2017年中考數(shù)學(xué)100份試卷分類匯編：圓的綜合題

1、2021中考全國100份試卷分類匯編圓的綜合題B, A, C作，女口1、 2021?在厶ABC中，/C為銳角，分別以 AB, AC為直徑作半圓，過點(diǎn) 下列圖.假設(shè) AB=4，AC=2 3- S2=，那么S3 - S4的值是A.B.C.D.考點(diǎn)：圓的認(rèn)識分析：首先根據(jù)AB、AC的長求得S1+S3和S2+S4的值，然后兩值相減即可求得結(jié)論解答:解： AB=4AC=2,S 什S3=2 n,S2+S4=,TS 1 - S2=,. S1+S3-S2+S4= S - S2+ S3 - S4=nS 3 - S4= n,應(yīng)選D.點(diǎn)評：此題考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是正確的表示出S+S3和S2+S的值.2、 2

2、021?丨以下說確的是A. 平分弦的直徑垂直于弦B. 半圓或直徑所對的圓周角是直角C. 相等的圓心角所對的弧相等D. 假設(shè)兩個圓有公共點(diǎn)，那么這兩個圓相交 考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.分析：利用圓與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理等有關(guān)圓的知識進(jìn)展判斷即可解答：解：A、平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，故本選項錯誤；B、半圓或直徑所對的圓周角是直角，故本選項正確；C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項錯誤；D兩圓有兩個公共點(diǎn)，兩圓相交，故本選項錯誤，應(yīng)選B.點(diǎn)評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理等有關(guān)圓的知識，牢記這些定 理是

3、解決此題的關(guān)鍵.3、 2021?一塊矩形木板，它的右上角有一個圓洞，現(xiàn)設(shè)想將它改造成火鍋餐桌桌面，要求木板大小不變，且使圓洞的圓心在矩形桌面的對角線上.木工師傅想了一個巧妙的方法，他測量了 PQ與圓洞的切點(diǎn) K到點(diǎn)B的距離與相關(guān)數(shù)據(jù)單位：cm，從點(diǎn)N沿折線NF- FMNF/ BC FM/ AB切割，如圖 1所示.圖2中的矩形EFGH是切割后的兩塊木板拼接成符合要求的矩形桌面示意圖不重疊，無縫隙，不記損耗，那么CN AM的長分別是18cm31cm .考點(diǎn)：圓的綜合題分析：如圖，延長0K交線段AB于點(diǎn)M，延長PQ交BC于點(diǎn)G,交FN于點(diǎn)N',設(shè)圓孔半 徑為r.在Rt KBG中，根據(jù)勾股定理

4、，得 r=16cm根據(jù)題意知，圓心 0在矩形 EFGH的對角線上，那么 KN =AB=42cm OM =KM +r=CB=65cm那么根據(jù)圖中相關(guān)線 段間的和差關(guān)系求得 CN=QG QN =44 - 26=18 cm，AM=BG PDF KM =130- 50- 49=31 cm.解答：解：如圖，延長 OK交線段AB于點(diǎn)M，延長PQ交BC于點(diǎn)G,交FN于點(diǎn)N'. 設(shè)圓孔半徑為r.在Rt KBG中，根據(jù)勾股定理，得bG+kG=bK，即130 - 502+ 44+門 2=1002,解得，r=16cm.根據(jù)題意知，圓心 O在矩形EFGH勺對角線上，那么KN =AB=42cm OM =KM +

5、r=CB=65cmQN =KN - KQ=42- 16=26cm，KM =49 cm， CN=QGQN =44- 26=18cm， AM=BC PD- KM =130- 50 - 49=31 cm，綜上所述，CN AM的長分別是18cm 31cm.故填：18cm 31cm.圖102點(diǎn)評：此題以改造矩形桌面為載體，讓學(xué)生在問題解決過程中，考查了矩形、直角三角形與 圓等相關(guān)知識，積累了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題經(jīng)驗(yàn)，滲透了圖形變換思想，表達(dá) 了數(shù)學(xué)思想方法在現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用價值.4、 2021如圖，AB是O O的直徑，弦CDL AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足=，連接AF并延長交O O于點(diǎn)E,連

