運(yùn)算方法和運(yùn)算器

1、第二章 運(yùn)算方法和運(yùn)算器學(xué)習(xí)重點(diǎn)l 數(shù)據(jù)與文字的表示l 定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算l 定點(diǎn)運(yùn)算器的組成l 浮點(diǎn)運(yùn)算的步驟2.1 數(shù)據(jù)與文字的表示方法 數(shù)據(jù)格式計(jì)算機(jī)中使用的數(shù)據(jù)可分成兩大類：數(shù)值數(shù)據(jù):數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的表示（定點(diǎn)、浮點(diǎn)）符號(hào)數(shù)據(jù):非數(shù)字符號(hào)的表示（ASCII、漢字、圖形等）數(shù)值數(shù)據(jù)的表示格式有定點(diǎn)數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)兩種1.定點(diǎn)數(shù)的表示方法小數(shù)點(diǎn)的位置固定不變，通常表示成純小數(shù)或純整數(shù)。用n+1位字表示定點(diǎn)數(shù) X, x= xnxn-1xn-2x1x0純小數(shù)時(shí)表示范圍：0X1-2-n純整數(shù)時(shí)表示范圍：0X2n-12.浮點(diǎn)數(shù)的表示方法 任意進(jìn)制數(shù)N表示：N=ReM M為尾數(shù)，數(shù)的精度； e為指數(shù)(整數(shù))，數(shù)

2、的范圍； R為基數(shù)，二進(jìn)制為2,十進(jìn)制為10； 浮點(diǎn)數(shù)由階碼、尾數(shù)及其符號(hào)位組成。規(guī)格化：若不對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的表示作出明確規(guī)定，同一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的表示就不是惟一的。例如:0.010100102110.00101001021000.1010010210IEEE754標(biāo)準(zhǔn)(規(guī)定了浮點(diǎn)數(shù)的表示格式,運(yùn)算規(guī)則等)規(guī)則規(guī)定了32位和64位兩種基本格式規(guī)則中,尾數(shù)用原碼,指數(shù)用移碼(便于對(duì)階和比較)，基數(shù)為2尾數(shù)域的最高有效位為1，稱為浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化表示。32位的浮點(diǎn)數(shù)S數(shù)的符號(hào)位，1位，在最高位，“0”表示正數(shù)，“1”表示負(fù)數(shù)。E是階碼，8位，采用移碼表示。移碼比較大小方便。M是尾數(shù)，23位，在低位部分，采用純小

3、數(shù)表示。規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)域最左位(最高有效位)總是1， 故這一位經(jīng)常不予存儲(chǔ)，而認(rèn)為隱藏在小數(shù)點(diǎn)的左邊(1.M) 。采用這種方式時(shí)，將浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)真值e變成階碼E時(shí)，應(yīng)將指數(shù)e加上一個(gè)固定的偏移值127(01111111)，即E=e+127。一個(gè)規(guī)格化的32位浮點(diǎn)數(shù)x的真值表示為x=(-1)S(1.M)2E-127設(shè)e=E-127x=(-1)S(1.M)2e例1若浮點(diǎn)數(shù)x的754標(biāo)準(zhǔn)存儲(chǔ)格式為(41360000)16，求其浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制數(shù)值。解：將16進(jìn)制數(shù)展開后，可得二制數(shù)格式為0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000S 階碼(8位) 尾數(shù)(23位)指

4、數(shù)e=階碼E-127=10000010-01111111=00000011=(3)10包括隱藏位1的尾數(shù)M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011于是有x=(-1)S1.M2e=+(1.011011)23=+1011.011=(11.375)10例2將數(shù)(20.59375)10轉(zhuǎn)換成754標(biāo)準(zhǔn)的32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式。解:首先分別將整數(shù)和小數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)： 20.59375=10100.10011然后移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，使其在第1，2位之間 10100.10011=1.01001001124e=4于是得到： E=e+127=4+127=131S=0,

