2014年秋季八年級(jí)數(shù)學(xué)教材

1、第一講 三角形的三線【知識(shí)體系】一、三角形相關(guān)概念 1三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形要點(diǎn)：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相接.2三角形的表示通常用三個(gè)大寫(xiě)字母表示三角形的頂點(diǎn)，如用A、B C表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，此三角形可記作厶ABC其中線段 AB BC AC是三角形的三條邊，/ A、/ B、/ C分別表示三角 形的三個(gè)角.二、三角形中的三種重要線段 三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段.1三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和 交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.注意：三角形的角平分線是一條線

2、段，可以度量，而角的平分線是經(jīng)過(guò)角的頂點(diǎn)且平分 此角的一條射線. 三角形有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)一定在三角形的部. 三角形的角平分線畫(huà)法與角平分線的畫(huà)法一樣，可以用量角器畫(huà)，也可通過(guò)尺規(guī) 作圖來(lái)畫(huà).2三角形的中線：在一個(gè)三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形 的中線.注意：三角形有三條中線，且它們相交三角形部一點(diǎn). 畫(huà)三角形中線時(shí)只需連結(jié)頂點(diǎn)與對(duì)邊的中點(diǎn)即可.3三角形的高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三 角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高.注意：三角形的三條高是線段畫(huà)三角形的高時(shí)，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，連結(jié)頂點(diǎn)與垂足的線段 就是該邊上的

3、高.三、三角形三邊關(guān)系定理 三角形兩邊之和大于第三邊， 故同時(shí)滿足 ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a+b>c,b+c>a, c+a>b. 三角形兩邊之差小于第三邊， 故同時(shí)滿足 ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a>b-c , b>a-c , c>b-a .注意：判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，只需看兩條較短的線段的長(zhǎng)度之和是否大于 第三條線段即可四、三角形的穩(wěn)定性三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)就叫做三角形的 穩(wěn)定性例如起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個(gè)道理.【例題解析】【例1】填空1、按角分類：可分為三角形、三角形、

4、三角形；按邊分類：等腰三角形和不等邊三角形；等腰三角形又可分為：三角形和不相等的等 腰三角形；2、 1如圖，假設(shè)，那么 AD是厶ABC的中線；三角形有條中線；三角形的中線將三角形 分成相等的兩個(gè)三角形；2如圖，假設(shè)，那么 。丘是厶ABC的角平分線；三角形有條角平分線；A.正方形B.長(zhǎng)方形C.3如圖，那么BF是厶ABC的BC邊上的高；三角形有條高；銳角三角形條高在三角形部; 直角三角形條高在三角形部；鈍角三角形條高在三角形部；3、以下列圖形中有穩(wěn)定性的是【例2】對(duì)下面每個(gè)三角形，過(guò)頂點(diǎn) A畫(huà)出中線，角平分線和高BE是 ABC的高的圖形是B【例3】如圖，在厶ABC中,2題圖AE是中線，AD是角平分

5、線，AF是高。填空:1BE=1? 2/ BAD=2122 / 94E D F3/ AFB=90 ;4SaABC=【練】如圖，在"ABC中，/仁/2,G為AD中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于E,F為AB上一點(diǎn),CF丄AD 于H,判斷以下說(shuō)法那些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的 AD是"ABE的角平分線 BE是"ABD邊AD上的中線 BE是"ABC邊AC上的中線 CH是"ACD邊AD上的高【例4】如圖，在 ABC中,D,E分別是BC, AD的中點(diǎn),S ABC =4 cm，求 S ABE【練】如圖，在 ABC中, D是AD的中點(diǎn),S ABD =4cm，求 S ABC【例

6、 5】如圖， ACB 中，/ ACB=90 , / 1 = / B.1試說(shuō)明CD是厶ABC的高；2如果 AC=8 , BC=6 , AB=10，求 CD 的長(zhǎng).【練】AD,CE為三角形ABC的兩條高，AB=4cm,CE=2cm(1) 求三角形ABC的面積(2) 假設(shè)AD=1.5cm 求BC的長(zhǎng)【例6】如圖，在三角形 ABC中，AD是BC邊上的中線，三角形ACD的周長(zhǎng)小5，你能求出AC與AB的邊長(zhǎng)的差嗎?【練】在厶ABC中，AD是BC邊上的中線，假設(shè)> AC 丨，AB與AC的和為14,求AB和AC的長(zhǎng).ABD和厶ADC的周長(zhǎng)之差為 4 AB【例7】1.以下各組線段為邊，能組成三角形的是A.