6、接AD DE假設(shè)CF=2，AF=3.給出以下結(jié)論： ADFA AED FG=2； tan / E=； Sadef=4 .其中正確的選項是 寫出所有正確結(jié)論的序號.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理.分析：由AB是OO的直徑，弦 CDLAB根據(jù)垂徑定理可得：=,DGCG繼而證得 ADMA AED 由=,CF=2,可求得 DF的長，繼而求得 CGDG4,那么可求得 FG2; 由勾股定理可求得 AG的長，即可求得tan / ADF的值，繼而求得tan / E=； 首先求得 ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得ADE的面積,繼而求得SA def=4.解答：解： AB是

7、O O的直徑，弦 CDLAB=,DGCG/ ADI=Z AED/ FAD：/ DAE公共角， AD2 AED故正確； =, CF=2,- FD：6, CD=DF+CF=8, CCDG4, FG=CG- CF=2 ；故正確； AF=3, FG=2, AG=,在 RtAAGD中, tan / ADG=, tan / E=；故錯誤； DF=DGFG=6, AD=, Sadf=DF? AG=x 6x =3,= Saaec=7,Sadef=S AED Saad=4；故正確.故答案為：.點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以與三角函數(shù)等知識此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌

8、握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.5、2021年如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， ABC是O O的接三角形，AB= AC點(diǎn)P是AB的 中點(diǎn)，連接PA PB PC假設(shè)/ BPG 60°，求證：AC . 3AP ；2如圖,PAB的值.C1如圖，解析：1證明：弧 BC=弧 BC, / BAC=Z BPC= 60 ° . 又 AB= ACABC為等邊三角形/ ACB= 60°,t 點(diǎn) P 是弧 AB 的中點(diǎn)，/ ACP= 30°,又/ APC=Z ABC= 60°,. AC= , 3 AP.2解：連接 AO并延長交PC于F,過點(diǎn)E作EGLAC于G,連接OC / AB=

9、AC, AFL BC BF= CF.點(diǎn) P 是弧 AB 中點(diǎn)，:丄 ACP=Z PCB - Eg EF./ BPC=Z FOC24 sin / FOC= sin / BPC仝.25設(shè) FC= 24a ,那么 OC= OA= 25a , - OF= 7a , AF= 32a.在 Rt AFC中，AC= AF2+FC? , AC= 40a.在 Rt AGE和 Rt AFC中，sin / FAC=EGAEFCACEG32a EG24a Eg 12a.40aC tan / PAB= tan / PCB=EF 空 -CF 24a26、 2021?丨在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A 6, 0，點(diǎn)B 0,

10、6，動點(diǎn)C在以半徑為3 的OO上，連接 OC過O點(diǎn)作ODLOC OD與OO相交于點(diǎn) D其中點(diǎn) C O D按逆時針方向 排列，連接AB.1當(dāng)OC/ AB時，/ BOC的度數(shù)為 45°或135°2連接AC, BC,當(dāng)點(diǎn)C在OO上運(yùn)動到什么位置時， ABC的面積最大？并求出 ABC 的面積的最大值.3連接AD,當(dāng)OC/ AD時，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；直線 BC是否為OO的切線？請作出判斷，并說明理由.考點(diǎn)： 專題： 分析：圓的綜合題.綜合題.1根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得厶OA為等腰直角三角形， 那么/ OBA=45，由于OC/ AB 所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時，有/ BOCMOBA=45 ;當(dāng)

11、C點(diǎn)在y軸右側(cè)時，有/ BOC=180 -Z OBA=135 ;2由厶OAB為等腰直角三角形得 AB=OA=6根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn) C到AB 的距離最大時， ABC的面積最大，過 O點(diǎn)作OELAB于E，OE的反向延長線交OO 于 C,此時C點(diǎn)到AB的距離的最大值為 CE的長然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE然后計算厶ABC的面積；3過C點(diǎn)作CFLx軸于F，易證Rt OC® Rt AOD那么=，即=，解得CF=再 利用勾股定理計算出 OF=,那么可得到 C點(diǎn)坐標(biāo)；由于OC=3 OF=所以Z COF=30，那么可得到 BOC=60，Z AOD=60，然后根 據(jù)“SAS判斷 BO

