行列式典型例題

1、.1第五節(jié) 典型例題 n階行列式的計算是學習線性代數(shù)的基礎，階行列式的計算是學習線性代數(shù)的基礎，在以后的各章中都要用到它。這里主要應該掌在以后的各章中都要用到它。這里主要應該掌握的基本方法是：握的基本方法是：1. 用用n階行列式的性質(zhì)把一般行列式化成階行列式的性質(zhì)把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）來計算。特殊行列式（如上三角行列式等）來計算。2. 用用n階行列式的展開定理，把行列式按階行列式的展開定理，把行列式按某一行（列）展開，即化高階行列式為低某一行（列）展開，即化高階行列式為低階行列式來計算。階行列式來計算。(Laplace定理定理)3. 其他方法：對于具有特殊形式的行列式，

2、其他方法：對于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：遞推、歸納、加邊等有一些特殊的方法：遞推、歸納、加邊等.2 證明證明用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法21211aaD 12aa , )(21ijjiaa）式式成成立立時時（當當12 n證明范得蒙證明范得蒙(Vandermonde)行列式行列式例例1nijjinnnnaaaaaaaaaaaVnnn1212121)(111111222(1).3階范德蒙行列式成立，1）對對1假設設n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaVnnnnnnnnn就有提出，因子列展開，并

3、把每列的公按第)(11aai.4)()()(211312jnijinnaaaaaaaaV).(1jnijiaa 223223211312111)()(nnnnnnaaaaaaaaaaaa n-1階范德蒙行列式階范德蒙行列式注意注意：范德蒙行列式是等于零：范德蒙行列式是等于零a1, a2, , an中至中至少有兩元素相等少有兩元素相等.5例例2計算計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據(jù)范德利用范德蒙行列式計算行列式，應根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。.1112223

4、33222nnnVnnnn.6，于于是是得得到到增增至至冪冪次次數(shù)數(shù)便便從從則則方方若若提提取取各各行行的的公公因因子子，遞遞升升至至而而是是由由變變到到序序排排列列，但但不不是是從從次次數(shù)數(shù)自自左左至至右右按按遞遞升升次次方方冪冪數(shù)數(shù)的的不不同同方方冪冪中中各各行行元元素素分分別別是是一一個個10.1, 10, nnnDn解解.!1212121333122211111nnnVnnnnn.7上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1nnn

5、nnnnnnVnijjinaa.8nnnnnxaaaaxaaaaxaaaaxD321321321321例例3計算計算n階行列式階行列式加邊法加邊法：行列式的每行或每列除對角線上元素：行列式的每行或每列除對角線上元素外分別是某個數(shù)的倍數(shù)外分別是某個數(shù)的倍數(shù).9)(321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxnnnnnD) 1(00001321321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxaaaannnnn .10) 1(00010001000100011332211321naxaxaxaxaaaannn 這種形式的行列式簡稱這種形式的行列式簡稱“兩邊加一對角線兩邊加一對

6、角線”行列式，它必可利用行列式性質(zhì)化為三角形行行列式，它必可利用行列式性質(zhì)化為三角形行列式而求得其值，所以列式而求得其值，所以.11) 1(100010100100101000111333222111nxaaxaaxaaxaaDnnnn.12) 1(100000100000100000101)(33322211111nxaaxaaxaaxaaxaaxannnniiiiniii)1 () 1( )(11niiiinniiixaaxa)1 ( )(11niiiiniiiaxaax.13例例4xaaaaxaaaaxaaaaxDn計算計算n階行列式階行列式.14解解將左上角的將左上角的x改寫為改寫為(

7、x a)a，第一列的，第一列的( a)均均改寫為改寫為0( a)，于是第一列各元素均為兩項，于是第一列各元素均為兩項之和，于是之和，于是xaaaaaaxaaaaxaaaxaaaxaaaaxDn000 11)()(nnnaxaDaxD即即（1）.15利用類似的方法，可得利用類似的方法，可得xaaaxaaaaxaaxaaaxDn0011)()(nnaxaDax（2）故從式故從式（1）與與（2）中可以消去中可以消去Dn-1)()(21nnnaxaxD.16xaaaaxaaaaxaaaaxDn例例5計算計算n階行列式階行列式.17解法解法1化為三角行列式化為三角行列式 此題的特點與此題的特點與2例例6

8、相同相同. 把各行都把各行都加到第一行上，然后提出公因式加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得得xaaaaxaaaaxaanxDn1111) 1( (-a)(-a)(-a).18axaxanx0000111) 1(1)() 1(naxanx.19解法解法2化為兩邊加一對角線行列式化為兩邊加一對角線行列式xaaaaxaaaaxaaaaxDn(-1)(-1)(-1) .20axxaaxxaaxxaaaax000000.211)() 1(naxanxaxaxaxaaaanx000000000) 1(.22加邊法加邊法將將Dn添加一行、一列，構(gòu)成添加一行、一列，構(gòu)成n+1階行列式。階行列式。

9、xaaaxaaaxaaaDDnn00011解法解法3 (-1)(-1)(-1).23把行列式的第把行列式的第2、3、n+1列分列分別提出公因子別提出公因子x-a，得，得axaxaxaaa00100100111010111axaaxa.241000010000101)(axaaxaaxaaxnaaxn1)() 1(naxanx.25解法解法4遞推法遞推法 將將Dn的第一列元素都寫成兩個元素之和，然的第一列元素都寫成兩個元素之和，然后將后將Dn拆成兩個拆成兩個n階行列式的和，再利用遞推關(guān)系階行列式的和，再利用遞推關(guān)系xaaaxaaaaaxDn00)(.26xaaaxaaaaaaaxaaax0011

10、)()(nnaxaDax122)()()(nnnaxaaxaDaxax122)(2)(nnaxaDax1)1(1)() 1()(nnnnaxanDax) 1()(11anDaxn1)() 1(naxanx.27例例6 計算行列式計算行列式21001200012100012100012nD.28解：此類型行列式稱為三對角線型，常采用方法是將解：此類型行列式稱為三對角線型，常采用方法是將兩條次對角線中某一條上元素全化為零或遞推法兩條次對角線中某一條上元素全化為零或遞推法.21001200012100012100012nD)21(.2921001200012100012/3000012)32(.3021001200013/4000012/3000012=.31nnnn/ ) 1(0001/ ) 1(00013/4000012/3000012=n+1.32例例7用行列式定義計算用行列式定義計算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD .33的非零元素分別得到的非零元素分別得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分別為行的元素分別為中第中第設設5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3