7、1cm, 2cm, 4cmB . 8cm,6cm,4cm12cm, 5cm, 6cmD . 2 cm,3cm,5cmC.【練】1.在厶ABC中，假設(shè)AB 8 , BC 6，那么第三邊 AC的長(zhǎng)度m的取值圍是.2. 2021?三角形三邊長(zhǎng)分別為 2, x, 13,假設(shè)x為正整數(shù)那么這樣的三角形個(gè)數(shù)為3.等腰三角形三邊長(zhǎng)分別是4,8 , X,求X的值【練】三角形的兩邊長(zhǎng)為cm。2cm和7cm,第三邊的長(zhǎng)是一個(gè)奇數(shù)，那么第三邊的長(zhǎng)是A、2B、3C、5D、13【練】等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5cm,它的另一邊短6cm,求三角形的周長(zhǎng)【例8】a,b.c分別是三角形 求厶ABC的周長(zhǎng) 判斷 ABC的形狀 ABC

8、 的三邊長(zhǎng)，且 b,c 滿足b-c人 2+/c-3/=0 , a 滿足 /a-4/=2【練】a,b.c分別是三角形 ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)【例10】小華在中問(wèn)小明：“一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別是 4, 9, 12，如何求這個(gè)三角形的面 積？小明提示說(shuō)：“可通過(guò)作最長(zhǎng)邊上的高來(lái)求解小華根據(jù)小明的提示作出的圖 形正確的選項(xiàng)是cm2,CE=cm 【家庭作業(yè)】1、如圖:1在厶ABC中，BC邊上的高是 2在厶AEC中，AE邊上的高是3在厶FEC中，EC邊上的高是 4假設(shè) AB=CD=2cm , AE=3cm，那么 Saec =2. 如圖，在直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , CD是AB邊上的高，AB=1

9、3cm BC=12cmAC=5cm求 ABC的面積；CD的長(zhǎng)。3、如下列圖,AD是厶ABC的中線,AB=6cm，AC=5cm，求厶ABD和厶ADC的周長(zhǎng)的差.4、如下列圖, 長(zhǎng).AD是厶ABC的中線,AE是厶ACD的中線,DE=2cm，求 BD , BE, BC 的A DB5、如圖， ABC 中，/ ABC=40°，/ C=60° AD 丄BC 于 D, AE 是/ BAC 的平分線.1求/ DAE的度數(shù)；2指出AD是哪幾個(gè)三角形的高.7、如圖在 ABC中，CD是高，點(diǎn) E、F、G分別在 BC、AB、AC上，且 EF丄AB，/仁 / 2,試判斷DG與BC的位置關(guān)系？并說(shuō)明理

10、由.8、三角形的三邊長(zhǎng)分別為 5, 1+2x, 8,那么x的取值圍是 第二講：三角形角度計(jì)算【根底回憶】1、三角形角和定理：三角形的三個(gè)角的和等于；引申：直角三角形中，兩銳角；幾何形式：在 ABC中，/ A+Z B+Z C=;或/ A+Z B =- / C;或/ A =- / C-/ B;2、 1三角形的與另一條邊組成的角叫三角形的外角；2三角形的一個(gè)外角等于和它的兩個(gè)角的和；幾何形式：Z A+Z B =;或/ A =- Z B；3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它的角；幾何形式：Z ACD> ;或/ ACD> ；引申：4三角形的外角與它相鄰的角；幾何形式：ZACD-Z ACB =;

11、5三角形的外角和每個(gè)頂點(diǎn)取一個(gè)外角等于；3、多邊形的對(duì)角線條對(duì)角線 n邊形的角和為多邊形的外角和為【例題解析】【例1】選擇題1、等腰三角形的一個(gè)外角是120。，那么它是A.等腰直角三角形B. 一般的等腰三角形C. 等邊三角形 D.等腰鈍角三角形2、如果三角形的一個(gè)外角和與它不相鄰的兩個(gè)角的和為180°,那么與這個(gè)外角相鄰的角的度數(shù)為A. 30 ° B. 60° C.90° D. 120°3、三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為A. 90 ° B.110° C. 1004、如圖，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A、Z B > Z ACDBZ

12、B+Z ACB =180°-Z ACZ B+Z ACB <180DZ HEC >Z B2 : 3 : 4，那么它的最大角的度數(shù)° D. 120°4題圖5、假設(shè)一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的角，那么這個(gè)三角形是.A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、無(wú)法確定6、如圖，假設(shè)Z A=10°,Z B=45°,Z C=38°,那么Z DFE等于A. 120 ° B. 115°C.93° D. 105°8、如圖，那么/ 1=, / 2=, / 3=,9、 等腰三角形的一個(gè)外角為

13、 150 °，那么它的底角為 .【例2】1.如圖，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分別是 AC AB上的高，H是BD ?CE 的交點(diǎn)，求/ BHC的度數(shù).【例3】如圖 ABC中，/ A=20°, CD是/ BCA的平分線， 又有/ EDA=/ CDB求/ B的大小.【練】1如圖，：在'-I.' I'中，-I ' 的度數(shù)【例5】如圖把一三角形紙片沿/ 2之間的關(guān)系？DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE勺部時(shí),探索/ A、/ 1、D【練】將厶ABC沿 EF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處.1如圖1,試問(wèn)/ 1、/ 2與/ C之間