12、QAAOD所以Z BCOZ ADC=90，再根據(jù)切線的判定定理可確 疋直線BC為OO的切線.解答：解：1：點(diǎn) A6，0，點(diǎn) B 0，6， OA=OB=6 OAB為等腰直角三角形， Z OBA=45，TOC/ AB當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時，Z BOCZ OBA=45 ;當(dāng) C點(diǎn)在y軸右側(cè)時，Z BOC=180 -Z OBA=135 ;2TA OAB為等腰直角三角形， AB=OA=，當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時， ABC的面積最大，過O點(diǎn)作OELAB于E，OE的反向延長線交OO 于C，如圖，此時 C點(diǎn)到AB的距離的 最大值為CE的長， OAB為等腰直角三角形， AB=OA=， OE=AB=3 CE=OC+C

13、E=3+址 ABC 的面積=CE? AB=X 3+3X 6=9+18.當(dāng)點(diǎn)C在OO上運(yùn)動到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時， ABC的面積最大，最大值為9+18.3如圖，過C點(diǎn)作CF丄x軸于F,TOC/ AD/ ADON COD=90 ,/ DOAN DAO=90 而/ DOAN COF=90 , N COFN DAO Rt OCF Rt AOD=，即=，解得CF=, 在 Rt OCF中，OF=, C點(diǎn)坐標(biāo)為-，丨；直線BC是OO的切線.理由如下：在 Rt OCF中，OC=3 OF= N COF=30 , N OAD=30 , N BOC=60 , / AOD=60 ,在 BOC和厶AOD中

14、 BOC2AAOD SAS, N BCON ADC=90 , OCL BC直線BC為OO的切線.點(diǎn)評：此題考查了圓的綜合題：掌握切線的判定定理、平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)展幾何計算.7、 2021?半徑為2cm的與OO邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線I的同側(cè)，OO與I 相切于點(diǎn)F, DC在 l 上.1過點(diǎn)B作的一條切線 BE E為切點(diǎn). 填空：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在OO上時，N EBA的度數(shù)是 30° 如圖2，當(dāng)E, A, D三點(diǎn)在同一直線上時，求線段OA的長；2以正方形ABCD勺邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形圖 3，至邊M

15、 N分別是邊BC AD與OO的公共點(diǎn)，求扇形 MON勺面積的圍.考點(diǎn)：圓的綜合題.分析：1根據(jù)切線的性質(zhì)以與直角三角形的性質(zhì)得出/ EBA的度數(shù)即可；利用切線的性質(zhì)以與矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出=，進(jìn)而求出0A即可；2設(shè)/ MON=°，得出S扇形Mo=X22=n進(jìn)而利用函數(shù)增減性分析當(dāng)N, M A分別與D, B, 0重合時，MN最大，當(dāng)MN=DC=2寸，MN最小，分別求出即可.解答：解：1半徑為2cm的與O 0邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線I的同側(cè)，當(dāng) 點(diǎn)A在OO上時，過點(diǎn) B作的一條切線 BE, E為切點(diǎn)，0B=4 E0=2 / OEB=90 ,/ EBA的度數(shù)

16、是：30°如圖2,直線I與OO相切于點(diǎn)F,/ 0FD=90 ,正方形 ADCB中, Z ADC=90 , 0F/ AD/ 0F=AD=2四邊形0FDA為平行四邊形，Z 0FD=90 ,平行四邊形 0FDA為矩形， DALA0 正方形 ABCD中 , DAL AB0, A, B三點(diǎn)在同一條直線上； EAL 0B Z 0EBZ A0E E0MA B0E 0占=0A? 0B 0A 2+0A=4 ,解得：0A=- 1土，/ 0A> 0, 0A 1;方法二：在 Rt 0AE 中，cos Z E0A=在 Rt EOB中，cos Z EOB=-=,解得：0A=- 1土，/ 0A> 0,

17、 OA 1;方法三：/ OEL EB EAL 0B由射影定理，得 oE=oa? ob 0A 2+OA=4 ,解得：0A=- 1土，/ 0A> 0 , OA 1 ;2 22如圖 3，設(shè)/ MON=° , S扇形 mo=X2 =n cm，S隨n的增大而增大，/ MON取最大值時， S扇形MO最大， 當(dāng)/ MON取最小值時，S扇形mo最小，過O點(diǎn)作OKL MN于K,/ MON=2 NOK MN=2N,在 Rt ONK中，sin / NOK=/ NOK隨NK的增大而增大，/ MON隨MN的增大而增大，當(dāng) MN最大時/ MON最大，當(dāng) MN最小時/ MON最小， 當(dāng)N, M A分別與D,

