行列式的性質(zhì)及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上題目1摘要1正文1一.問(wèn)題的提出1二.排列1三.行列式1四.階行列式具有的性質(zhì) 2五.行列式的計(jì)算3(一)數(shù)字型行列式的計(jì)算3(二) 行列式的概念與性質(zhì)的例題6(三) 抽象行列式的計(jì)算6(四)含參數(shù)行列式的計(jì)算7(五)關(guān)于的證明 7(六)特殊行列式的解法8(七)拉普拉斯定理9參考文獻(xiàn)10致謝11外文頁(yè)12行列式的性質(zhì)及計(jì)算王峰摘 要 在線(xiàn)性代數(shù)中,行列式是一個(gè)重要的基本工具,直接計(jì)算行列式往往是困難和繁瑣的,特別當(dāng)行列式的元素是字母時(shí)更加明顯,因此熟練地掌握行列式的計(jì)算方法是非常重要的。行列式的重點(diǎn)是計(jì)算,應(yīng)當(dāng)在理解階行列式的概念,掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上,熟練正確地計(jì)

2、算三階,四階行列式,也會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的階行列式的值.計(jì)算行列式的基本方法是:按行(列)展開(kāi)公式,通過(guò)降階來(lái)實(shí)現(xiàn)。但在展開(kāi)之前往往先通過(guò)對(duì)行列式的恒等變形,以期新的行列式中能構(gòu)造出較多的零或有公因式,從而可簡(jiǎn)化計(jì)算,行列式計(jì)算的常用技巧有，三角化法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，公式法。關(guān)鍵詞 三角化法 遞推法 數(shù)學(xué)歸納法 公式法一.問(wèn)題的提出在實(shí)踐中存在許多解n元一次方程組的問(wèn)題，如 對(duì)于我們可以解出,但對(duì)于,我們有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知識(shí)。二.排列定義1 由1.2n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)級(jí)排列。n級(jí)排列的總數(shù)為（n的階乘個(gè)）。定義2 在一個(gè)排列中，如果一隊(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前

3、面的大于后面的數(shù)，那么它們就稱(chēng)為一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)。定義3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列。例1 決定以下9級(jí)排列的逆序數(shù)，從而決定它們的奇偶性解 逆序數(shù)為10，是偶排列。三行列式：定義（設(shè)為n階）：n階行列式是取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，它由項(xiàng)組成，其中帶正號(hào)與帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半，表示排列 的逆序數(shù)。四 n階行列式具有的性質(zhì)1性質(zhì)（1）行列互換，行列式不變。即。2性質(zhì)（2）一行的公因子可以提出來(lái)（或以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式）即=k特殊形式（如果行列式中一行為零，那么行列式為零）。3性質(zhì)（3）如果

4、某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外與原行列式的對(duì)應(yīng)行一樣。即。4性質(zhì)（4）如果行列式中兩行相同，那么行列式為零。（兩行相同就是說(shuō)兩行對(duì)應(yīng)元素都相同）。5性質(zhì)（5）如果行列式中兩行成比例。那么行列式為零。即。6性質(zhì)（6）把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。即7性質(zhì)（7）對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào)。即五.行列式的計(jì)算(一)數(shù)字型行列式的計(jì)算(四種方法)1.三角化法例2 計(jì)算行列式之值。解 從第1行開(kāi)始,依次把每行加至下一行,得例3 計(jì)算行列式之值。解 把每行均加至第一行,提出公因式,再把第一行的倍分別加到第二行至第n行,得2遞推法 例4 計(jì)算

5、行列式之值。解 把各列均加至第1列，并按第1列展開(kāi)，得到遞推公式繼續(xù)使用這個(gè)遞推公式，有 而初始值，所以 例5 計(jì)算行列式 之值。解 按第n行展開(kāi)，有 ，從而遞推地得到，對(duì)這些等式分別用1，,相乘，然后相加，得到 3數(shù)學(xué)歸納法例6 證明。解 我們對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，的左端為按第一行展開(kāi)，就得到所要的結(jié)論。假設(shè)對(duì)，即左端行列式的左上角是級(jí)時(shí)已經(jīng)成立，現(xiàn)在來(lái)看的情形，按第一行展開(kāi)，有+ 這里第二個(gè)等號(hào)是用了歸納法假定，最后一個(gè)是根據(jù)按一行展開(kāi)的公式。根據(jù)歸納法原理，式普遍成立。4公式法例7 計(jì)算行列式 之值。解 由于,故用行列式乘法公式，得因中，系數(shù)是+1，所以。（二）行列式的概念與性質(zhì)的例題例

