MDSP第四章維納濾波和卡爾曼濾波

1、第二章 維納濾波和卡爾曼濾波2.1 引言 2.2 維納濾波器的離散形式時域解2.3 離散維納濾波器的z域解2.4 維納預測2.5 卡爾曼(Kalman)濾波2.1 引 言 在生產實踐中，我們所觀測到的信號都是受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，并將有用信號分離出來，是信號處理中經常遇到的問題。換句話說，信號處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號。相應的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，我們只考慮加性噪聲的影響，即觀測數據是信號與噪聲之和（如圖2.1.1所示），即 我們的目的是為了得到不含噪聲的信號，也稱為期望信號，若濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應為（如圖2.1.2所示），系統(tǒng)的期望輸出用表示，應等于信

2、號的真值；系統(tǒng)的實際輸出用表示，是的逼近或估計，用公式表示為，。因此對信號進行處理，可以看成是對期望信號的估計，這樣可以將看作是一個估計器，也就是說，信號處理的目的是要得到信號的一個最佳估計。那么，采用不同的最佳準則，估計得到的結果可能不同。所得到的估計，在通信中稱為波形估計；在自動控制中，稱為動態(tài)估計。假若已知，要估計當前及以后時刻的信號值，這樣的估計問題稱為預測問題；若已知，要估計當前的信號值，稱為過濾或濾波；根據過去的觀測值，估計過去的信號值，稱為平滑或內插。維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來解決這樣一類從噪聲中提取信號的過濾或預測問題，并以估計的結果與信號真值

3、之間的誤差的均方值最小作為最佳準則。維納濾波是在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事的需要由維納提出的。1950年，伯特和香農給出了當信號的功率譜為有理譜時，由功率譜直接求取維納濾波器傳輸函數的設計方法。維納濾波器的求解，要求知道隨機信號的統(tǒng)計分布規(guī)律（自相關函數或功率譜密度），得到的結果是封閉公式。采用譜分解的方法求解，簡單易行，具有一定的工程實用價值，并且物理概念清楚，但不能實時處理；維納濾波的最大缺點是僅適用于一維平穩(wěn)隨機信號。這是由于采用頻域設計法所造成的，因此人們逐漸轉向在時域內直接設計最佳濾波器的方法。早在20世紀40年代，開始有人用狀態(tài)變量模型來研究隨機過程，到60年代初，由于空間技術的

4、發(fā)展，為了解決對非平穩(wěn)、多輸入輸出隨機序列的估計問題，卡爾曼提出了遞推最優(yōu)估計理論。它用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)，即已知前一狀態(tài)的估計值和最近一個觀測數據，采取遞推的算法估計當前的狀態(tài)值。由于卡爾曼濾波采用遞推法，適合于計算機處理，并且可以用來處理多維和非平穩(wěn)隨機信號，現已廣泛應用于很多領域，并取得了很好的結果，但它只是維納濾波的一種算法?？柭鼮V波已經出現，就受到人們的很大重視，并在實踐中不斷豐富和完善，其中一個成功的應用是設計運載體的高精度組合導航系統(tǒng)5。前面講到，維納濾波和卡爾曼濾波都是采用最小方差估計，即采用最小均方誤差準則（MMSE，Minimum Mean Square Error）。一

5、般來講，均方誤差準則對大誤差抑制能力強，而對小誤差不敏感。下面我們首先介紹維納濾波的時域和復頻域的求解方法，然后介紹維納預測、特別是純預測問題的求解，最后介紹卡爾曼濾波的內容。2.2 維納濾波器的離散形式時域解設計維納濾波器的任務，實際上就是選擇，使其輸出信號與期望信號誤差的均方值為最小，即維納濾波器是一個均方誤差最小準則下的最小濾波器。維納濾波最初是對連續(xù)時間信號以模擬濾波器的形式出現的，爾后才有離散形式，這兩種形式解決問題的思路是基本一致的。在這里我們只討論離散維納濾波器，模擬維納濾波器的設計以習題的形式出現，共大家練習。假設濾波系統(tǒng)是一個線性時不變系統(tǒng)，它的單位脈沖響應和輸入信號都是復函