18、 B, O重合時，MN最大，MN=BD/ MONN BOD=90 , S扇形moni大=n cm, 當(dāng)MN=DC=2, MN最小， ON=MN=OM/ NOM=6° ,S扇形moi最小=n cm,nWS 扇形mo莊n. 故答案為：30°.點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以與相似三角形的判定與性質(zhì)和函數(shù)增減性等知識，得出扇形MON勺面積的最大值與最小值是解題關(guān)鍵.8、 2021?丨如圖，在 ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，/ PACN PBA OO 是厶ABC的外接圓， AD是OO的直徑，且交 BP于點(diǎn)E.1求證：PA是OO的切線；2過點(diǎn)C作CFLAD垂足為點(diǎn) F,延長CF交AB

19、于點(diǎn)G假設(shè)AG? AB=12,求AC的長；3在滿足2的條件下，假設(shè) AF: FD=1: 2, GF=1,求OO的半徑與sin / ACE的值.考點(diǎn)： 分析：圓的綜合題.1根據(jù)圓周角定理得出/ ACD=90以與利用/ PACN PBA 得出/CADN PAC=90進(jìn) 而得出答案；2首先得出厶CAGp BAC進(jìn)而得出 AC=AG? AB,求出AC即可；3先求出AF的長，根據(jù)勾股定理得：AG=即可得出sin / ADB=利用/ ACEN ACBN ADB 求出即可.解答：1證明：連接CD,/AD是OO的直徑，/ ACD=90 ,/ CADN ADC=90 ,又/ PACN PBA / ADCN PB

20、A/ PACN ADC/ CADN PAC=90 , PALOA而 AD是OO的直徑， PA是OO的切線；2解：由1知，PAL AD 又T CFL AD CF/ PA/ GCAM PAC 又 I / PAC=/ PBA/ GCA/ PBA 而/ CAGM BAC CA®A BAC-=,即 AC2=AG? AB,/ AG? AB=12 ,2 AC=12 , AC=23解：設(shè) AF=x, / AF: FD=1: 2, FD=2x AD=AF+FD=3x2在 Rt ACD中 , / CF丄 AD, AC =AF? AD,即 3x =12 ,解得；x=2 , AF=2 AD=6 OO 半徑為

21、 3 ,在 Rt AFG中，/ AF=2 GF=1,根據(jù)勾股定理得：AG=由2知，AG? AB=12, AB=連接BD/AD是OO的直徑， / ABD=90 ,在 Rt ABD中，/ sin / ADB= AD=6 sin / ADB=/ ACE/ ACBM ADB sin / ACE=點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以與勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)得出AG的長以與AB的長是解題關(guān)鍵.9、2021?丨如圖1,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個動 點(diǎn)不與M C重合，以AB為直徑作O O,過點(diǎn)P作OO的切線，交AD于點(diǎn)F ,切點(diǎn)為E.1求證：OF/ BE2設(shè)

22、BP=x, AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的取值圍；3延長DC FP交于點(diǎn)G,連接OE并延長交直線 DC與H圖2，問是否存在點(diǎn) P,使 EFSA EHG E、F、O與E、H G為對應(yīng)點(diǎn)？如果存在，試求2中x和y的值；女口果不存在，請說明理由.考點(diǎn)： 分析：圓的綜合題.1首先證明 Rt FA3 Rt FEO進(jìn)而得出/ AOF=/ ABE即可得出答案；2過F作FQL BC于Q,利用勾股定理求出 y與x之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù) M是BC 中點(diǎn)以與BC=2,即可得出BP的取值圍；3首先得出當(dāng)/ EFOM EHG=2EOF 時，即/ EOF=30 時，Rt EFS Rt EHG 求 出y

23、=AF=OZ? tan30 ° =，即可得出答案.解答：1證明：連接OEFE、FA是OO的兩條切線/ FAOM FEO=90在 Rt OAF和 Rt OEF 中， Rt FAORt FEO HU,/ AOFM EOFM AOE/ AOFM ABE OF/ BE2解：過F作FQLBC于Q PQ=BP BQ=x- yPF=EF+EP=FA+BP=x+y/在 Rt PFQ中 fq2+q=pf222+ x - y2=x+y2化簡得：，1 < XV 2；3存在這樣的P點(diǎn)，理由：I / EOF/AOF / EHG/ EOA=/ EOF當(dāng)/ EFO/ EHG=/ EOF 時，即/EOF=30