14、有何關(guān)系？為什么?2假設(shè)點(diǎn) 6在厶ABC的外部，如圖2所示，試問(wèn)/ 1、/ 2與/ C之間又有何關(guān)系?什么?C【例6】，如圖，AB/ CD AE平分/ BAC CE平分/ ACD,求/ E的度數(shù)【練】如圖4,/ 1+Z 2+Z 3+/4等于多少度【例7】如圖1，求證/ A+/ B=/ C+/ D如圖2，求證/ A+/ B+/ C=/ BDC圖4 如圖 3，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如圖 4，/ F=58°，那么/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如圖 5，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如圖 6, / A+/ 申/ C+/ D+/E+/ F+/G=

15、; 如圖 7，/ A+/ 由/ C+/ D+/E+/ F=；圖3圖1圖2EEC圖5圖6圖7【例8】 ABC的三個(gè)角的度數(shù)之比/ A:/ B:/ C=1: 3: 5,那么/ B? / C=【練】等腰三角形兩角的度數(shù)之比是1: 2，求頂角的度數(shù)?！纠?】如圖， ABC中，/ A=50°，點(diǎn)P是/ ABC與/ ACB平分線的交點(diǎn).1求/ P的度數(shù)；2猜想/ P與/ A有怎樣的大小關(guān)系？3假設(shè)點(diǎn)P是/ CBD與/ BCE平分線的交點(diǎn)，/ P與/ A又有怎樣的大小關(guān)系? 4假設(shè)點(diǎn)P是/ ABC與/ ACF平分線的交點(diǎn)，/ P與/ A又有怎樣的大小關(guān)系?2、 3、 4小題只需寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明

16、】【例 10 ABC中，/ BAC=100 .1假設(shè)/ ABC和/ ACB的角平分線交于點(diǎn) O,如圖1所示，試求/ BOC勺大小;2假設(shè)/ ABC和/ ACB的三等分線即將一個(gè)角平均分成三等分的射線相交于0, 0,如圖2所示，試求/ B0C的大?。?如此類推，假設(shè)/ ABC和/ACB的n等分線自下而上依次相交于 0, O, Q，如圖3 所示，試探求/ B0C的大小與n的關(guān)系，并判斷當(dāng)/ BOC=170時(shí)，是幾等分線的交線所成 的角.【例11】如圖， A0B的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是1求厶A0B的面積00, 0，A5, 0，B 1, 4，2假設(shè)0.A亮點(diǎn)位置不變，P點(diǎn)在什么位置時(shí)， 0AP的面積是

17、A0B的面積的2 倍.3假設(shè)B 1, 4不變，底邊在x軸上，那么底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么時(shí)，可使所得的三角形的面積是原來(lái)三角形的面積的2倍.【練】在平面直角坐標(biāo)系中， ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A- 1,0,B- 5, 0，C- 2, 3.1求 S2在y軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P,使pg 2SABC，假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；3直接寫(xiě)出厶PCA勺面積值【例 12】A(a,O),B(b,O), 點(diǎn) C在 y 軸上，且有 |a 4 (b 2)20JC11 *A°DK1求B.C的坐標(biāo);2如圖，AB/ CD,Q是CD上一動(dòng)點(diǎn)，CP平分/ DCB,BQ與CP交于點(diǎn)P,求DQ

18、BQBC卩假設(shè)S ABC 6,求C點(diǎn)的坐標(biāo)；值.【家庭作業(yè)】1、如圖，AD ABC的中線，BE為三角形 ABD中線,1/ ABE=15，/ BAD=35，求/ BED的度數(shù)；2在厶BED中作BD邊上的高；3假設(shè) ABC的面積為60, BD=5,那么點(diǎn)E到BC邊的距離為多少?2如圖2，求出/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F 的度數(shù).3、 1如圖，：在I' '中，D 是 AC上一 點(diǎn)，且.求:丄一的度數(shù).3如圖，：在等邊三角形 ABC中, D E分別在AB和AC上，且 相交于點(diǎn)P.求:的度數(shù)4. 在厶ABC A= 1 / C=1 / ABC BD是角平分線，求/2 25

19、.如圖1, A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，C(0, 2), D( 3, 2).1求厶BCD的面積.2如圖2，假設(shè) ACL BC,作/ CBA的平分線交 CO于點(diǎn) / CQP勺大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 .P,交CA于點(diǎn)Q判斷/ CPQ與圖1圖26. 1如圖， ABC中，BD平分/ ABC CF平分/ ACB的鄰補(bǔ)角/ ACE CF交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.試問(wèn)/ BAC.Z BDC和/ F之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明你的理由2如圖，/ 仁/2, AC平分/ BAO交y軸于點(diǎn)C,試問(wèn)/ 關(guān)系？說(shuō)明你的理由A落在點(diǎn)7. 如圖，點(diǎn) A- 3，2，B 2，0，點(diǎn)C在x軸上，將 ABC沿 x軸折疊，

20、使點(diǎn)D處.1寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)并求 AD的長(zhǎng)；2EF平分/ AED,假設(shè)/ ACF-Z AEF=15 ,求/ EFB 的度數(shù).第三講三角形全等根底【知識(shí)要點(diǎn)】1、 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等三角形的性質(zhì): 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。全等三角形的判定方法：12345三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成SSS；兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成SAS。有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)成ASA兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的的兩個(gè)三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)成AAS。斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。2、全等三角形

