第三章力矩與平面力偶理論

1、第三章第三章 力矩與平面力偶理論力矩與平面力偶理論力 矩 的 概 念 與 計 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念3.1oABdF一、力對點的矩的定義一、力對點的矩的定義力使剛體繞力使剛體繞O點轉(zhuǎn)動的強弱點轉(zhuǎn)動的強弱程度的物理量稱為力對程度的物理量稱為力對O點點的矩。用的矩。用)(Fmo表示，其定表示，其定義式為：義式為：FdFmo)(其中：點其中：點O稱為矩心，稱為矩心，d稱為力臂。力矩的正負號表稱為力臂。力矩的正負號表示力矩的轉(zhuǎn)向，規(guī)定力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動取示力矩的轉(zhuǎn)向，規(guī)定力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動取正，反之取負。力矩的單位為：牛頓正，反之取負。力矩的單位為：牛頓米（米（N m）

2、。）。由圖可知：由圖可知：OABFmo)(的面積的面積3.1力 矩 的 概 念 與 計 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念二、平面匯交力系的合力矩定理二、平面匯交力系的合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點的矩等于各個分力對同一點之矩的代一點的矩等于各個分力對同一點之矩的代數(shù)和。即數(shù)和。即)()(iooFmRmoxxyyFXAY 利用合力矩定理，可以利用合力矩定理，可以寫出力對坐標原點的矩的解寫出力對坐標原點的矩的解析表達式，即析表達式，即yXxYXmYmFmooo)()()(3.1力 矩 的 概 念 與 計 算例例1 支架如圖所示，已知

3、AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,30求 對A、B、C三點之矩。FFABCDAdCd解：由定義mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(3.1力 矩 的 概 念 與 計 算例2OxyFA1r2rBd如圖所示，求F對A點的矩。解一：應用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA解二：由定義cos1rOB cos12rrAB12coscosrrABd)c

4、os()(21rrFFdFmA3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的概念一、力偶的概念dFF 在力學中，把等值、在力學中，把等值、反向、平行而不共線的反向、平行而不共線的兩個具有特殊關系的力兩個具有特殊關系的力作為一個整體，稱為力作為一個整體，稱為力偶。以偶。以 表示。表示。),(FF兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，兩力作用線間的距離稱為力偶臂。兩力作用線間的距離稱為力偶臂。 力偶是具有特殊關系的力組成的力系，力偶是具有特殊關系的力組成的力系，雖然力偶中每個力仍具有一般的力的性質(zhì)，雖然力偶中每個力仍具有一般的力的性質(zhì)，但作為一個整體又有它本身的特

5、性，現(xiàn)歸但作為一個整體又有它本身的特性，現(xiàn)歸納如下：納如下：3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的性質(zhì)一、力偶的性質(zhì) 1、力偶既沒有合力，本身又不平衡，是、力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個基本的力學量。一個基本的力學量。 力偶既然是一個無合力的非平衡力系。因此：力偶既然是一個無合力的非平衡力系。因此：力偶不能與一個力等效，也不能與一個力平衡。力偶不能與一個力等效，也不能與一個力平衡。力偶只能與力偶平衡。力偶只能與力偶平衡。 力偶對剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的力偶對剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的大小有關，而且與力偶臂有關，將力偶中力的大大小有關，而且與力偶臂有關，將力偶中力的大小和力偶

6、臂的乘積冠以適當?shù)恼撎柗Q為小和力偶臂的乘積冠以適當?shù)恼撎柗Q為力偶矩力偶矩，用用m表示，即表示，即Fdm正負號表示力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定正負號表示力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定逆時針取正；順時逆時針取正；順時針取負針取負。單位同力矩的單位。單位同力矩的單位。3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的性質(zhì)一、力偶的性質(zhì) 2、只要保持力偶矩不變，力偶可以改變、只要保持力偶矩不變，力偶可以改變力的大小和相應的力偶臂的大小，同時力偶力的大小和相應的力偶臂的大小，同時力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變其對剛可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變其對剛體的作用。體的作用。此性質(zhì)是力偶系合成的基礎。此性質(zhì)是力偶系合成的基礎。 由此可

7、見，兩力偶的等效條件是力偶矩由此可見，兩力偶的等效條件是力偶矩相等。相等。 在平面問題中，決定力偶作用效果的因在平面問題中，決定力偶作用效果的因素為：矩的大小和轉(zhuǎn)向。所以力偶矩是代數(shù)素為：矩的大小和轉(zhuǎn)向。所以力偶矩是代數(shù)量。量。 力偶可表示為：力偶可表示為：mm3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的性質(zhì)一、力偶的性質(zhì) 3、力偶在作用面內(nèi)任一軸上的投、力偶在作用面內(nèi)任一軸上的投影均為零影均為零。 4、力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩、力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩與矩心的位置無關，恒等于力偶矩與矩心的位置無關，恒等于力偶矩。3.3平面力偶系的合成與平衡一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成作用面共面的力

8、偶系稱為平面力偶系。作用面共面的力偶系稱為平面力偶系。1m2m3mAB1F1F2F2F3F3FddRRABdFm11dFm33dFm22321FFFR)(321FFFR321321)(mmmdFFFRdM推廣得：推廣得：mmmmMn 21結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個力偶（稱結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個力偶（稱為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。的代數(shù)和。3.3平面力偶系的合成與平衡一、平面力偶系的平衡一、平面力偶系的平衡dRRAB 平面力偶系總可以簡化為圖平面力偶系總可以簡化為圖示情形。若示情形。若R=0，則力偶系平衡，則力

9、偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是合力偶矩等于零，則或是R=0或或是是d=0，無論哪種情況，該力偶系，無論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結(jié)論：均平衡。因此可得結(jié)論： 平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：0m上式稱為平面力偶系的平衡方程。上式稱為平面力偶系的平衡方程。3.3平面力偶系的合成與平衡例例3 圖示矩形板，邊長分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。MABMCMCARCRMMABCARBRBR

10、MCR3.3平面力偶系的合成與平衡例例4AB1m2m3mARBR 求圖示簡支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁為研究對象，受力如圖。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR3213.3平面力偶系的合成與平衡例例5BAC1m2mDE45EB1mAARERC2mDECRER 如圖桿AB上有一導槽，套在桿CD上的銷子E上，在兩桿上各有一力偶作用。已知 ，若桿重和摩擦不計，求機構平衡時 應為多大。mNm100012m 解：先以AB為研究對象，受力如圖。0:01mAERmE再以CD為研究對象，受力如圖。0:02AERmmE于是得：mNmm1000123.3平面力偶系的合成與平衡例例6 系統(tǒng)如圖，AB桿上作用矩為M的力偶，設AC=2R，R為輪C的半徑，各物體的重量及摩擦不計。求繩子的拉力和鉸A對AB桿的約束反力及地面對輪C的反力。MBADDNAN 解：先以AB桿為研究對象，受力如圖。0:0ADNMmA由幾何關系：RRRAD3)2(22DANRMRMADMN333所以：AMBCED3.3平面力偶系的合成與平衡例例6 再以輪C為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。CDNENTxy0coscos:0TNXD0sinsin:0TNNYD