6、數，設定 2.2.1 維納濾波器時域求解的方法根據線性系統(tǒng)的基本理論，并考慮到系統(tǒng)的因果性，可以得到濾波器的輸出, 設期望信號為，誤差信號及其均方值分別為 要使均方誤差為最小，須滿足 這里，表示；同理，可以用分別表示。由于誤差的均方值是一標量，因此（2.2.5）式是一個標量對復函數的求導問題，它等價于 記 則(2.2.6)式可以寫為 將(2.2.8)式展開 又根據(2.2.1)(2.2.3)式 將(2.2.10)(2.2.13)式代入（2.2.9）式，得 因此 上式說明，均方誤差達到最小值的充要條件是誤差信號與任一進入估計的輸入信號正交，這就是通常所說的正交性原理。它的重要意義在于提供了一個數

7、學方法，用以判斷線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)。下面計算輸出信號與誤差信號的互相關函數 假定濾波器工作于最佳狀態(tài)，濾波器的輸出與期望信號的誤差為，把(2.2.15)式代入上式，得到 這樣，在濾波器工作于最佳狀態(tài)時，期望信號、估計值與誤差信號的幾何關系如圖2.2.1所示。圖中，用表示誤差信號所構成的向量，表示濾波器處于最佳工作狀態(tài)時，誤差信號所構成的向量。同理，表示期望信號所構成的向量，表示濾波器處于最佳工作狀態(tài)時，輸出信號所構成的向量。這樣的向量表示方法在第三章介紹最小二乘濾波器時，還要用到。圖2.2.1表明濾波器處于最佳工作狀態(tài)時，估計值加上估計偏差等于期望信號，即 注意我們所研究的是隨機信

8、號，圖2.2.1中各矢量的幾何表示應理解為相應量的統(tǒng)計平均或者是數學期望。再從能量的角度來看，假定輸入信號和期望信號都是零均值，應用正交性原理，則，因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時，估計值的能量總是小于等于期望信號的能量。2.2.2 維納霍夫方程將（2.2.15）式展開，可以得到 將輸入信號分配進去，得到對上式兩邊取共軛，利用相關函數性質：(或)，得到 (2.2.20)式稱為維納霍夫(WienerHopf)方程。當是一個長度為的因果序列(即是一個長度為的FIR濾波器)時，維納霍夫方程表述為 把的取值代入(2.2.21)式，得到 定義 （2.2.22）式可以寫成矩陣的形式，即 對上式求逆，得到 上式表

9、明已知期望信號與觀測數據的互相關函數及觀測數據的自相關函數時，可以通過矩陣求逆運算，得到維納濾波器的最佳解。同時可以看到，直接從時域求解因果的維納濾波器，當選擇的濾波器的長度M較大時，計算工作量很大，并且需要計算的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實現時，濾波器的長度是由實驗來確定的，如果想通過增加長度提高逼近的精度，就需要在新M基礎上重新進行計算。因此，從時域求解維納濾波器，并不是一個有效的方法。2.2.3 估計誤差的均方值假定所研究的信號都是零均值的，濾波器為FIR型，長度等于，將(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到 上式可以進一步化簡得到 可以看出，

10、均方誤差與濾波器的單位脈沖響應是一個二次函數關系。由于單位脈沖響應為維向量，因此均方誤差是一個超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點存在。當濾波器工作于最佳狀態(tài)時，均方誤差取得最小值。將(2.2.24)式，即，代入(2.2.26)式，得到最小均方誤差 下面舉一個具體的數值例子，說明維納濾波器的求解方法。例2.2.1 設，是一白噪聲，方差。期望信號的信號模型如圖2.2.2(a)所示，其中白噪聲的方差，且。的信號模型如圖2.2.2(b)所示，。假定與、與不相關，并都是實信號。設計一個維納濾波器，得到該信號的最佳估計，要求濾波器是一長度為2的FIR濾波器。解 這個問題屬于直接應用維納霍夫方程的典型問題，