21、的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角也相等。3、三角形的全等變換1平移型變換：把全等三角形中的一個(gè)圖形沿某一直線方向平移而與另一個(gè)圖形重合 的變換規(guī)律，其根本模式如圖 12對(duì)折型變換：把全等三角形中的一個(gè)圖形沿某一直線翻折與另一個(gè)圖形重合的變換 規(guī)律，其根本模式如圖 23旋轉(zhuǎn)變換：把全等三角形中的一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與另一個(gè)圖形重合的變換規(guī)律，其根本模式如圖34復(fù)合型變換：把全等三角形中的一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)以上兩種變換才能與另一個(gè)圖形重合 的變換規(guī)律。其根本模式有：如圖41旋轉(zhuǎn)+平移；2對(duì)折+旋轉(zhuǎn)；3對(duì)折+平移。圖4【根底回憶】填空題每題3分,共30分1 如圖, ABC DBC,且/

22、A和/ D, / ABC和/ DBC是對(duì)應(yīng)角，其他對(duì)應(yīng)邊2. 如圖, ABD ACE,且/ BAD 和/ CAE, / ABD 和/ ACE, / ADB 和/ AEC 是對(duì)應(yīng)角 那么對(duì)應(yīng)邊.3. :如圖, ABC FED,且 BC=DE.那么/ A=,A D= .4. 如圖, ABD ACE,那么AB的對(duì)應(yīng)邊是 , / BAD的對(duì)應(yīng)角是 5. :如圖， ABE ACD, / B= / C,那么/ AEB=,AE= .6. :如圖，AC丄BC于C , DE丄AC于E , AD丄AB于A , BC=AE .假設(shè) AB=5 ,那么AD= .7. : ABC A'B '' A

23、'B'C'的周長(zhǎng)為12cm，那么 ABC的周長(zhǎng)為&如圖，：/仁/ 2 , / 3=/ 4 ,要證BD=CD ,需先證 AEBA EC ,根據(jù)是再證 BDE圣厶,根據(jù)是ABC9. 如圖，/ 1 = / 2，由AAS判定 ABDA ACD那么需添加的條件是 .10. 如圖，在平面上將 ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到厶A'BC'的位置時(shí)，AA ' BC，/ ABC=70那么/ CBC '為度.【例題解析】【例1】1以下說(shuō)確的個(gè)數(shù)有形狀一樣的兩個(gè)圖形是全等形；對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；全等三角形的面積相等；假設(shè)ABC DEF , DEF也C

24、. 2個(gè) MNP , 那么 ABC MNP . A . 0 個(gè)B . 1 個(gè)2假設(shè) ABC也厶DEF , DEF的周長(zhǎng)為13 , DE=3,EF=4，那么AC的長(zhǎng).A . 13B . 3C. 4D. 63A ABC 也厶 A B'A=80°，/ B=40°，那么/ C'的度數(shù)為丨.A. 80 °B. 40° C. 60° D. 120°4 2021, 7, 3分如圖以下條件中，不能 證明 ABDACD的是A. BD=DC, AB=ACC. / B=Z C,Z BAD = Z CADB. / ADB= / ADCD. /

25、 B=Z C, BD = D5 2021, 5, 4分以下命題中，真命題是丨.(A) 周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等；(B) 周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等；(C) 周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等；(D)周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等.【例3】2021, 16, 3分如下列圖，兩塊完全相 同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且/DAB=30有以下四個(gè)結(jié)論： AF丄BC :厶ADG ACF ；0為BC的中點(diǎn)； AG : DE= . 3 : 4,其中正確結(jié)論的序號(hào)是【練】202119,4分如圖，點(diǎn) B,C,F,E在同一直線上，1填“是'或“不是"2的對(duì)頂角，要使 ABC DEF，

26、還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是只需寫(xiě)出一個(gè).【例4】如下列圖，將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得AAB 1C1，將ABC 沿直線AB翻折得ABC2O 1問(wèn)MB1C1與 MBC2有何關(guān)系？C22求/ CACi的度數(shù)?！揪殹咳缦铝袌D，ABE和AADC是ABC分別沿著 / 2 ：/ 3=28 : 5 : 3,那么/ a的度數(shù)為A . 80 ° B . 100 ° C. 60 ° D . 45 °AB, AC邊翻折180°形成的，假設(shè)/ 1 :【例5】2021威海,6, 3分在厶ABC中，AB > AC,點(diǎn)D、E分別是邊 AB、AC的

27、中點(diǎn),點(diǎn)F在BC邊上,連接DE, DF, EF.那么添加以下哪一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定 BFD與 EDF 全等.A . EF / ABB . BF=CFRF(定能使 ABD ACD的條件是C. Z A=Z DFED.Z B=Z DFE【練】2021宿遷,7,3分如圖，Z 1 = Z 2，那么不,BA . AB= AC B . BD = CDC . Z B=Z C D . Z BDA = Z CDA【例6】(2021)如圖，C是線段 AB的中點(diǎn)，CD平分Z ACE , CE平分Z BCD , CD=CE .(1) 求證： ACD BCE ;假設(shè)Z D=50 °，求Z B的度數(shù).【練】AB

