心的位置無關。 證明證明如圖3-5所示，在力偶(F，F(xiàn))的二力作用點A、B連線上任意取一點O為矩心，并設O點到力F的距離為x， 按力矩定義，F(xiàn)與F對O點的力矩和為 dFdxFFxMMOO)()()(FF即 ),()()(FFFFMMMOO第3章 力矩和平面力偶系 性質三性質三保持力偶的轉向和力偶矩的大小不變， 力偶可以在其作用面內任意移動和轉動， 而不會改變它對剛體的作用效應。 力偶的這一性質說明力偶對物體的作用與

10、力偶在作用面內的位置無關。須指出，這一性質只適用于剛體而不適用于變形體。 第3章 力矩和平面力偶系 性質四性質四只要保持力偶的轉向和力偶臂的大小不變， 可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短， 而不會改變力偶對剛體的作用效應。 力偶的這一性質說明力偶中力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量。因此，力偶可以用一段帶箭頭的弧線表示， 其中弧線所在平面表示力偶的作用面，箭頭指向表示力偶的轉向，再標注力偶矩的大小。圖3-7表示力偶矩為M的一個力偶，四種表示方法等效。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-7 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-8 第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面

11、力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡1. 平面力偶系的合成平面力偶系的合成作用在物體上同一平面內的許多力偶組成平面力偶系。力偶系的合成，就是求力偶系的合力偶矩。設為平面力偶系中的各分力偶矩，為合力偶的力偶矩，則 n21,MMMiMMMMMn21（3-5） 第3章 力矩和平面力偶系 2. 2. 平面力偶系的平衡條件平面力偶系的平衡條件由合成結果可知，力偶系平衡時，其合力偶矩等于零； 反之，合力偶矩為零，則平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡的充分和必要條件是所有各分力偶矩的代數(shù)和等于零。 即 0iM（3-6） 這就是平面力偶系的平衡方程，用這個方程可以求解一個未知量。 第3章 力矩和平面力偶

12、系 例例3-3圖3-9(a)所示簡支梁AB上，受作用線相距為d=20 cm的兩反向力F與F組成的力偶和力偶矩為M的力偶的作用。 若F=F=100N， M=40 Nm，梁長l=1m，求支座A和B的約束反力。 圖 3-9 第3章 力矩和平面力偶系 解解取梁AB為研究對象，因為只受主動力偶作用，而力偶只能用力偶來平衡，故兩支座反力必構成一對力偶?，F(xiàn)已知FB的方向，則FA與FB平行且反向，如圖3-9(b)所示。由平面力偶系的平衡條件， 有 0iM0MdFlFA解得 N20ldFMFA所以，方向如圖3-9(b)所示。 N20ABFF第3章 力矩和平面力偶系 例例 3-4 多刀鉆床在水平工件上鉆孔（圖3-

13、10），每個鉆頭的切削刀刃作用于工件的力在水平面內構成一力偶。已知切制三個孔對工件的力偶矩分別為，。求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B兩處用螺栓固定，A和B之間的距離，試求兩個螺栓在工件平面內所受的力。解：解：(1) 求三個主動力偶的合力偶矩 mN5 .1321 MMmN173MmN44175 .135 .13321MMMMMi負號表示合力偶矩為順時針方向。 第3章 力矩和平面力偶系 圖 3-10 第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求兩個螺栓所受的力。 選工件為研究對象，工件受三個主動力偶作用和兩個螺栓的反力作用而平衡，故兩個螺栓的反力FA與FB必然組成為一力偶， 設它們的方向如圖所示，

14、由平面力偶系的平衡條件，有 0iM0321MMMlFA解得 N220321lMMMFA所以，方向如圖3-10所示。 N220ABFF第3章 力矩和平面力偶系 3.3 力的平移定理力的平移定理 力對物體的作用效果取決于力的三要素：力的大小、方向和作用點。當力沿其作用線移動時，力對剛體的作用效果不變。 但是，如果保持力的大小、方向不變，將力的作用線平行移動到另一位置，則力對剛體的作用效果將發(fā)生改變。 設在剛體上作用一力F F，如圖3-11所示，由經驗可知，當力F F通過剛體的重心C時，剛體只發(fā)生移動。如果將力F F平行移動到剛體上任一點D，則剛體既發(fā)生移動，又發(fā)生轉動，即作用效果發(fā)生改變。那么，在

15、什么條件下，力平行移動后與未移動前對剛體的作用效果等效呢？力的平移定理解決了這一問題。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-11 第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理力的平移定理作用于剛體上某點的力，可以平行移動到剛體內任意一點，但同時必須附加一個力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力對平移點的力矩，力偶的轉向決定于原力對平移點的力矩的轉動方向。 證明證明如圖3-12(a)所示，假設有一力F作用在剛體上A點， 要把它平移到剛體上另一點B處。根據(jù)加減平衡力系原理，在B點加一對平衡力F和F，并使它們與力F平行，而且F=-F=F，如圖3-12(b)所示，顯然，它們對剛體的作用與原來的一個力F對剛體的作用等效

16、。在這三個力中，力F與F組成一對力偶(F, F)。于是，原來作用在A點的力，現(xiàn)在被一個作用在B點的力F和一個附加力偶(F, F)所取代，如圖3-12(c)所示， 此附加力偶的力偶矩大小為 FdMMB)(F（3-7） 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-12 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-13 第3章 力矩和平面力偶系 思思 考考 題題 3-1 手推磨如圖所示，試解釋當桿AB與轉軸O共線時最不好。 思考題3-1圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-2 為什么力偶不能與一力平衡? 如何解釋如圖所示之轉輪的平衡現(xiàn)象？ 思考題3-2圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-3 能否用力在坐標軸上的投影的代數(shù)和為零來

17、判斷力偶系的平衡？如圖所示剛體上，作用二力偶(F, F)和(F1, F1)， 它們在x軸和y軸上投影的代數(shù)和都等于零， 剛體是否平衡？ 為什么？ 思考題3-3圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-4 物體受F1、F2兩個作用（如圖所示），試在物體上找出一點O， 使F1、 F2兩力對O點之矩均等于零。 思考題3-4圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-5 用手握鋼絲鉗，為什么不用很大的握緊力就能剪斷鐵絲？為什么用撬棒能夠移動沉重的機床？3-6 汽車司機有時可以用一只手轉動轉向盤，但鉗工在攻螺紋時，一定要用兩只手轉動絲錐鉸桿手柄，而不允許用一只手操作， 為什么？ 第3章 力矩和平面力偶系 習習 題題 3-

18、1 試分別計算圖示各種情況下力F對O點的矩。 題3-1圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-2 求圖中力F對A點之矩。已知r1=20cm，r2=50cm，F(xiàn)=300 N。 題3-2圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-3 如圖所示，梁AB長l，作用一力偶矩M=Fa的力偶。若不計梁自重， 試求支座A、 B的約束反力。 題3-3圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-4 沿著剛體上正三角形ABC的三條邊分別作用有力F1、F2、 F3，如圖所示。已知正三角形的邊長為a，F(xiàn)1=F2=F3=F。試證明這三個力可以合成一個力偶，并求出力偶矩的大小。 題3-4圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-5 車間有一矩形鋼板（如圖所示），邊長a=4 m，b=2 m，為使鋼板轉一