24、 時，Rt EFSRt EHG 此時Rt AFO中,y=AF=OZ? tan30 ° =,當(dāng)時， EFSA EHG點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以與全等三角形的判定和性質(zhì)以與相似三角形的判定 與性質(zhì)等知識，得出 fG+qPupF2是解題關(guān)鍵.10、2021?萊蕪如圖，00的半徑為1，直線CD經(jīng)過圓心O,交OO于C D兩點(diǎn)，直徑 AB丄CD點(diǎn)M是直線CD上異于點(diǎn) C O D的一個動點(diǎn)，AM所在的直線交于00 于點(diǎn)N,點(diǎn)P 是直線 CD上另一點(diǎn)，且 PM=PN1當(dāng)點(diǎn)M在00部，如圖一，試判斷 PN與00的關(guān)系，并寫出證明過程；2當(dāng)點(diǎn)M在00外部，如圖二，其它條件不變時，1的結(jié)論是否還成

25、立？請說明理由；3當(dāng)點(diǎn)M在00外部，如圖三，/ AMO=1°，求圖中陰影局部的面積.圉一團(tuán)二圖三考點(diǎn)： 分析：圓的綜合題.1根據(jù)切線的判定得出/ PNOM PNMM ONAM AMOM ONA 進(jìn)而求出即可；2根據(jù)得出/ PNMMONA=90，進(jìn)而得出/ PNO=180 - 90° =90°即可得出答案;3首先根據(jù)外角的性質(zhì)得出/ AON=30進(jìn)而利用扇形面積公式得出即可.解答：1PN與00相切. 證明：連接ON另E么/ ONAM OAN/ PM=PN / PNMM PMN/ AMOM PMNM PNMM AMO M PNOM PNMM ONAM AMOM ONA

26、=90 . 即PN與00相切.2成立. 證明：連接ON 另E么/ ONAM OAN/ PM=PN :丄 PNMW PMN 在 Rt AOM中,/ OMA：+ OAM=9° ,/ PNM乂 ONA=90 ./ PNO=180 - 90° =90° 即PN與OO相切.3解：連接 ON由2可知/ ONP=90 ./ AMO=1° , PM=PN/ PNM=1°，/ OPN=30 , / PON=60，/ AON=30 .作NE! OD垂足為點(diǎn) E,那么 NE=ON sin60 ° =1X =.S 陰影=Saao+S 扇形 aon ScOt=

27、O(? OA+CO NE=X 1 X 1 + n-X 1 X=+ n-.圖一C圉二】圖三熟練根據(jù)切線的判定得出對應(yīng)點(diǎn)評：此題主要考查了扇形面積公式以與切線的判定等知識, 角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.11、2021?丨如圖，在OO 中，直徑 AB丄CD垂足為 E,點(diǎn)M在OC上，AM的延長線交OO 于點(diǎn)G,交過C的直線于F,/仁/2,連結(jié) CB與DG交于點(diǎn)N.1求證：CF是OO的切線；2丨求證： ACMhA DCN13假設(shè)點(diǎn) M是CO的中點(diǎn)，OO的半徑為4, cos/ BOC，求BN的長.4考點(diǎn)： 分析：圓的綜合題.1根據(jù)切線的判定定理得出/ 1+Z BCO=90，即可得出答案；2利用得出Z 3=Z 2,

28、Z 4=Z D,再利用相似三角形的判定方法得出即可；3根據(jù)得出OE的長，進(jìn)而利用勾股定理得出EC, AC, BC的長，即可得出 CD,利用2中相似三角形的性質(zhì)得出NB的長即可.解答：1證明： BCO 中，BO=CO/ B=Z BCO在 Rt BCE中，/ 2+Z B=90° ,又/ 仁/ 2,二/ 1+Z BCO=90，即/ FCO=90 , CF是OO的切線；2證明： AB 是OO 直徑，/ ACB=/ FCO=90 ,/ ACB-Z BCOM FCO-Z BCQ即/3=Z 1,./ 3=Z 2,/ 4=Z D,.A ACMhA DCN3解：TOO的半徑為4,即卩AO=CO=BO=