28、/ DE, BC/ EF, D, C在 AF上，且AD=CF,求證：【例7】如圖，D點(diǎn)在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)/ C。求證： ABE ACD 。2BD = CE【練】如圖，AB = DC , AC = DB , BE = CE,求證：AE = DE.【例8】：如圖，等腰ABC與ADE中, 求證：CE=BD。AB=AC , AD=AE，且/ CAB= / EAD?！揪殹浚喝鐖D，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上, 求證：/ E=Z F.AC = BD, AE 丄 AB , CD 丄 DF,AE = DF。DF【例8】如圖，在 ABC中，AD為/ BAC的平分線，DE丄AB于E, D

29、F丄AC于F。求證：DE=DF .【練】：如圖，AC BC于C , DE 長(zhǎng)？AC 于 E , AD AB 于 A , BC=AE .假設(shè) AB=5 ,求 AD 的【例9】在厶ABC中， ACB 90 , AC BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD MN于D，BE MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC也 CEB : DE AD BE ；(2) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，1中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請(qǐng)給出 證明；假設(shè)不成立，說(shuō)明理由圖1【家庭作業(yè)】1. 1假設(shè) ABC EFG，且/ B = 60°,/ FGE-Z E = 56°,那么/ A

30、 =度.2 ABC DEF , AB=5 , BC=4 , AC=3 , / C=9° ,那么DEF 中,最小的邊長(zhǎng)為 最大的角為度.2. 如圖，在 ABC中，D,E分別是邊 AC,BC上的點(diǎn)，假設(shè) AADB EDB EDC,那么Z3. 如圖，AB / CD,AD / CB,那么 ABC CDA 的依據(jù)是A. ASAB. SASC. SSSD.都不對(duì)4如圖，點(diǎn) B、E、C、F 在同一條直線上， AB=DE,AC=DF, BE=CF. 求證：/ A= / D。5:如圖，在 RtMBC中，/ BAC=90 °,AB=AC, P為BC延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，過(guò) B、C兩點(diǎn)分 別作直線AP

31、的垂線BE、CF，E、F分別為垂足.1求證：BE+CF=EF ；2假設(shè)P為線段BC上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，試問(wèn)：線段 BE、CF、EF的長(zhǎng) 度之間是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫(huà)出圖形，并證明你的結(jié)論6如圖，AC，BD相交于點(diǎn) O, BO=DO，CO=AO，EF?過(guò)點(diǎn)0?分別交BC，AD于E，F(xiàn)， 據(jù)此你能得出什么結(jié)論？寫(xiě)出思考過(guò)程.第四講三角形全等綜合【知識(shí)要點(diǎn)】1熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決幾何問(wèn)題2 熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)與判定解決幾何問(wèn)題 歸納與總結(jié)1全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角也相等2. 全等三角形的判定方法 ：SSS SAS ASA、AA

32、S、HL.3證明線段相等的方法：(1) 可證它們所在的兩個(gè)三角形全等(2) 運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理(3) 等角對(duì)等邊；(4) 等腰三角形的三線合一；(5) 運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理等式的性質(zhì)4. 證角相等的方法：(1) 同角的余角(補(bǔ)角)相等；(2) 對(duì)頂角相等；(3) 平行線的性質(zhì)；(4) 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(5) 角平分線性質(zhì)定理的逆定理(6) 等邊對(duì)等角；(7) 等式的性質(zhì).【例題解析】【例1】如圖，ABE ACD ,1說(shuō)出這兩個(gè)三角形中所有的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角2指出圖中所有相等的線段，并說(shuō)明理由?！揪殹?、如圖， ABC ADE求證： BAD CAE2、如圖，直線AD、BC交于

33、點(diǎn)O , AOB DOC，判斷直線AB、CD的關(guān)系3、如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，且ABE1求證：BD AC2求DE的長(zhǎng)DBC， AB 7 cm， BC 3cm【例2】如圖，AB CD，AC BD，求證：A D【練】1、如圖，在色ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn),平分 ADB交AB于E ,求 EDF的度數(shù)AD CD，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，DE2、如圖，D是BC上一點(diǎn)，AB AD，BCDE AC AE求證： C E ； CDEBAD【例3】如圖，D、E分別為AB、AC上兩點(diǎn)，AD AE , BD CE，求證： B C【練】1、如圖，在等邊 崔ABC中，D、E分別為AC、AB上兩點(diǎn)，CD AE , B

34、D與CE交于點(diǎn)01求證：BD CE2求 BOC的度數(shù)2、如圖，銳角ABC中，BE、CF分別是高線，在高BE上截取BMAC，在高CF延長(zhǎng)線上截取 CN AB，連AM、AN，求證： AM AN : MAN 90M【例4】如圖，在Rt ABC中,ACB 90，CA CB，過(guò)C點(diǎn)作直線丨，AD l于l點(diǎn)D , BE l于點(diǎn)E，求證：AD EB DE【練】1、如圖，在 ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，分別過(guò) B、C作BE AD于E ,CF AD 于 F，且 AD 10，求 AE AF 的長(zhǎng)。F2、如圖，AD / CB，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，AE、BE分別平分 DAB、 CBA , BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F ,求