11、其關鍵在于求出觀測信號的自相關函數和觀測信號與期望信號的互相關函數。 根據題意，畫出這個維納濾波器的框圖，如圖2.2.3所示。 用和分別表示和的信號模型，那么濾波器的輸入信號可以看作是通過和級聯(lián)后的輸出，和級聯(lián)后的等效系統(tǒng)用表示，輸出信號就等于和之和。因此求出輸出信號的自相關函數矩陣和輸出信號與期望信號的互相關矩陣是解決問題的關鍵。相關函數矩陣由相關函數值組成，已知與不相關，那么(1) 求出期望信號的方差。根據圖2.2.2(a)，期望信號的時間序列模型所對應的差分方程為也即這里，由于的均值為零，其方差與自相關函數在零點的值相等。 其中，這是因為與不相關。 (2) 計算輸入信號和輸出信號的自相關

12、函數矩陣。根據自相關函數、功率譜密度和時間序列信號模型的等價關系，已知時間序列信號模型，就可以求出自相關函數。這里，信號的模型可以通過計算得到。這是一個二階系統(tǒng)，所對應的差分方程為 式中，。由于和的均值為零，因此，的均值為0。方程兩邊同乘以，并取數學期望，得到式中，這是因為為實信號。對方程（1）取m=1, 2，得到方程（2）、（3）、（4）聯(lián)立求解，得至此，輸入信號的自相關矩陣可以寫出：是一個零均值的白噪聲，它的自相關函數矩陣呈對角形，且，因此，輸出信號的自相關為(3) 計算輸出信號與期望信號的互相關函數矩陣。由于兩個信號都是實信號，故根據圖2.2.2系統(tǒng)的輸入與輸出的關系，有推出這樣將代入上

13、式，可得因此，輸出信號與期望信號的互相關為 求出輸出信號自相關矩陣的逆，并乘以，就得到維納濾波器的最佳解：把代入（2.2.27）式，可以計算出該維納濾波達到最佳狀態(tài)時均方誤差，即取得了最小值，2.3 離散維納濾波器的z域解下面從復頻域研究維納濾波器的求解方法。若不考慮濾波器的因果性，（2.2.20）式可以寫為設定，對上式兩邊做Z變換，得到 假設信號和噪聲不相關，即，則 （2.3.2）式可以寫成 （2.3.5）式表示，當噪聲為0時，信號全部通過；當信號為0時，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。把信號的頻譜用表示，噪聲的頻譜用表示，那么非因果維納濾波器的傳輸函數的幅頻特性如圖2.3

14、.1所示。 然而實際的系統(tǒng)都是因果的。對于一個因果系統(tǒng)，不能直接轉入頻域求解的原因是由于輸入信號與期望信號的互相關序列是一個因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問題轉化為非因果問題，求解方法將大大簡化。那么怎樣把一個因果序列轉化為一個非因果序列呢？ 回顧前面講到的時間序列信號模型，假設的信號模型已知（如圖2.3.2(a)所示），求出信號模型的逆系統(tǒng)，并將作為輸入，那么逆系統(tǒng)的輸出為白噪聲。一般把信號轉化為白噪聲的過程稱為白化，對應的濾波器稱為白化濾波器（如圖2.3.2(b)所示）。 (a) (b)圖 2.3.2 x(n)的時間序列信號模型及其白化濾波器具體思路如圖2.3.3所示。用白噪聲作

15、為待求的維納濾波器的輸入，設定為信號的白化濾波器的傳輸函數，那么維納濾波器的傳輸函數的關系為 因此，維納濾波器的傳輸函數的求解轉化為的求解。 圖 2.3.3 維納濾波解題思路下面仍然根據非因果維納濾波器和因果維納濾波器兩種情況進行分析。在下面的分析中，假定信號為實信號。首先，來看非因果維納濾波器的求解。2.3.1 非因果維納濾波器的求解假設待求維納濾波器的單位脈沖響應為，期望信號，系統(tǒng)的輸出信號，是的逆Z變換，如圖2.3.3所示。 其中，?？梢钥闯?，均方誤差的第一和第三項都是非負數，要使均方誤差為最小，當且僅當  因此g(n)的最佳值為 對上式兩邊同時做Z變換，得到 這樣，非因果維納