29、41在 Rt COE中，cos / BOC=,41 OE=CO cos / BOC=4 =1,4由此可得：BE=3 AE=5,由勾股定理可得：CE=AC=2BC=2/AB是OO 直徑，AB!CD由垂徑定理得：CD=2CE=2/ ACMh DCN點(diǎn) M是 CO的中點(diǎn)，CM=AO=4=2 , CN= BN=BG CN=2-=.點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以與切線的判定和勾股定理的應(yīng)用等知識, 根據(jù)得出厶ACMh DCN是解題關(guān)鍵.12、2021如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=x>0圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A B.1

30、求證：線段AB為OP的直徑；2求厶AOB的面積；3如圖2 , Q是反比例函數(shù) y=x> 0圖象上異于點(diǎn) P的另一點(diǎn)，以 Q為圓心，QC為半 徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) C、D.求證：DC? OC=BO OA考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題.分析：1/ AOB=90，由圓周角定理的推論，可以證明AB是OP的直徑;2將厶AOB的面積用含點(diǎn)P坐標(biāo)的表達(dá)式表示出來，容易計算出結(jié)果；3對于反比例函數(shù)上另外一點(diǎn) QOQ與坐標(biāo)軸所形成的 COD的面積，依然不變，與厶AOB 的面積相等.解答：1證明：I / AOB=90，且/ AOB是OP中弦AB所對的圓周角， AB是OP的直徑.2解：設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為m n m&

31、gt;0, n > 0，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=x>0圖象上一點(diǎn)， mn=12如答圖，過點(diǎn) P作PMLx軸于點(diǎn)M PNLy軸于點(diǎn)N,那么OM=m ON=n由垂徑定理可知，點(diǎn) M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB中點(diǎn)， OA=2OM=2mOB=2ON=2n-S aob=BC? OA=x 2nX 2m=2mn=2 12=24.3證明：假設(shè)點(diǎn) Q為反比例函數(shù)y= x> 0圖象上異于點(diǎn) P的另一點(diǎn)，參照2，同理可得：Sco=DO? CO=24那么有：SmoD=SsoB=24 ,即 BO? OA=DO CO DO? OC=BO OA點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識，難

32、度不大試題的核心是考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義對此題而言，假設(shè)反比例函數(shù)系數(shù)為k,那么可以證明OP在坐標(biāo)軸上所截的兩條線段的乘積等于 4k;對于另外一點(diǎn) Q所形成的O Q此 結(jié)論依然成立.13、2021?如圖，PA為OO的切線，A為切點(diǎn)，直線 PO交OO與點(diǎn)E, F過點(diǎn)A作PO的 垂線AB垂足為D,交OO與點(diǎn)B,延長BO與OO交與點(diǎn)C,連接AC, BF.1求證：PB與OO相切；2試探究線段 EF, OD OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；3假設(shè) AC=12, tan / F=,求 cos/ ACB的值.考點(diǎn)：圓的綜合題.分析：1連接OA由OP垂直于AB,利用垂徑定理得到 D為AB的中點(diǎn)，即 OP

33、垂直平分 AB,可得出AP=BP再由OA=OB OP=OP利用SSS得出三角形 AOP與三角形BOP全等, 由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP,利用全等三角形的對應(yīng)角相等與垂直的定義得 到OB垂直于BP,即PB為圓O的切線；2由一對直角相等，一對公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關(guān)系式，由 OA為EF的一半，等量代換即可得證.3連接BE,構(gòu)建直角厶BEF在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設(shè)BE=x, BF=2x,進(jìn)而可得EF=x;然后由面積法求得 BD=x所以根據(jù)垂徑定理求 得AB的長度，在Rt ABC中，根據(jù)勾股定理易求 BC的長；最后由余弦三角

34、函數(shù)的定 義求解.解答：1證明：連接OA PA與圓O相切， PAL OA 即/ OAP=90 ,/ OPL AB D為AB中點(diǎn)，即OP垂直平分AB PA=PB在 OAP和厶OBP中, OAP OBP SSS,/ OAPM OBP=90 , BP丄 OB那么直線PB為圓O的切線;22答：EF=4DC? PO證明：/ OAPM ADO=90，/ AODM POA OAD OPA2=，即卩 OA=OC? OP/ EF為圓的直徑，即 EF=2OA EF2=OD? OP 即 EF2=4OCP OF；3解：連接BE那么/ FBE=90 ./tan / F=,=,可設(shè) BE=x, BF=2x,那么由勾股定理