5、 E=131=10000011, M=010010011最后得到32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為：41A4C000)16真值x為零表示：當(dāng)階碼E為全0且尾數(shù)M也為全0時(shí)的值，結(jié)合符號(hào)位S為0或1，有正零和負(fù)零之分。真值x為無(wú)窮大表示：當(dāng)階碼E為全1且尾數(shù)M為全0時(shí)，結(jié)合符號(hào)位S為0或1，也有+和-之分。這樣在32位浮點(diǎn)數(shù)表示中，要除去E用全0和全1（255）表示零和無(wú)窮大的特殊情況，對(duì)于規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)，E的范圍變?yōu)?到254，因?yàn)镋=e+127，所以真正的指數(shù)值e則為-126到+127。因此32位浮點(diǎn)數(shù)表示的絕對(duì)值的范圍是10-381038（以10的冪表示）。64位的浮點(diǎn)數(shù)中符號(hào)位1位，階碼域11

6、位，尾數(shù)域52位，指數(shù)偏移值是1023。因此規(guī)格化的64位浮點(diǎn)數(shù)x的真值為：x=(-1)S(1.M)2E-1023 e=E-1023浮點(diǎn)數(shù)所表示的范圍遠(yuǎn)比定點(diǎn)數(shù)大。一臺(tái)計(jì)算機(jī)中究竟采用定點(diǎn)表示還是浮點(diǎn)表示，要根據(jù)計(jì)算機(jī)的使用條件來(lái)確定。一般在高檔微機(jī)以上的計(jì)算機(jī)中同時(shí)采用定點(diǎn)、浮點(diǎn)表示，由使用者進(jìn)行選擇。而單片機(jī)中多采用定點(diǎn)表示。機(jī)器碼:機(jī)器中表示的數(shù), 要解決在計(jì)算機(jī)內(nèi)部數(shù)的正、負(fù)符號(hào)和小數(shù)點(diǎn)運(yùn)算問(wèn)題。原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼例7將十進(jìn)制真值(127,1,0,1,127)列表表示成二進(jìn)制數(shù)及原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼值。例8設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)16位,定點(diǎn)表示,尾數(shù)15位,數(shù)符1位,問(wèn)：(1)定點(diǎn)原碼整數(shù)表

7、示時(shí),最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?(2)定點(diǎn)原碼小數(shù)表示時(shí),最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?定點(diǎn)原碼整數(shù)表示最大正數(shù)值(215-1)10(32767)10最小負(fù)數(shù)值(215-1)10(32767)10定點(diǎn)原碼小數(shù)表示 最大正數(shù)值(1-2-15)10(0.111.11)2最小負(fù)數(shù)值(1-2-15)10(0.111.11)2數(shù)字編碼輸入的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)重碼,且輸入碼與內(nèi)部編碼的轉(zhuǎn)換比較方便,缺點(diǎn)是代碼難以記憶。拼音碼是以漢字拼音為基礎(chǔ)的輸入方法。使用簡(jiǎn)單方便，但漢字同音字太多,輸入重碼率很高,同音字選擇影響了輸入速度。 為了加快輸入速度,在上述方法基礎(chǔ)上,發(fā)展了詞組輸入、聯(lián)想輸入等多種快速輸入方法。

8、更理想的輸入方式是利用語(yǔ)音或圖象識(shí)別技術(shù)“自動(dòng)”將拼音或文本輸入到計(jì)算機(jī)內(nèi),并將其自動(dòng)轉(zhuǎn)換為機(jī)內(nèi)代碼表示。目前這種理想已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí)，如語(yǔ)音輸入、手寫輸入、OCR等。 漢字內(nèi)碼漢字內(nèi)碼是用于漢字信息的存儲(chǔ)、交換、檢索等操作的機(jī)內(nèi)代碼,一般采用兩個(gè)字節(jié)表示。漢字機(jī)內(nèi)代碼中兩個(gè)字節(jié)的最高位均規(guī)定為“1”。（一級(jí)漢字3755個(gè)，二級(jí)漢字3008個(gè)） 注意：有些系統(tǒng)中字節(jié)的最高位用于奇偶校驗(yàn)，此情況下用三個(gè)字節(jié)表示漢字內(nèi)碼。 校驗(yàn)碼校驗(yàn)碼（只介紹奇偶校驗(yàn)碼）引入：信息傳輸和處理過(guò)程中受到干擾和故障，容易出錯(cuò)。解決方法：是在有效信息中加入一些冗余信息（校驗(yàn)位）奇偶校驗(yàn)位定義缺點(diǎn)其它校驗(yàn)方法還有Hammin