6、8 已知是6階行列式中的一項(xiàng)，試確定的值及此項(xiàng)所帶的符號(hào)。解 根據(jù)行列式的定義，它是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和。因此，行指標(biāo)應(yīng)取自1至6的排列，故，同理可知。直接計(jì)算行的逆序數(shù)與列的逆序數(shù)，有。亦知此項(xiàng)應(yīng)帶負(fù)號(hào)。（三）抽象行列式的計(jì)算例9 已知都是4維列向量，且，則（ ）。解 中第1列是兩個(gè)數(shù)的和，用性質(zhì)3可將其拆成兩個(gè)行列式之和，再利用對(duì)換，提公因式等行列式性質(zhì)作恒等變行，就有于是。例10 若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為則行列式（ ）。解 由AB，知B的特征值是。那么的特征值是2，3，4，5.于是的特征值是1，2，3，4。有公式得，。（四）含參數(shù)行列式的計(jì)算例11 已知，求。解 將

7、第3行的-1倍加至第1行，有所以。（五）關(guān)于的證明解題思路：設(shè)證法；反證法：如從A可逆找矛盾；構(gòu)造齊次方程組，設(shè)法證明它有非零解；設(shè)法證矩陣的秩；證明0是矩陣A的一個(gè)特征值。例12 設(shè)(單位矩陣)，證明：。證法一：如，則A可逆，那么.與已知條件矛盾。證法二：由，有,從而的每一列都是齊次方程組的解，又因，故有非零解，從而。證法三：證同上，由于的每一列都是的解，所以，又因，故，所以。證法四：證同上，設(shè)是中非零列，則,則，0是A的特征值，故。(六)特殊行列式的解法1 范德蒙行列式定義：行列式稱(chēng)為n級(jí)的范德蒙行列式。例13 計(jì)算行列式之值。解 把1改寫(xiě)成，第一行成為兩數(shù)之和，可拆成兩個(gè)行列式之和，即分

8、別記這兩個(gè)行列式為和，則由范德蒙行列式得，故(七)拉普拉斯定理設(shè)在行列式D中任意取定了個(gè)行，由這行元素所組成的一切級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式。(其中：級(jí)子式：在一個(gè)級(jí)行列式中任意選定行列。位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)級(jí)行列式，稱(chēng)為行列式的一個(gè)級(jí)子式。余子式：在中劃去這行列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成的級(jí)行列式稱(chēng)為級(jí)子式的余子式。代數(shù)余子式：設(shè)的級(jí)子式在中所在的行、列指標(biāo)分別是則的余子式前面加上符號(hào)后稱(chēng)為的代數(shù)余子式)。例14 求行列式。解：在行列式中取定第一、二行，得到六個(gè)子式：它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式為根據(jù)拉普拉斯定理參考文獻(xiàn):1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代

9、數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).高等教育出版社，1988，51-96。2李正元 李永樂(lè) 袁蔭棠.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū).國(guó)家行政學(xué)院出版社，2005，347-363。3張賢科 許甫華.高等代數(shù)學(xué).清華大學(xué)出版社，2000。致 謝我的畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))撰寫(xiě)工作自始至終都是在陳軍老師全面、具體的指導(dǎo)下進(jìn)行的，陳軍老師淵博的學(xué)識(shí)、敏銳的思維、民主而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，使我受益匪淺，終生難忘，陳老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和對(duì)工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠(yuǎn)激勵(lì)和鞭策我認(rèn)真學(xué)習(xí)、努力工作。感謝我的指導(dǎo)教師陳軍對(duì)我的關(guān)心、指導(dǎo)和教誨！ 感謝我的學(xué)友和朋友對(duì)我的關(guān)心和幫助！Determinant of the nature and t

10、ermsWangFeng Directed by prof.chen JunAbstacrt Linear Algebra, is an important determinant of the basic tools, direct calculation determinant is often difficult and cumbersome, especially when the determinant element is even more apparent when the letters, so skillfully master determinant method of

11、calculation is very important .DeterminantThe focus is, should be determinant in order to understand the concept, master determinant nature on the basis of skilled correctly calculated third-order, fourth-order determinant, a simple calculation will be the determinant of the value of the order. Calc

12、ulate the basic determinant Is: by line (out) for the formula, through reduced order to achieve. However, often before the commencement of the first through the constant determinant, such as deformation, with a view to the new structure can be a determinant of zero or more of a common factor to simplify the calculation, the determinant of the calculation