35、，得EF=x,/ BE? BF=EF? BD BD=x又 AB丄 EF, AB=2BD=x Rt ABC 中，BC=x aC+aU=bC,2廠、2廠、2 12 + x=x,解得：x=4, BC=4< =20, cos / ACB=點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)， 相似與全等三角形的判定與性質(zhì)以與銳角三角函數(shù)關(guān) 系等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.14、(2021年)如圖，AD是圓O的切線，切點(diǎn)為 A, AB是圓O 的弦。過點(diǎn)B作BC/ AD交圓O于點(diǎn)C,連接AC過P C點(diǎn)C作CD/ AB交AD于點(diǎn)D。連接AO并延長交 BC于點(diǎn)M交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn) P,且 BCP ACD

36、判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系，并說明理由：(2) 假設(shè) AB=9, BC=6，求 PC的長。解析：解法一： 直線PC與圓O相切。如圖，連接CO并延長，交圓O于點(diǎn)N,連接BN/ AB/ CD BA(= ACDBAC BNC BNC ACDBCP ACD BNC BCP/ CN是圓O的直徑， CBN90。BNC BCN90, BCP BCN90。 PCO90 ，即 PC OC又點(diǎn)C在圓O上，直線 PC與圓O相切。(4分)/ AD是圓O的切線， AD OA即 OAD90。/ BC/ AD OMQ18OOAD90 ，即 OM BC MCMB ABAC在 Rt AM(中,AMC90,AC=AB=9,M(

37、=-1-BC=3,由勾股定理，得 AM AC2 MC= 92 32 =6 2。設(shè)圓O的半徑為r。在 Rt OM(中,OM=90 ，OMAM AO=6、Q r，MC3, OOr，由勾股定理，得 OM MC=OC，即6p2 r 2 32=r2。解得r#?。在厶OM和 OCF中,OMC OCP MOC COP OMG OCP：OM_ CM 6282 _ 3OC= PC，即 27= PCA2 P(=277。8 分AOBACD解法二：直線PC與圓O相切。如圖，連接OC/ AD是圓O的切線， AD OA即 OAD90。 B(ZZ AD - OM=180OAD90 ,即 OM BC-MCMB - - AB=

38、AC> MAB MACBAC2 MAC 又T MOC2 MAC： MOC BAC/ AB/ CD BA(= ACD： MOC ACD 又t BCP MOC BCP / MOC OCM9O , BCP OCM90。 PCO9O ，即PC OC又點(diǎn) C在圓O上，直線 PC與圓O相切。 亠 1(2)在 Rt AM(中,AMC90 , AC=AB=9, M(=BC=3,由勾股定理，得 AM AC2 MC= 9232 =6 2。設(shè)圓O的半徑為r。在 Rt OM(中,OM=90 , OIMAM AO=6 j? r, MC3, OOr,由勾股定理，得 OM MC=OC，即6申 r 2 32=r2。解得

39、r=-28-2o在 0M和 OCF中，T OMC OCP MOC COPo 8 分OM_ CMOC= PC，278pC15、2021?丨如圖，00的直徑AB=10, C D是圓上的兩點(diǎn)，且.設(shè)過點(diǎn) D的切線ED交AC 的延長線于點(diǎn)F.連接OC交AD于點(diǎn)G1求證：DF丄AF.2求OG勺長.考點(diǎn)：切線的性質(zhì).分析：1連接BD,根據(jù)，可得/ CADM DAB=30，/ ABD=60，從而可得/ AFD=90 ;2根據(jù)垂徑定理可得 OG垂直平分 AD繼而可判斷 06是厶ABD的中位線，在Rt ABD 中求出BD,即可得出OG解答：解：1連接BD/ CADM DAB=30，/ ABD=60 ,/ ADF

40、M ABD=60 , M CADM ADF=90 , DF丄 AF.2在 Rt ABD中，/ BAD=30 ,AB=10, BD=5T =, OG垂直平分AD OG是厶ABD的中位線， OG=BD=點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理與垂徑定理的知識，解答此題要求同學(xué)們熟練掌 握各定理的容與含 30°角的直角三角形的性質(zhì).16、 2021?六盤水1觀察發(fā)現(xiàn)如圖1：假設(shè)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線 m上找一點(diǎn)P,使AP+BP勺值最小，做法 如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B',連接AB ,與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P,線段AB 的長度即為AP+BP的最小值.如圖2：在等邊三角

