物理用數(shù)學(xué)初步

1、物理用數(shù)學(xué)初步物理用數(shù)學(xué)初步李晟李晟, 張駿張駿 上海交通大學(xué)物理系上海交通大學(xué)物理系2014.9微積分微積分3面臨的問(wèn)題面臨的問(wèn)題物理學(xué)研究物體的運(yùn)動(dòng), 大家知道物體的瞬間速度怎么算？(比如:x=const*t, x=const*t2, .)學(xué)過(guò)牛頓力學(xué)的同學(xué)都知道加速度, 那么物體的瞬間加速度怎么算？(比如: v=const*t, v=const*t2, .)大家知道如何在勻(加)速運(yùn)動(dòng)中求物體位置隨時(shí)間的變化, 那么在一般情況下, 如何求物體在某時(shí)間間隔內(nèi)跑了多遠(yuǎn)？(比如: v=const, v=const*t, v=const*t2, .)在一般的加/減速運(yùn)動(dòng)中, 物體在某時(shí)間間隔內(nèi)速

2、度變化了多少？(比如: a=const, a=const*t, .)4微分微分/導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)5面臨的問(wèn)題面臨的問(wèn)題物理學(xué)研究物體的運(yùn)動(dòng), 大家知道物體的瞬間速度怎么算？(比如:x=const*t, x=const*t2, .)學(xué)過(guò)牛頓力學(xué)的同學(xué)都知道加速度, 那么物體的瞬間加速度怎么算？(比如: v=const*t, v=const*t2, .)6微分微分: 無(wú)窮小之比無(wú)窮小之比 速度：位移變量與時(shí)間之比加速度：速度變量與時(shí)間之比)()()(lim0tdtdxttxttxtvt微分)()()(lim0tdtdvttvttvtat70/0 存在嗎存在嗎?0/0在很多情況下是可算的 2321xxf x

3、x 1lim?xf x 23213211xxxxf xxx1321xxx11lim11xxx 11lim32 |5xxf xx例0?08無(wú)窮小的等級(jí)無(wú)窮小的等級(jí)如 x 為無(wú)窮小，則 xn 為n階無(wú)窮小如 y/x 為有限大小，則兩則為同階無(wú)窮小0limxyccx 為有限大小11000limlimlimnnnxxxyyycyxx 011nn9例子例子 瞬時(shí)速度舉例:標(biāo)記: atttttatatttttatatttattxttxtvattxtttt222)()()(20222022002limlimlimlimxdtdxtv)(10微分的幾何解釋微分的幾何解釋 微分/導(dǎo)數(shù)為曲線的斜率（切線與橫軸夾角

4、的正切）tanyxyx000limtanxyx xy f x11二階及高階導(dǎo)數(shù)二階及高階導(dǎo)數(shù)(附加內(nèi)容附加內(nèi)容)二階導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)22d yddydyydxdxdxdx22drdvd rvadtdtdt12積分積分13面臨的問(wèn)題面臨的問(wèn)題大家知道如何在勻(加)速運(yùn)動(dòng)中求物體位置隨時(shí)間的變化, 那么在一般情況下, 如何求物體在某時(shí)間間隔內(nèi)跑了多遠(yuǎn)？(比如: v=const, v=const*t, v=const*t2, .)在一般的加/減速運(yùn)動(dòng)中, 物體在某時(shí)間間隔內(nèi)速度變化了多少？(比如: a=const, a=const*t, .)14積分積分: 無(wú)窮小之和無(wú)窮小之和位移：速度與時(shí)間之積/

5、 0010)()(lim)()()()2()2(3)()(2)()(ttttitNidttvttitvtxttxttitvtxtNtxtttvttxttxtttvttxttxttvtxttx積分15定積分定積分跑了多遠(yuǎn)？tv vv t0tftt10nisv ti tt 1t2tnt 10niiv tt0ftttn 100limninitsv tt 0fttvdt v t16無(wú)窮多的無(wú)窮小之和存在嗎無(wú)窮多的無(wú)窮小之和存在嗎?公元前公元前5世紀(jì)，芝諾發(fā)表態(tài)了著名的阿基里斯和烏龜賽跑悖論：他提出讓烏龜世紀(jì)，芝諾發(fā)表態(tài)了著名的阿基里斯和烏龜賽跑悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面在阿基里斯前面1000米處

6、開(kāi)始，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)拿滋庨_(kāi)始，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍。當(dāng)倍。當(dāng)比賽比賽 開(kāi)始后，若阿基里斯跑了開(kāi)始后，若阿基里斯跑了1000米，設(shè)所用的時(shí)間為米，設(shè)所用的時(shí)間為t，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，他所用的時(shí)間為米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/10,烏龜仍然前烏龜仍然前 于他于他10米。當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米。當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，他所用的時(shí)間為米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/100，烏龜仍然，烏龜仍然前于他前于他1米米 芝諾解說(shuō)，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。芝諾解說(shuō)，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。 極限極限 1 1 11,.2 4 801111.2482tt17如何算積分如何算積分 iffxx 10limnbianifx dxfxx 10limiiixxxfxx 110limniinixxxx 110limniinixx 0nxxba18不定積分不定積分