16、濾波器的最佳解為 因為，且，根據相關卷積定理(1.4.15)式, 得到 其中，。對上式兩邊做Z變換，得到因此 將上式代入(2.3.13)式，并根據的信號模型，得到非因果的維納濾波器的復頻域最佳解的一般表達式 假定信號與噪聲不相關，即當Es(n)v(n)=0時，有 對上邊兩式做Z變換，得到 把(2.3.17)式代入(2.3.15)式，得到 將（2.3.18）式和（2.3.19）式代入（2.3.16）式，得到信號和噪聲不相關時，非因果維納濾波器的復頻域最佳解和頻率響應分別為 下面我們推出該濾波器的最小均方誤差的計算，重新寫出(2.3.9)式的最佳解根據圍線積分法求逆Z變換的公式，用下式表示： 得出

17、 由復卷積定理 取，有 因此 把(2.3.23)式和(2.3.26)式代入(2.3.9)式，得到 將（2.3.19）式代入上式，得到 因為實信號的自相關函數是偶函數，即，因此 假定信號與噪聲不相關，則 由上式可以看出，維納濾波器的最小均方誤差不僅與輸入信號的功率譜有關，而且與信號和噪聲的功率譜的乘積有關，也就是說，最小均方誤差與信號和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關。2.3.2 因果維納濾波器的求解若維納濾波器是一個因果濾波器，要求 則濾波器的輸出信號 估計誤差的均方值類似于（2.3.9）式的推導，得到 要使均方誤差取得最小值，當且僅當 令 又由（2.3.15）式得到 所以因果維納濾波器的復頻域

18、最佳解為 維納濾波的最小均方誤差為 比較（2.3.28）式和（2.3.39）式，可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維納濾波器的最小均方誤差的形式相同，但公式中的的表達式不同，分別參見(2.3.16)式和(2.3.38)式。前面已經導出，對于非因果情況，對于因果情況，比較兩式，它們的第二項求和域不同，因為因果情況下，因此可以說明非因果情況的一定小于等于因果情況。在具體計算時，可以選擇單位圓作為積分曲線，應用留數定理，計算積分函數在單位圓內的極點的留數來得到。通過前面的分析，因果維納濾波器設計的一般方法可以按下面的步驟進行： (1) 根據觀測信號的功率譜求出它所對應的信號模型的傳輸函數，

19、即采用譜分解的方法得到。具體方法為，把單位圓內的零極點分配給，單位圓外的零極點分配給，系數分配給。 (2)求的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點，得。 (3) 積分曲線取單位圓，應用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計算，。例 2.3.1 已知信號和噪聲不相關，即，噪聲是零均值、單位功率的白噪聲()，求和。 解 根據白噪聲的特點得出，由噪聲和信號不相關，得到。對上式兩邊做Z變換，并代入已知條件，對進行功率譜分解：考慮到必須是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到(1) 首先分析物理可實現情況，應用公式（2.3.38）：令，的極點為0.8和2，考慮到因果性、穩(wěn)定性，僅取單位圓內的極點，為

20、的Z反變換。用Res表示留數，應用留數定理，有取因果部分，其中，。令 單位圓內只有極點，未經濾波器的均方誤差(2) 對于非物理可實現情況，應用公式(2.3.20)和(2.3.28)，有令單位圓內有兩個極點0.8和0.5，應用留數定理，有 比較兩種情況下的最小均方誤差,可以看出非物理可實現情況的最小均方誤差小于物理可實現情況的均方誤差。2.4 維納預測預測是根據觀測到的過去數據來估計當前或將來的信號值。維納預測是已知以前時刻的個數據，估計當前時刻，或者未來時刻的信號值，即估計，估計得到的結果仍然要求滿足均方誤差最小的準則。下面我們首先說明信號是可以預測的，并介紹預測的特點，然后討論維納預測的計算

21、方法，重點是純預測及一步線性預測問題的分析。首先，信號可以預測是由于信號內部存在著關聯(lián)性。預測是利用數據前后的關聯(lián)性，根據其中一部分推知其余部分。顯然，數據間關聯(lián)越密切，預測越準確；完全不關聯(lián)，則無法預測。以周期信號為例，只要知道一個周期，那么以后的信號就可以按照第一個周期完全無誤地預測出來。這表明周期信號是強關聯(lián)的。而白噪聲信號，其前后數據毫無關聯(lián)，使預測無所依據，因而無法預測。我們所研究的平穩(wěn)隨機信號，均值為常數，自相關函數只與時間間隔有關，說明信號內部是關聯(lián)的，因此可以進行預測。其次，系統(tǒng)是有慣性的。一個具有有理譜密度函數的信號，可以看作是白噪聲激勵一個線性系統(tǒng)的輸出。由此可以看到，輸入

