中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何問題

1、中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何問題以下是查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)為您推薦的 中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何問題，希望本篇文章對您學(xué)習(xí)有所幫助。中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何問題第一部分 真題精講【例1】如圖，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高為 .動點(diǎn) 從 點(diǎn)出發(fā)沿線段 以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn) 運(yùn)動;動點(diǎn) 同時從 點(diǎn)出發(fā)沿線段 以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn) 運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為 秒.1當(dāng) 時，求 的值;2試探究： 為何值時， 為等腰三角形.【思路分析1】此題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點(diǎn)，很多同學(xué)看到可能就會無從下手。但是解決動點(diǎn)問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之

2、間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就此題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件親密相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓?由題意知，當(dāng) 、 運(yùn)動到 秒時，如圖，過 作 交 于 點(diǎn)，那么四邊形 是平行四邊形. 根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題. 這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)絡(luò)起來的關(guān)鍵.解得 .【思路分析2】第二問失分

3、也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中假如在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。詳細(xì)分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】2分三種情況討論： 當(dāng) 時，如圖作 交 于 ，那么有 即.利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì) 當(dāng) 時，如圖，過 作 于H.那么 ， 當(dāng) 時，那么 .綜上所述，當(dāng) 、 或 時， 為等腰三角形.【例2】在ABC中，ACB=45.點(diǎn)D與點(diǎn)B、C不重合為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.1

4、假如AB=AC.如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2假如ABAC，如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.1中結(jié)論是否成立，為什么?3假設(shè)正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC= ， ，CD= ，求線段CP的長.用含 的式子表示【思路分析1】此題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點(diǎn)靜止，而此題并未給出那個靜止點(diǎn)，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)展傳遞，就可以得解。【解析】：1結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直;證明如下：

5、AB=AC ，ACB=45，ABC=45.由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90，DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABD.BCF=ACB+ACF= 90.即 CFBD.【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。2CFBD.1中結(jié)論成立.理由是：過點(diǎn)A作AGAC交BC于點(diǎn)G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45BCF=ACB+ACF= 90. 即CFBD【思路分析3】這一問有點(diǎn)棘手，D在BC之間運(yùn)動和它在BC延長線上運(yùn)動時的位置

6、是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.3過點(diǎn)A作AQBC交CB的延長線于點(diǎn)Q，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動時，BCA=45，可求出AQ= CQ=4. DQ=4-x，易證AQDDCP， ， ，點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動時，BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x.過A作 交CB延長線于點(diǎn)G，那么 . CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】如圖，在梯形 中， 點(diǎn) 是 的中點(diǎn)， 是等邊三角形.1求證：梯形 是等腰梯形;2動點(diǎn) 、 分別在線段 和 上運(yùn)動，且 保持不變.設(shè) 求 與 的函數(shù)關(guān)系式;3在2中，當(dāng) 取最

7、小值時，判斷 的形狀，并說明理由.【思路分析1】此題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點(diǎn)問題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動過程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60，這個度數(shù)的意義在哪里?其實(shí)就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)絡(luò)了起來.因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢? 當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】1證明： 是等邊三角形 是 中點(diǎn)2解：在等邊 中，這個角度傳遞非常重要,大家要仔細(xì)揣摩設(shè)元以后得出比例關(guān)

8、系,輕松化成二次函數(shù)的樣子【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動點(diǎn)靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了給定PC=2，求PQC形狀的問題了。由的BC=4，自然看出P是中點(diǎn)，于是問題輕松求解。3解： 為直角三角形當(dāng) 取最小值時，是 的中點(diǎn)， 而以上三類題目都是動點(diǎn)問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動點(diǎn)挪動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。假如沒有特殊條件，那么就需要研究在動點(diǎn)挪動中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動的不是點(diǎn)，而是一些詳細(xì)的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.【例4】正方形 中， 為

9、對角線 上一點(diǎn)，過 點(diǎn)作 交 于 ，連接 ， 為 中點(diǎn)，連接 .1直接寫出線段 與 的數(shù)量關(guān)系;2將圖1中 繞 點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) ，如圖2所示，取 中點(diǎn) ，連接 ，.你在1中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜測并加以證明.3將圖1中 繞 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問1中的結(jié)論是否仍然成立?不要求證明【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關(guān)系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉(zhuǎn)45之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，此題的核心條件就是G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往意味著一大票的全等

10、關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點(diǎn)所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點(diǎn)做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。121中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即 .證明：連接 ，過 點(diǎn)作 于 ，與 的延長線交于 點(diǎn).在 與 中，在 與 中，在矩形 中，在 與 中，【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，假如BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢?假如題目要求證明，應(yīng)該如何考慮。建議

11、有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的仍然是G點(diǎn)是FD的中點(diǎn)?？梢匝娱L一倍EG到H，從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想方法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。31中的結(jié)論仍然成立.【例5】正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)E是射線BC上的一個動點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，將ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B 處.1當(dāng) =1 時，CF=_cm，2當(dāng) =2 時，求sinDAB 的值;3當(dāng) = x 時點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合，請寫出ABE翻折后與正

12、方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，只要寫出結(jié)論，不要解題過程.【思路分析】動態(tài)問題未必只有點(diǎn)的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折就是軸對稱也是一大熱點(diǎn)。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，此題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。【解析】1CF= 6 c

13、m; 延長之后一眼看出，EAZY2 如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，延長AB交DC于點(diǎn)M， ABCF， ABEFCE， . =2， CF=3. ABCF，BAE=F.又BAE=B AE， B AE=F. MA=MF.設(shè)MA=MF=k，那么MC=k -3，DM=9-k.在RtADM中，由勾股定理得：k2=9-k2+62， 解得 k=MA= . DM= .設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方法sinDAB如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時，延長AD交B E于點(diǎn)N，同可得NA=NE.設(shè)NA=NE=m，那么B N=12-m.在RtAB N中，由勾股定理，得m2=12-m2+62， 解得 m=AN= . B N= .