41、形 ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在 AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小，做法如下:作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn) C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，那么這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為.2實(shí)踐運(yùn)用如圖4：點(diǎn)P是四邊形ABCD一點(diǎn)，分別在邊如圖3： OO的直徑CD為2，的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑 CD上作出點(diǎn)P, 使BP+AP的值最小，那么 BP+AP勺值最小，那么 BP+AP的最小值為.AB BC上作出點(diǎn) M點(diǎn) N 使PM+PN勺值最小，保存作圖痕跡，不寫作法.考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題.分析：1觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP

42、+PE的最小值；由AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CELAB / BCEM BCA=30 , BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=2實(shí)踐運(yùn)用：過 B點(diǎn)作弦BE! CD連結(jié) AE交CD于 P點(diǎn)，連結(jié)OB OE OA PB, 根據(jù)垂徑定理得到 CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，那么AE的長就是BP+AP 的最小值；由于的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到/ BOC=30，/ AOC=60，所以/ AOE=60 +30° =90°,于是可判斷 OAE 為等腰直角三角形，那么 AE=OA=3拓展延伸：分別作出點(diǎn) P關(guān)于AB和BC的對

43、稱點(diǎn)E和F,然后連結(jié)EF, EF交AB 于M交BC于N解答：解：1觀察發(fā)現(xiàn)如圖2，CE的長為BP+PE的最小值，在等邊三角形 ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) CEL AB / BCEM BCA=30 , BE=1, CE=BE=故答案為；2實(shí)踐運(yùn)用如圖3，過B點(diǎn)作弦BE! CD連結(jié)AE交CD于 P點(diǎn)，連結(jié)OB OE OA PB, / BE! CD CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn)，/ BOC=30，/ AOC=60 ,/ EOC=30 ,:丄 AOE=60 +30° =90°,/ OA=OE=1 AE=OA= AE的長就是

44、 BP+AP的最小值.故答案為；3拓展延伸 如圖4.點(diǎn)評：此題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以與圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以與軸對稱-最短路徑問題.17、 2021?壓軸題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A 8, 0，B 0, 6，OM經(jīng)過原點(diǎn)O與點(diǎn)A B.1求OM的半徑與圓心 M的坐標(biāo)；2過點(diǎn)B作OM的切線I，求直線I的解析式；3/ BOA的平分線交 AB于點(diǎn)N,交OM于點(diǎn)E,求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段 OE的長.考點(diǎn)：圓的綜合題.專題：綜合題.分析：1根據(jù)圓周角定理/ AOB=90得 AB為OM的直徑，那么可得到線段 AB的中點(diǎn)即點(diǎn) M的坐標(biāo)，然后利

45、用勾股定理計算出AB=10,那么可確定OM的半徑為5;2點(diǎn)B作OM的切線I交x軸于C,根據(jù)切線的性質(zhì)得 AB丄BC,利用等角的余角相等得到/ BAOM CBO然后根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt AB3Rt BCQ所以=,可解得OC=那么C點(diǎn)坐標(biāo)為-，0，最后運(yùn)用待定系數(shù)法確定 I的解析式；3作NDLx軸，連結(jié)AE易得 NOD為等腰直角三角形，所以 ND=OD ON=ND再 利用 ND/ OB 得到 ADNh AOB 那么 ND OB=AD AQ 即 ND 6= 8 - ND： 8,解得 ND=所以O(shè)D= ON=即可確定 N點(diǎn)坐標(biāo)；由于 ADWAAOB利用 ND OB=AN AB, 可求得AN=

46、那么BN=10-=,然后利用圓周角定理得/ OBA=OEAM BOEM BAE所以 BONWA EAN再利用相似比可求出ME最后由OE=ON+N計算即可.解答：解：1t/ AOB=90 , AB為OM的直徑， A 8 , 0, B 0, 6，OA=8 OB=6 AB=10 OM的半徑為5;圓心M的坐標(biāo)為4，3；2點(diǎn)B作OM的切線I交x軸于C，如圖， BC與OM相切，AB為直徑， AB丄 BC/ ABC=90 ,/ CBO£ ABO=90 , 而/ BAOM ABO=90 ,/ BAOM CBO Rt AB3 Rt BCO=，即=，解得OC=C點(diǎn)坐標(biāo)為-，0設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b ,把B0, 6C