洛必達法則解決問題

1、洛必達法則簡介:法則1若函數f(x)和g(x)滿足下列條件：(2)在點a的去心鄰域內，f(x) 與g(x) "mf(x)=0 及 limg(x)=0；可導且g'(x) wo；那么limUx)=limf-=l。xagxx，agx法則2若函數f(x)和g(x)滿足下列條件: lmf(x) = 0 及l(fā)img(x)=0；(2)/>0,f(x)和g(x)在(Q,A)與(A,")上可導，且g'(x)wo；(3)limf-l,那么limfx-LlimfW。xfgxxgxxfgx法則3若函數f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)limf(x)=°o及l(fā)im

2、gfx)=°o；xax)a limf-=l ,x a g x(2)在1-a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g'(x)wo；那么lim"x-)=lim-兇二l。x百gxx汨gx利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意:+將上面公式中的 x-a , x一0°換成 x一+00 00洛必達法則可處理 0, 一，0，,0(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條彳 適用，應從另外途徑求極限。,x-8,xta,xta洛必達法則也成立。00iDO,0,00一0°型。0000，1，08,1，

3、g,0,88型定式，否W,就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不(4若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二.高考題處理1.(2010年全國新課標理)設函數f(x)=ex-1一x-ax2。(1) 若a=0,求f(x)的單調區(qū)間;(2) 若當x圭0時f(x)主0,求a的取值范圍x.x原解：(1)a=0時，f(x)=e-1-x,f'(x)=e-1.當xW(q,0)時，f'(x)<0;當xW(0,")時，f'(x)>0.故f(x)在(3,0)單調減少，在(0,)單調增加(II)f'(x)=ex12ax由(I)知ex21+x,當且

4、僅當x=0時等號成立.故f'(x)2x-2ax=(1-2a)x,1,.一.從而當12a之0,即aE時，f'(x)之0(x之0),而f(0)=0,2于是當x±0時，f(x)20.x.x.1.由e>1十x(x#0)可得e>1x(x#0).從而當a>一時，2f'(x)<ex-1+2a(e-1)=e、(ex-1)(ex-2a),故當x0,ln2a)時，f'(x)<0,而f(0)=0,于是當xW(0,ln2a)時，f(x)<0.巾1綜合得a的取值范圍為,12原解在處理第(II)時較難想到，現利用洛必達法則處理如下：另解：(II

5、)當x=0時，f(x)=0,對任意實數a均在f(x)±0;xx-1當xA0時，f(x)之0等價于a<e-2xxx T令 g (x )=e-2(x>0),則 g (x)=xxex - 2ex x 2x x,令 h(x)=xe -2q +x + 2(x>0),xx.x則h(x)=xe-g+1,h(x)=xe>0,知h'(x)在(0,z)上為增函數，h'(x)>h'(0)=0;知h(x)在(0,收)上為增函數，h(x)>h(0)=0；，g'(x)>0,g(x)在(0,收)上為增函數。xxx由洛必達法則知，lime-2

6、=limex=iime=:x0xx02xx022綜上，知a的取值范圍為I-a,1I,22. (2011年全國新課標理)已知函數，曲線y = f (x)在點(1,f(1)處的切線方程為 x + 2y 3=0。求a、b的值;如果當x >0,且x #1時，f (x)>Jnx+k,求卜的取值范圍。x -1 x原解:I ) f '(x)=J 1-(-ln x) x b(x 1)2由于直線x+2y3 = 0的斜率為2'f(1)=1,且過點(1,1),故，1即f'(1)=-2,b =1,解得 a =1 , b = 1。知 f (x)=f(x)-(In xx -1"

7、;21nx考慮函數(k -1)(x2 -1)h(x) =2ln x +- (x > 0),則 h'(x)=2_(k -1)(x1) 2x(i)設 k W0 ,由 h'(x)=22k(x 1)-(x -1)知，當x"1 時，h'(x) <0, h (x)遞減。而 h(1)= 0故當 xW(0,1)時,一、c口 11，、 ch(x) >0 ,可得2h(x) >0;1 -x當 xW (1+ °°)時，h (x) <0,可得1 - x2h (x) >0從而當x>0,且x#1時，f(x)-(1nx+)>

8、0,即f(x)>1nx+x-1xx-1x1t x2 （k -1）x2 +2x + k1的圖像開口向下，且(ii)設0<k<1.由于(k-1)X2 =4 4(k -1)2 >0,對稱軸 x= >11 -k當 xW (1,)時，(k-1) (x2+1 ) +2x>0,故 h'1 -k(x) >0,而h （1） =0,故當x三（1,1,)時，h1 -k一 1(x) >0 ,可得 h (x) <0,與題設矛盾。1 -x2(iii)設 k2l.此日x2 +1>2x,一 2'一(k -1)(x +1)+2x>0n h (x)

9、 >0,而 h (1)=0,故當xW (1,+如）時，h （x） >0,可得11 -x2h （x） <0,與題設矛盾。綜合得，k的取值范圍為（ 原解在處理第（II）時非常難想到,-s , 0現利用洛必達法則處理如下:2xln x另解：（II）由題設可得，當 x0,x=1時，k<2-+1恒成立。1 一 x2x ln x令 g (x)=2- 1(x 0, x =1)，則 g x )=21 -x2. .2.x 1 ln x - x 12 21-x2再 令 h(x ) = (x2+1 )n xx2+1 ( x>0,x#1 )則 hx= 21.1 一 h (x )=2ln x +1,易知 h (x)= 2ln x+1 -在(0,收)±為增函數，且h"（1）=0；故當xW(0,1)時，h"(x)<0,當 x£ (1, +8)時，h”(x)A0；二h'（x ）在（0,1）上為減函數，在（1,2 廿為增函數;故 h x > h 1 =0二h（x ）在（0,收）上為增函數,* h（1）=0二當 xW(0,1)時，h(x )<0,當 xW (1, +°0)時,，當 xW(0,1)時，g'(x)<0,當 x (1, +8)時,二g （x游（0,1 ）上為減函數，在（1, ）上為增