35、證：AE BE二AB AF二AD BC AB【例5】如圖,BAC CDB 90，AC DB，求證：BA DC【練】1、如圖， A 90，AB BD，ED BC 于 D，求證：ED CE AC2、如圖，AE BC 于 E , DFBC 于 F , AEEBDCDF , AB DC , AC 與 BD 有怎樣的關(guān)系?【家庭作業(yè)】1 如圖，AB=AD , AE=AC，/ 1 = / 2。求證：/ E= / C2、A、B、C在同一直線上,DB=CB，EB=AB，EC=AD，/ EBC=120° 求/ 1 的度數(shù)匚AE=CF，過(guò)點(diǎn)E、F分別作DE丄AC , BF丄AC，假CA3、如圖，A、E、

36、F、C在同一直線, 設(shè)AB=CD，求證：BD平分EFo4、，AD為AABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F,且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證:BE 丄 AC o5、如圖， AABC中，/ A=90° AB=AC，過(guò)A在ABC外任作直線丨，BE丄l于E, CF 丄丨于F。 求證：EF=BE+CF ; 假設(shè)丨為經(jīng)過(guò)ABC部的一條直線，其它條件不變，中的結(jié)論是否成立？畫(huà)出符合題 意的圖形并證明。BC第五講角平分線【根底回憶】1. 角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊 相等。2. 角的平分線性質(zhì)的逆用：角的部到角的兩邊 的在角的平分線上，所以角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的

37、所有點(diǎn)的集合。3./如圖，在 ABC 中，/ ACB=90° ,BC交AB于E,那么 ACAE4.如圖， ABC中，/ C=90° AC=BC , AD為/ BAC的平分線，DE丄AB，垂足為E,AB=10，那么 DEB的周長(zhǎng)為?！镜淅馕觥?、利用角平分線條件向兩邊作垂線構(gòu)造全等【例1】：如圖，在 ABC中，/ C=90 , AD平分 BAC ,1假設(shè)BC=16 , BD=10，求點(diǎn)D到AB的距離.2假設(shè) BC=16 , BD : CD=5 : 3，求點(diǎn) D 到 AB【例2】如圖，在四邊形 ABCD中，AD=DC , BD平分/ ABC，求證：/ A+ / C=180C【

38、練】1.如圖，在四邊形 ABCD中，/ A+ / C=180 , BD平分/ ABC，求證：AD=DCC2.如圖，在四邊形ABCD中,1求證：BE=丄AB+BC2DE 丄 BC 于 E, BD 平分/ ABC，假設(shè)/ A+ / C=180°,E二、利用角平分線截長(zhǎng)補(bǔ)短【例3】如圖，在 ABC中，B 60，AD、CE分別平分 BAC、 的交點(diǎn)為F .求證：FE FD .BCA，且 AD 與 CEC【練】在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn)求證:AB AC PB PC .【例 4】如圖：AB / CD, / 1 = / 2, / 3 = / 4.求證:

39、BC =AB + CD找D圖2三、利用“角平分線+垂直這一條件構(gòu)造全等三角形【例5】如下列圖，在 ABC中，/ ABC=3 / C, AD是/ BAC的平分線，BE丄AD于F,求證：BE 1(AC AB)2【練】：如圖，AB=AC，/ BAC=90，/ 1 = / 2, CE丄 BE,求證：BD=2CE .四、根本圖形：【例6】：如圖，在 AABC中，/ C= 2/ B,Z 1 = Z 2，求證【練】如圖，在 ABC 中/ A=100° ,AB=AC，/ ABC五、角平分線的判定【例7】如圖，將厶ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) a角度到 ADE的位置，設(shè)BC與DE交；MA平分/ DMC于

40、M點(diǎn)，連接AM.以下結(jié)論：BC=DE ；/ BAEa ；/ DMBa其中正確的結(jié)論有A .B.C .D.CA . AB > AD + BCB . AB = AD + BCC. AB v AD + BCD .無(wú)法確定2. 如圖 5,A ABC 中，/ C=90° AD 平分/ BAC , DE丄 AB 于 E, BC=8 cm, BD=5 cm, 那么DE=cm3 .如圖 6, / A = 90 ° BD 平分/ ABC, AD = 3cm, BC = 6cm,那么 BDC 的面積為AB=AC , AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 AC , E、F

41、 為垂足，那4.如圖， ABC中， 么以下四個(gè)結(jié)論： AD上任意一點(diǎn)到 AB、AC的距離相等； AD上任意一點(diǎn)到C、B兩點(diǎn)的距離相等; AD 丄BC 且 BD=CD ； / BDE= / CDF ;其中正確的個(gè)數(shù)有丨B . 2個(gè)C . 3個(gè)D . 4個(gè)【家庭作業(yè)】5，如圖，P為/ AOB平分線OP上一點(diǎn),求證：OA+BO=2OCPC 丄 OA 于 C ,Z OAP+ / OBP=180°。PB1如圖4，四邊形ABCD中，假設(shè)/ DAB的平分線AE交CD于E,連結(jié)BE，且BE恰 好平分/ ABC，那么AB的長(zhǎng)與AD + BC的長(zhǎng)的大小關(guān)系是第六講軸對(duì)稱與其變換【根底回憶】1 軸對(duì)稱：軸