22、是一個無關聯(lián)的信號，而輸出卻是一個關聯(lián)信號，或者說是非白色的信號，表明系統(tǒng)是有慣性的。因此，隨機信號之所以能夠預測，在于信號存在某些統(tǒng)計上的規(guī)律，對隨機信號進行預測，也只能利用隨機信號的統(tǒng)計規(guī)律作為預測的依據，因而不能做到精確預測，使預測誤差等于0，但可以從統(tǒng)計意義上做到最優(yōu)預測。這里我們選擇使預測誤差的均方值為最小作為最優(yōu)的標準?？紤]到實際獲得的信號是帶噪聲干擾的，這使得預測和濾波緊密相連，成為帶濾波的預測，或簡單地說，是預測濾波，而把不考慮噪聲干擾時的預測或不帶濾波的預測稱為純預測。下面首先來看維納預測的計算。2.4.1 維納預測的計算在維納濾波中，期望的輸出信號，實際的輸出為。在維納預測

23、中，期望的輸出信號，實際的輸出。前面已經推導得到維納濾波的最佳解為 其中，是觀測數據的功率譜；是觀測數據與期望信號的互功率譜，即互相關函數的傅里葉變換 對應于維納預測器， 其輸出信號和預測誤差信號分別為 同理，要使預測誤差的均方值為最小，須滿足 其中，表示。觀測數據與期望的輸出的互相關函數和互譜密度分別為 這樣，非因果維納預測器的最佳解為 因果維納預測器的最佳解為 維納預測的最小均方誤差為 從上面分析可以看出，維納預測的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。下面我們著重討論無噪聲的純預測問題2.4.2 純預測假設，式中是噪聲，且，期望信號為，此種情況稱為純預測。假定維納預測器是因果的，仍設與不相

24、關，純預測情況下的輸入信號的功率譜及維納預測器的最佳解分別為 純預測器的最小均方誤差為 應用復卷積定理 取，可得 將上式代入(2.4.13)式，并考慮到是因果系統(tǒng)，得到 可以看到，隨著增加，也增加。這一點也容易理解，當預測的距離越遠，預測的效果越差，偏差越大，因而越大。例2.4.1 已知其中， 求：(1) 最小均方誤差下的；(2) 。解 首先對進行功率譜分解。因為所以 其次，求出的Z反變換然后，應用Z變換的性質，得到 由，此時可以把純預測的維納濾波器看作是一個線性比例放大器（如圖2.4.1所示）。那么信號通過純預測維納濾波器，可以得到根據的信號模型可以寫出的時間序列模型所對應的輸入輸出方程 即

25、那么可得可以看出上式與（2.4.16）式相同。將信號通過純預測維納濾波器，隨著時間的遞增，可以得到 以上推導結果相當于在時刻，即去掉噪聲時的結果。設時，則 此時，從統(tǒng)計意義上講，當時，白噪聲信號對無影響。這一結論還可以推廣，對于任何均值為零的，要估計時，只需要考慮的慣性，即可認為，這樣估計出來的結果將有最小均方誤差。終值定理表明一個信號的功率譜在單位圓上沒有極點與信號均值等于0等價，因此對于功率譜在單位圓上沒有極點的信號，要估計時，可認為，即僅需要考慮的慣性，這樣估計出來的結果將有最小均方誤差。2.4.3 一步線性預測的時域解已知，預測，假設噪聲，這樣的預測稱為一步線性預測。設定系統(tǒng)的單位脈沖

26、響應為，根據線性系統(tǒng)的基本理論，輸出信號令，則 預測誤差 其中， 要使均方誤差為最小值，要求同維納濾波的推導過程一樣，可以得到 把(2.4.22)式代入(2.4.24)式，得到 由于預測器的輸出是輸入信號的線性組合，參見（2.4.21)式, 得到 (2.4.24)式說明誤差信號與輸入信號滿足正交性原理，(2.4.26)式說明預測誤差與預測的信號值同樣滿足正交性原理。預測誤差的最小均方值 將(2.4.25)式和(2.4.27)式聯(lián)立，得到下面的方程組： 將方程組寫成矩陣形式 這就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特點：(1) 除了第一個方程外，其余都是

