函數(shù)的最大值與最小值(二)

1、課題：3. 8函數(shù)的最大值與最小值二教學(xué)目的：1. 進(jìn)一步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法；2初步會解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題+教學(xué)重點(diǎn)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題. 教學(xué)難點(diǎn)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題. 授課類型：新授課.課時安排：1課時教 具：多媒體、實(shí)物投影儀*教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0附近有定義，如果對 X0附近的所有 的點(diǎn)，都有f(x) V f(X 0),就說f(xo)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作 y極大值 =f(x 0), xo是極大值點(diǎn)"2. 極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在xo附近有定義，如果對 xo

2、附近的所有的 點(diǎn)，都有f(x) > f(x o).就說f(xo)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x o), xo 是極小值點(diǎn)+3. 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值-4. 判別f(xo)是極大、極小值的方法：假設(shè)X。滿足f (Xo)o，且在Xo的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號，那么X。是f(x)的極值點(diǎn)，f(Xo)是極值，并且如果 f(X)在Xo兩側(cè)滿足“左正右負(fù)，那么xo是f (x)的極大值點(diǎn)，f (xo)是極大值；如果f(X)在xo兩側(cè)滿足“左負(fù)右正"，那么x是f (x)的極小值點(diǎn)，f (xo )是極小值+5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)

3、f'(X)+(2)求方程f' (x)=o的根用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為o的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成假設(shè)干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f' (X)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，那么f(x)在這個根處無極值6. 函數(shù)的最大值和最小值：在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù) f (x)在a,b上必直函數(shù)的最值是比較整個定義域的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，是f (x)在閉區(qū)間a,b上有最大值與最小值的充分條件而非必要

4、條件(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上 的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個*7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟 ：求f (x)在(a, b)的極值；將f (x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在a,b上的最值.+、講解例:例1在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊 沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的 容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長為 xcm,那么箱高h(yuǎn) 60_ cm,得箱子容積2V(x)x2h60x23 x(0 x 60) 2V (x)60x3x22 (0x60)令V (x)60x3

5、x22=0,解得x=0舍去，x=40,并求得 V(40)=16 000由題意可知，當(dāng) x過小接近0或過大接近 60時，箱子容積很小,因此，16 000是最大值一答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為 xcm,那么箱底長為(60-2 x)cm，那么得箱子容積2V(x) (60 2x) x(0 x 30) 后面同解法一，略由題意可知，當(dāng) x過小或過大時箱子容積很I x小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處.事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)V(x) x2h2360x x2曲Ef60-2xT鮒J6060-2x60V(x) (60 2x)2x在各自的定義域中都只有個極值點(diǎn)，從圖象角度理解

6、即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值.例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才 能使所用的材料最省？ 解：設(shè)圓柱的高為 h,底半徑為R,那么外表積S=2n Rh+2n rR2V由V=n Rh,得h 那么 R2V9 2V 9S(R)= 2 n R一2 + 2 n R= +2 n RRR即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個極值，所以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的外表積為定值 取，才能使飲料罐的容積最大？2提示：2Rh+2R2h=S22RRV(R)= SR2 = 1(S

7、 2 R2)R 1SR R32 R222 2 2V'(R) )=0S 6 R26 R22 Rh 2 R2例3某商品生產(chǎn)本錢 C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為 C=100+4q，價格p與產(chǎn)量1q的函數(shù)關(guān)系式為 P 25 -q 求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？8分析：利潤L等于收入R減去本錢C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出利 潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.11 2解：收入 R q p q 25 q 25q q ，881 2 1 2利潤 L R C 25q - q2(100 4q)-q221q 100 (0 q 100)8 81L -q 2141令L 0,即 一q 21 0,求得

8、唯一的極值點(diǎn) q 84.4答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大一三、課堂練習(xí)：1函數(shù)y=2x3 3x2- 12x+5在】0, 3上的最小值是 .2. 函數(shù)f(x)=sin2x x在 ，上的最大值為 ;最小值為 2 23. 將正數(shù)a分成兩局部，使其立方和為最小，這兩局部應(yīng)分成 和_.2 24. 使接橢圓 務(wù) y2=1的矩形面積最大，矩形的長為 ，寬為.a b5. 在半徑為R的圓，作接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽闀r，它的面積最大*答案：1. 15 2. - 3.- a4.、2a、.2b 5.3R2 2 2 2 2四、小結(jié)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系

9、式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點(diǎn)，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比擬相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單五、課后作業(yè)：1. 有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去一樣的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形的邊長應(yīng)為多 少？解：1正方形邊長為x,那么 V= 8- 2x) (5 - 2x)x=2(2x3- 13x2+20x)(0<x< )5V' =4(3x2- 13x+10)(0< x< ),V' =0 得 x=12根據(jù)實(shí)際情況，小盒容積最大是存在的， 當(dāng)x=1時，容積V取最大值為18.600C2. 一條水渠，斷面為等腰梯形，如下列圖，在確定斷 面尺寸時，希望在斷面 ABCD的面積為定值 S時, 使得濕周 匸AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小， 滲透少，求此時的高 h和下底邊長b.=2DE + BC, DE=h,BC=b3解：由梯形面積公式，得1遷(AD + BC)h，其中 ADb)h/ C