42、對(duì)稱指把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去，假設(shè)它能夠與另外一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形成 這條直線叫，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫 。2.軸對(duì)稱的主要性質(zhì)1關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是 ;2假設(shè)兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的 ，兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。3假設(shè)兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線 ，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。3 垂直平分線的性質(zhì)定理與其逆定理1線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的 ;2到線段 的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上?！纠}解析】2畫(huà)圖：試畫(huà)出以下正多邊形的所有對(duì)稱軸，并完成表格,、軸對(duì)稱的定義與性質(zhì)【例1】1填表：圖形對(duì)稱軸個(gè)數(shù)圖形對(duì)稱軸

43、個(gè) 數(shù)圖形對(duì)稱軸個(gè)數(shù)等腰三角形長(zhǎng)方 形等腰 梯形等邊三角形正方 形圓正多邊形的邊數(shù)34567對(duì)稱軸的條數(shù)根據(jù)上表，猜想正 n邊形有條對(duì)稱軸。【練】1 如圖，以下列圖案是我國(guó)幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對(duì)稱圖形有©GA . 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè)D. 4個(gè)2、如以下列圖，左邊是一只停泊在平靜水面上的小船，它的倒影'應(yīng)是亠亍亍亍AB.C.D.二、軸對(duì)稱畫(huà)圖【例2】1畫(huà)出線段 AB的中垂線。2在AB上找一點(diǎn)P,使P到M、N兩點(diǎn)的距離相等3等。如圖，A、B、C三點(diǎn)表示三個(gè)工廠，要建一個(gè)供水站，使它到這三個(gè)工廠的距離相4如圖，li、 等，且到P、【例(1)(2)12交于A點(diǎn)，P、Q的位

44、置如下列圖，試確定 Q兩點(diǎn)的距離也相等。三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱3】如圖， ABC中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A 1, 4、B 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線 I : x=-1 ；作出 ABC關(guān)于直線I對(duì)稱的 A B'并寫(xiě)出對(duì)稱點(diǎn) A'、B'、 C勺坐標(biāo)【練】如圖：寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo). 假設(shè) ABC各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變， 縱坐標(biāo)都乘以-1，請(qǐng)你在同一坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A'、B'、C,并依次連接這三個(gè)點(diǎn)，所得的厶A B'與原 ABC有怎樣的位置關(guān)系？ 在的根底上，縱坐標(biāo)都不變，橫坐標(biāo)都乘以-1 ,在同一坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A、B、C，并依次連接這三個(gè)點(diǎn)，所得

45、的厶 A B與原 ABC有怎樣的位置關(guān)系？【例4】1點(diǎn)M一 2, 1關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)是點(diǎn)A 1 , - 3關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是 點(diǎn)C一 2, 2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn) D的坐標(biāo)是 2點(diǎn)A一 1,1丨關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是： 點(diǎn)C2,- 1關(guān)于直線y= 1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是： 【練】1點(diǎn)P一 5, 1丨關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是2點(diǎn)Ax, 4與點(diǎn)B 3, y關(guān)于y軸對(duì)稱，那么x+ y的值為.3點(diǎn)M-2, 1丨關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)是 ，直線MN與X?軸的位置關(guān)艮是;點(diǎn)P 1, 2關(guān)于直線y=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .四、垂直平分線的綜合應(yīng)用【例5】如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿AC折疊，得到如下列

46、圖的圖形,DOC的大小是A. 40 ° B. 50 °C. 60 °D . 70ACB = 35°,那么【練】如圖，在 ABC的邊BC上取一點(diǎn)D，邊AC上取一點(diǎn)E使得 ABD沿AD翻折后，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 丘，將厶CDE翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好是點(diǎn)A，那么/ C= ; AC= AB.【例6】如圖，點(diǎn) 線段MN交OA、P在/ AOB的部，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線 OA、OB的對(duì)稱點(diǎn),OB于點(diǎn)E、F，假設(shè) PEF的周長(zhǎng)是20cm，求線段 MN的長(zhǎng).【練】如圖，在 ABC中，AB=AC=14cm,邊AB的中垂線交AC于D ,BCD的周長(zhǎng)為24cm，求BC的長(zhǎng)【例

47、7】如圖，在 ABC中，DM、EN分別垂直平分 AC和BC ,交AB于M、N . 1 假設(shè) CMN的周長(zhǎng)為20cm，求AB的長(zhǎng)；2假設(shè)/ ACB=11O，求/ MCN的度數(shù).C圖 1ABCD2以下說(shuō)確的是A .任何一個(gè)圖形都有對(duì)稱軸；B 兩個(gè)全等三角形一定關(guān)于某直線對(duì)稱；C .假設(shè) ABC與厶A B'成軸對(duì)稱，那么 ABC A B' C'；D .點(diǎn)A，點(diǎn)B在直線丨兩旁，且AB與直線丨交于點(diǎn)0,假設(shè)AO=BO，那么點(diǎn)A與點(diǎn) B關(guān)于直線丨對(duì)稱.3. A-1 , -2和B 1 , 3，將點(diǎn)A向平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱.4. 一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)乘以-