27、齊次方程；(2) 與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測數據與期望信號的互相關函數。該方程組有個方程，對應地，可以確定和，共計個未知數，因此可用來求解AR模型參數。這就是后面要介紹的AR模型法進行功率譜估計的原理，它再一次揭示了時間序列信號模型、功率譜和自相關函數描述一個隨機信號的等價性。下面舉例說明，應用Yule-Walker方程，求解模型參數的問題。例2.4.2 已知為AR模型，求AR模型參數。解 求解AR模型參數包括確定AR模型的階數及系數。首先對做傅里葉反變換，得到的自相關函數，采用試驗的方法確定模型階數。首先取，各相關函數值由上式計算，并代入(2.4.29)式計算上式得到如果取，可計算

28、出，說明AR模型的階數只能是一階的。采用譜分解的方法，即對進行譜分解，得到的模型也是一階的，其時間序列模型和差分方程為2.5 卡爾曼(Kalman)濾波卡爾曼濾波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的，由狀態(tài)方程和量測方程所組成。卡爾曼濾波用前一個狀態(tài)的估計值和最近一個觀測數據來估計狀態(tài)變量的當前值，并以狀態(tài)變量的估計值的形式給出?？柭鼮V波具有以下的特點：(1) 算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時域內設計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計；離散型卡爾曼算法適用于計算機處理。(2) 用遞推法計算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律，因此信號可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，即

29、卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過程。(3) 卡爾曼濾波采取的誤差準則仍為估計誤差的均方值最小?？柭鼮V波是在克服以往濾波方法的局限性的基礎上提出來的，是濾波方法的重大演進?？柭鼮V波比維納濾波有以下優(yōu)點：在卡爾曼濾波中采用物理意義較為直觀的時間域語言，而在維納濾波中則采用物理意義較為間接的頻率域語言?？柭鼮V波僅需要有限時間內的觀測數據，而維納濾波則需要用過去的半無限時間內的全部觀測數據?？柭鼮V波可使用比較簡單的遞推算法，而維納濾波則需要求解一個積分方程?？柭鼮V波可以推廣到非平穩(wěn)隨機過程的情況，而維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機過程?？柭鼮V波所需數據存儲量較小，便于用計算機進行實時處理，而維納濾波的計算

30、復雜，步驟冗長，不便于實時處理。2.5.1 卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測方程假設某系統(tǒng)時刻的狀態(tài)變量為，狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為 其中，表示時間，這里指第步迭代時，相應信號的取值；輸入信號是一白噪聲，輸出信號的觀測噪聲也是一個白噪聲，輸入信號到狀態(tài)變量的支路增益等于1，即；表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時間發(fā)生變化，用表示第步迭代時，增益矩陣的取值；表示狀態(tài)變量與輸出信號之間的增益矩陣，可以隨時間變化， 第步迭代時，取值用表示，其信號模型如圖2.5.1所示。將狀態(tài)方程中時間變量用代替，得到的狀態(tài)方程和量測方程如下所示： 其中，是狀態(tài)變量；表示輸入信號是白噪聲；是觀測噪聲；是

31、觀測數據。為了后面的推導簡單起見，假設狀態(tài)變量的增益矩陣不隨時間發(fā)生變化，都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是和，并且初始狀態(tài)與都不相關，表示相關系數。即其中2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波是采用遞推的算法實現的，其基本思想是先不考慮輸入信號和觀測噪聲的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號（即觀測數據）的估計值，再用輸出信號的估計誤差加權后校正狀態(tài)變量的估計值，使狀態(tài)變量估計誤差的均方值最小。 因此, 卡爾曼濾波的關鍵是計算出加權矩陣的最佳值。當不考慮觀測噪聲和輸入信號時，狀態(tài)方程和量測方程為 顯然，由于不考慮觀測噪聲的影響，輸出信號的估計值與實際值是有誤差的，用 表示 為了提高狀態(tài)估計的質