9、g，CRC2.2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算 補(bǔ)碼加減法補(bǔ)碼加法公式：x+y補(bǔ)=x補(bǔ)+y補(bǔ)補(bǔ)碼減法公式：x-y補(bǔ)=x補(bǔ)+-y補(bǔ)該公式將減法轉(zhuǎn)變?yōu)榧臃ㄈ绾吻?y補(bǔ)?y=0.0111 y補(bǔ)=0.0111-y補(bǔ)=1.1001例: x=-0.1011,y=0.0111,求x+y=?解: x補(bǔ)=1.0101 y補(bǔ)=0.0111x+y補(bǔ)=x補(bǔ)+y補(bǔ) =1.0101+0.0111=1.1100x+y=-0.0100例: x=0.11011,y=-0.11111,求x-y=?解: x補(bǔ)=0.11011 y補(bǔ)=1.00001 -y補(bǔ)=0.11111x-y補(bǔ)=x補(bǔ)+-y補(bǔ)=1.11010課堂練習(xí)例: x0.1011, y0

10、.1001,求x+y補(bǔ)=?例: x0.1101,y0.1011,求x+y 補(bǔ)=? 溢出的檢測(cè)可能產(chǎn)生溢出的情況兩正數(shù)加，變負(fù)數(shù)，上溢（大于機(jī)器所能表示的最大數(shù)）兩負(fù)數(shù)加，變正數(shù)，下溢（小于機(jī)器所能表示的最小數(shù)）雙符號(hào)位法（參與加減運(yùn)算的數(shù)采用變形補(bǔ)碼表示）Sf1 Sf20 0正確（正數(shù)）01上溢10下溢11正確（負(fù)數(shù)）Sf1和Sf2相同表示正確的符號(hào)，邏輯表達(dá)式為V=Sf1Sf2,可以用異或門來(lái)實(shí)現(xiàn)單符號(hào)位法Cf C000正確01上溢10下溢11正確V=CfC0 其中Cf為符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位,C0為最高有效位產(chǎn)生檢驗(yàn)舉例：0.1100, 0.1000,求 0.1100, 0.1000,求 結(jié)果出

11、現(xiàn)了01或10的情況就為溢出基本的加法和減法器基本的加法和減法器全加器半加器全加器考慮低位進(jìn)位Ci和向高位的進(jìn)位Ci+1半加器不考慮低位進(jìn)位圖2.3行波進(jìn)位的補(bǔ)碼加法減法器2.3 定點(diǎn)乘法運(yùn)算乘法實(shí)現(xiàn)方法l 在現(xiàn)有的加法和減法器的基礎(chǔ)上增加適當(dāng)?shù)木€路及控制邏輯可以實(shí)現(xiàn)l 用LSI和VLSI工藝實(shí)現(xiàn)專用的乘法器 LSI (Large-scale integration大規(guī)模集成電路)l 編制子程序(單片機(jī)等低端機(jī)器) 原碼并行乘法人工算法與機(jī)器算法的同異性 由加法器完成乘法運(yùn)算需要如下改進(jìn)n n位乘n位積可能為2n位. n 乘積的最后是所有部分積之和，有n個(gè)數(shù)相加，而FA只有兩個(gè)輸入端 方法一：

12、硬件實(shí)現(xiàn)方法(串行的“加法和移位”),硬件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,速度太慢(已經(jīng)淘汰). 方法二：不帶符號(hào)位的陣列乘法器要實(shí)現(xiàn)n位n位時(shí),需要n(n1)個(gè)全加器和n2個(gè)“與”門。 圖2.4 mn位不帶符號(hào)的陣列乘法器邏輯圖帶符號(hào)位的陣列乘法器計(jì)算機(jī)中定點(diǎn)數(shù)通常用補(bǔ)碼表示，而前面介紹的不帶符號(hào)陣列乘法器是用原碼計(jì)算乘法的，為了能進(jìn)行補(bǔ)碼乘法，需要在計(jì)算乘法之前和之后增加求補(bǔ)電路。原理：算前求補(bǔ)乘法器算后求補(bǔ)求補(bǔ)電路工作特點(diǎn)E=0時(shí)，輸入和輸出相等E=1時(shí)，則從數(shù)最右端往左邊掃描，直到第一個(gè)1的時(shí)候，該位和右邊各位保持不變0A=A，左邊各數(shù)值位按位取反1A=A例17 設(shè)15,13,用帶求補(bǔ)器的原碼陣列乘法器求出