14、sinDAB= .3當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，y= ;所求A B E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時，y= .【總結(jié)】 通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當(dāng)中點(diǎn)動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因?yàn)闊o論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成假設(shè)干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動的，哪些量是不動的。針對運(yùn)動的量，要分析它

15、是如何運(yùn)動的，運(yùn)動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫出圖形，進(jìn)展分析，尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關(guān)系。假如沒有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。第二部分 發(fā)散考慮【考慮1】：如圖1，射線 射線 ， 是它們的公垂線，點(diǎn) 、 分別在 、 上運(yùn)動點(diǎn) 與點(diǎn)

16、 不重合、點(diǎn) 與點(diǎn) 不重合， 是 邊上的動點(diǎn)點(diǎn) 與 、 不重合，在運(yùn)動過程中始終保持 ，且 .1求證： ;2如圖2，當(dāng)點(diǎn) 為 邊的中點(diǎn)時，求證： ;3設(shè) ，請?zhí)骄浚?的周長是否與 值有關(guān)?假設(shè)有關(guān)，請用含有 的代數(shù)式表示 的周長;假設(shè)無關(guān)，請說明理由.【思路分析】此題動點(diǎn)較多，并且是以和的形式給出長度?？紤]較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，假如是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，假如是一個定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了?！究紤]2】 ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動

17、點(diǎn)，BP=BA，假設(shè) PBC，且PBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB=DA，1當(dāng)BP與BA重合時如圖1，BPD=2當(dāng)BP在ABC的內(nèi)部時如圖2，求BPD的度數(shù);3當(dāng)BP在ABC的外部時，請你直接寫出BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形.【思路分析】此題中，和動點(diǎn)P相關(guān)的動量有PBC，以及D點(diǎn)的位置，但是不動的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實(shí)上，P點(diǎn)的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點(diǎn)是什么呢?留給大家考慮一下【考慮3】如圖：，四邊形ABCD中，AD/BC， DCBC，AB=5，BC=6，cosB= .點(diǎn)O為BC邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)OD

18、，以O(shè)為圓心，BO為半徑的O分別交邊AB于點(diǎn)P，交線段OD于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN.1當(dāng)BO=AD時，求BP的長;2點(diǎn)O運(yùn)動的過程中，是否存在BP=MN的情況?假設(shè)存在，懇求出當(dāng)BO為多長時BP=MN;假設(shè)不存在，請說明理由;3在點(diǎn)O運(yùn)動的過程中，以點(diǎn)C為圓心，CN為半徑作C，請直接寫出當(dāng)C存在時，O與C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的C半徑CN的取值范圍?！舅悸贩治觥窟@道題和其他題目不同點(diǎn)在于此題牽扯到了有關(guān)圓的動點(diǎn)問題。在和圓有關(guān)的問題當(dāng)中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態(tài)條件。此題第一問比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問那么需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP，從而討論

19、他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜測一定要記得分類分情況討論。【考慮4】在 中，過點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn) 得到線段EF如圖11在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)P1不與C重合時，連結(jié)EP1繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn) 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明;當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)時，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E 逆時針旋轉(zhuǎn) 得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.2假設(shè)AD=6,tanB= ,AE=1,在的條件下，設(shè)CP1= ，S = ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 的取值范圍.【思路

20、分析】此題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點(diǎn)動線一起考出來，難倒了不少同學(xué)。事實(shí)上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn)90的條件。旋轉(zhuǎn)90自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實(shí)際過程中很多同學(xué)仍然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。第三部分 考慮題解析【考慮1解析】1證明： ， . .又 ， .2證明：如圖，過點(diǎn) 作 ，交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)，容易證明 .在 中， ， .3解： 的周長 ， .設(shè) ，那么 . ， .即 .由1知 ，的

21、周長 的周長 .的周長與 值無關(guān).【考慮2答案】解：1BPD= 302如圖8，連結(jié)CD.解一： 點(diǎn)D在PBC的平分線上，2. ABC是等邊三角形，BA=BC=AC，ACB= 60. BP=BA，BP=BC. BD= BD，PBDCBD.BPD=3.- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCDACD.BPD =30.解二： ABC是等邊三角形，BA =BC=AC. DB=DA，CD垂直平分AB. BP=BA，BP=BC. 點(diǎn)D在PBC的平分線上，PBD與CBD關(guān)于BD所在直線對稱.BPD=3.BPD =30.3BPD= 30或 150 .圖形見圖9、圖10.【考慮3解析】解：1過點(diǎn)A作AEBC,在RtABE中，由AB=5，cosB= 得BE=3.CDBC，AD/BC，BC=6，AD=EC=BC-BE=3.當(dāng)BO=AD=3時， 在O中，過點(diǎn)O作OHAB,那么BH=HP ,BH= .BP= .2不存