48、1，得到的點(diǎn)與原來(lái)的點(diǎn)的關(guān)系是 .5. 如圖， ABC中，AB AC , A 30 , DE垂直平分AC ,那么 BCD的度數(shù)為A. 80B. 75C. 65D. 45 6 .如圖， ABE和 ACD是 ABC分別沿著 AB, AC邊翻折180形成的，假設(shè)BAC 150，那么的度數(shù)是.7.如圖，E ,以下結(jié)論1BD平分 ABC 2AD4D是AC中點(diǎn)，其中正確的個(gè)數(shù)是C. 3個(gè)ABC 中，AB AC，/ A = 36,AB的中垂線BD BC3DE交AC于D，交AB于BDC的周長(zhǎng)等于AB BC1試在2試在x軸上畫(huà)一點(diǎn)y軸上畫(huà)一點(diǎn)D. 4個(gè)CM，使其MP+MQ值最小;N，使其 NP=NQ ;；y第七

49、講 等腰三角形和等邊三角形【根底回憶】1、一個(gè)等腰三角形兩角的度數(shù)比為1:4,那么這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為A.20 °B.120 °C.20?；?120 °D.362、等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和9,那么第三邊長(zhǎng)為a,那么六3、右圖是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，假設(shè)中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是邊形的周長(zhǎng)是4、如圖，在 Rt ABC 中，/ B=90。，/ ACB=60 ° , D 是 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 AC=CD, 那么BC:CD=【例題解析】-、等腰三角形的性質(zhì)與判定【例1】如圖，ABC中，ABAC , E在AC上, AD和BE是高，它們相交于點(diǎn)

50、 H,且CAE BE，求證：AH 2BD【例2】如圖， ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)0給出以下三個(gè)條件：/ EBO= / DCO;/ BEO= / CDO; BE=CD.(1)上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形用序號(hào)寫(xiě)出所有情形ABC是等腰三角形(2)選擇第1小題中的一種情形，證明【練】求證：如果三角形一個(gè)外角的角平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等 腰三角形。二、等邊三角形的性質(zhì)與判定【例3】如圖，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上， ABC和厶CDE?都是等邊三角形.BE交AC于F, AD交CE于H ,求證：1 BCEACD . 2CF=CH 3

51、FH/BD【練】，如圖，延長(zhǎng)ABC的各邊，使得BF=AC,AE=CD=AB,順次連接D,E,F，得到ADEF為等邊三角形，求證：(" AEF CDE;(2) ABC為等邊三角形三、等腰直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用【例4】如圖，等腰Rt ABC中，AB=AC D為BC的中點(diǎn)，E、F分別在 AB AC上,且AE=CF. 求證：(1)DE=DF ;2/ EDF =90° .FEAB垂足,求證： DEF是等腰直角三角形【練】 ABC中，/ C=90 ,AC=BC,D是AB的中點(diǎn),E是BC上任一點(diǎn)，EP丄CB,PF丄AC,E、F為四、含30°的直角三角形【例5】如圖，直角 AAC

52、B中，/ ABC=90，/ BAC=30，而 AACD 和 ABE都是等邊三匚角形；AC、DE交于F。求證：FD=FE且CF=3AF【家庭作業(yè)】BD= CE,連接AD BE交于.135 °1如圖，等邊 ABC中，點(diǎn)D、E分別為BC CA上的兩點(diǎn)，且F點(diǎn)，那么/ FAE+Z AEF的度數(shù)是A. 60°B . 110°C . 120°D 2.如圖，點(diǎn)C是線段BE上一點(diǎn)，且AABC、AAEF都是等邊三角形1直接寫(xiě)出圖中以點(diǎn) A為頂點(diǎn)的相等的角； 2寫(xiě)出圖中與 CF相等的線段，并說(shuō)明理由3.如圖，在 ABC中，AB AC ,求證：EB 3EA4.如圖, ABC為

53、等邊三角形,QR丄AB于R, PQ丄AC于Q, RP丄BC于P,且AR= BP= CQ, 求證： RPQ為等邊三角形.5如圖，在等邊 ABC中，D是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)DM BC，求證 BM EM第八講期中復(fù)習(xí)選擇題1、以下“ Q表情"中屬于軸對(duì)稱圖形的是2、如下列圖， AB3A EFD, / B與/ F是對(duì)應(yīng)角，那么A. AB=DE, AC=EF, BC=DF B. AB=DF, AC=DE, BC=EFC. AB=EF, AC=DE, BC=DF D.AB=EF, AC=DF, BC=DE3、點(diǎn)P(2 , -3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是A.(2,3) B.(-2,-3) C.(-2,3) D.(-3,2)4、以下性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是A.兩邊之和大于第三邊B 有一