13、乘積？解: 設(shè)最高位為符號(hào)位,則輸入數(shù)據(jù)為原 01111 原 11101 符號(hào)位單獨(dú)考慮,算前求補(bǔ)級(jí)后 |1111,|1101 算后經(jīng)求補(bǔ)級(jí)輸出并加上乘積符號(hào)位1,則原碼乘積值為111000011。換算成二進(jìn)制數(shù)真值是 (11000011)2=(-195)10十進(jìn)制數(shù)驗(yàn)證：15(13)195相等。2.4定點(diǎn)運(yùn)算器的組成2.4.1 多功能算術(shù)/邏輯運(yùn)算單元(ALU)一位全加器(FA)的邏輯表達(dá)式為FiXiYiCn+i (2.30) Cn+i+1XiYiYiCn+iCn+iXi4位ALU圖2.10ALU的邏輯結(jié)構(gòu)原理框圖問(wèn)題：片內(nèi)是串行進(jìn)位還是并行進(jìn)位？4位之間采用先行進(jìn)位公式,根據(jù)式（2.30）

14、,每一位的進(jìn)位公式可遞推如下：第0位向第1位的進(jìn)位公式為 Cn1Y0X0Cn其中Cn是向第0位（末位）的進(jìn)位。第1位向第2位的進(jìn)位公式為 Cn2Y1X1Cn1 Y1Y0X1X0X1Cn第2位向第3位的進(jìn)位公式為 Cn3Y2X2Cn2 Y2Y1X1Y0X1X2X0X1X2Cn第3位的進(jìn)位輸出（即整個(gè)4位運(yùn)算進(jìn)位輸出）公式為Cn4Y3X3Cn3Y3Y2X3Y1X2X3Y0X1X2X3X0X1X2X3Cn設(shè)GY3Y2X3Y1X2X3Y0X1X2X3PX0X1X2X3 則 Cn4GPCn 這樣,對(duì)一片ALU來(lái)說(shuō),可有三個(gè)進(jìn)位輸出。其中G稱為進(jìn)位發(fā)生輸出,P稱為進(jìn)位傳送輸出。在電路中多加這兩個(gè)進(jìn)位輸出的

15、目的,是為了便于實(shí)現(xiàn)多片（組）ALU之間的先行進(jìn)位,為此還需一個(gè)配合電路,稱之為先行進(jìn)位發(fā)生器(CLA)74181ALU邏輯電路圖（總體）74181ALU邏輯電路圖（總體）表2.5 74181ALU算術(shù)/邏輯運(yùn)算功能表設(shè)計(jì)16位ALUCn+4=G0+P0CnCn+8=G1+P1Cn+4Cn+12=G2+P2Cn+8Cn+16=G3+P3Cn+12片內(nèi)先行進(jìn)位,片間串行進(jìn)位Cn+4=G0+P0Cn Cn+8=G1+P1Cn+4=G1+G0P1+P0P1CnCn+12=G2+P2Cn+8=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2Cn Cn+16=G3+P3Cn+12=G3+G2P3+G1P2P3+G0P1P2P3+P0P1P2P3Cn=G*+P*CnG*為成組先行進(jìn)位發(fā)生輸出P*為成組先行進(jìn)位傳送輸出成組先行進(jìn)位部件CLA的邏輯圖16位先行進(jìn)位ALU圖2.13用兩個(gè)16位全先行進(jìn)位部件級(jí)聯(lián)組成的32位ALU三態(tài)門組成的雙向數(shù)據(jù)總線2.5浮點(diǎn)