微積分B版-上冊(cè)-講義-1[1].10函數(shù)的連續(xù)與間斷

1、函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷第第10節(jié)節(jié)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點(diǎn)稱為自變量在點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 1. 函數(shù)的增量北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當(dāng)自變量的增量果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對(duì)應(yīng)的函對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向

2、于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). .,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在, ,且等于它在且等于它在點(diǎn)點(diǎn)0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0

3、 x連續(xù)連續(xù). .0000( )1. ( )2. lim( )3. ().xxf xxf xxf xf x函數(shù)在點(diǎn) 點(diǎn)連續(xù)包含了如下三個(gè)條件：在點(diǎn) 有確定的函數(shù)值；極限存在；極限值等于函數(shù)值三條件缺三條件缺一不可一不可北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系:定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)

4、;)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但

5、不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.在定義域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)稱為連續(xù)函

6、數(shù)。在定義域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù)。北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系5、函數(shù)的間斷點(diǎn)、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1.1.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)0000( ),(0)(0),( )f xxf xf

7、xxf x如果在點(diǎn)處左 右極限都存在 但則稱點(diǎn) 為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).例例3 3,0,( )01,0,xxf xxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2.2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)00000( ),lim( )(),( )( )xxf xxf xAf xf xxxf x如果在點(diǎn)處的極限存在但或在點(diǎn)處無(wú)定義則稱點(diǎn) 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。例例4 401,2,( )11,1,1,1xxf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性。oxy112xy 1xy2 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系解解, 1)1( f

8、, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系如例如例4 4中中, , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xoxy1123.3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)00( ),( ).f

9、xxxf x如果在點(diǎn)處的左、右極限至少有一個(gè)不存 在 則稱點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)例例5 51,0,( )0,0,xf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解解oxy, 0)00( f,)00( f1x 為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。3.3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)定義：無(wú)窮型間斷點(diǎn)定義：無(wú)窮型間斷點(diǎn)000(,)xxxxxx當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值趨向于無(wú)窮大的間斷點(diǎn).例例6 61( )sin0.f xxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性解解xy1sin 0 x 在處沒有定義,01limsinxx且不存在.0.x 為第二類間斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間斷點(diǎn).注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). .0( )xxf x當(dāng)時(shí)，函數(shù)值無(wú)限次在兩個(gè)不同數(shù)之間變動(dòng)，這種間斷點(diǎn)振蕩型稱為間斷點(diǎn).北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系11101( )020 xxxxf xxex練習(xí)：討論函數(shù)：的連續(xù)性。小結(jié)1.1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件; ;3.3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別; ;2.2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù); ;第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): :可去型可去型, ,跳躍型跳躍型.