32、量，用輸出信號的估計誤差來校正狀態(tài)變量 其中，為增益矩陣，實質是一加權矩陣。經過校正后的狀態(tài)變量的估計誤差及其均方值分別用和表示，把未經校正的狀態(tài)變量的估計誤差的均方值用表示 卡爾曼濾波要求狀態(tài)變量的估計誤差的均方值為最小，因此卡爾曼濾波的關鍵就是要得到與的關系式，即通過選擇合適的，使取得最小值。首先推導狀態(tài)變量的估計值和狀態(tài)變量的估計誤差，然后計算的均方值，并通過化簡，得到一組卡爾曼濾波的遞推公式。將（2.5.4）、(2.5.6)式代入（2.5.8）式 同理，狀態(tài)變量的估計誤差為 由上式可以看出，狀態(tài)變量的估計誤差由三部分組成，可記為 其中 那么，狀態(tài)變量的估計誤差的均方值就由9項組成： 其

33、中， 下面化簡的表達式，根據假設的條件，狀態(tài)變量的增益矩陣不隨時間發(fā)生變化，起始時刻為，則（2.5.3）式經過迭代，得到令，得到取，得到所以僅依賴于，與不相關，即又據(2.5.8)式和(2.5.4)式，得所以僅依賴于，而與不相關，即把（2.5.15）（2.5.19）式代入(2.5.14)式，中的9項可以分別化簡為 書上有誤也就是說，僅有其中的三項不為零，化簡成 為了進一步化簡，推導未經誤差校正的狀態(tài)估計誤差的均方值，由下面推導結果可以看出，是一對稱矩陣，滿足。 將(2.5.32)式代入(2.5.31)式，即把代入， 其中，是正定陣，記 令 將上式代入（2.5.33）式，得 將(2.5.26)式

34、后三項配對 第二項和第三項均與無關，第一項為一半正定陣，因此使最小的應滿足 將代入，得到最小均方誤差陣 將(2.5.7)、(2.5.22)、(2.5.29)式和(2.5.30)式聯(lián)立，得到一組卡爾曼遞推公式 假設初始條件已知，其中，那么，遞推流程見圖2.5.2。圖2.5.2 卡爾曼濾波遞推流程例2.5.1 已知信號與噪聲不相關，,求卡爾曼信號模型中的和。 解 由知道，。對進行譜分解，確定的信號模型，從而確定。根據，得出上式與卡爾曼狀態(tài)方程相比，不同之處在于輸入信號的時間不同，因此將改寫為再對進行譜分解，得到卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準則來實現信號濾波的，但維納濾波是在信號進入了

35、穩(wěn)態(tài)后的分析，卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進行濾波。對于平穩(wěn)隨機信號，當過渡過程結束以后，卡爾曼濾波與維納濾波的結果間存在什么關系呢？下面舉一例說明。例2.5.2 已知在時開始觀察，用卡爾曼過濾的計算公式求，并與維納過濾的方法進行比較。解 (1) 由功率譜及量測方程，確定卡爾曼遞推算法。首先對進行功率譜分解，由例2.5.1的結果，得到卡爾曼濾波的狀態(tài)方程為,確定由量測方程,確定，將參數矩陣代入卡爾曼遞推公式（2.5.30），得到 (2) 求出卡爾曼濾波的輸出。由卡爾曼遞推公式，以及，可得到（表示迭代次數），迭代流程為：。由具體迭代結果可以看出，原先的增益矩陣，由于只選擇了一個狀態(tài)變量，

36、變成了加權系數。見表2.5.1。表2.5.1 Kalman濾波迭代結果(3) 求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解。將(2.5.46)式代入方程(2.5.48)，得到第5個方程 將方程(2.5.47)、(2.5.49)代入方程(2.5.48)，消去，可以得到的遞推關系：化簡上式，得到要求的是穩(wěn)態(tài)解，因此將都用代替，得到根據，可以確定達到穩(wěn)態(tài)后的卡爾曼濾波的狀態(tài)方程： (4) 用維納濾波的方法分析。采用功率譜分解的方法，得到的時間序列信號模型的傳輸函數：上式說明是一階AR模型，對做反變換得到 比較（2.5.33）式和（2.5.50）式，可以看出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解與維納解是相等的。(解畢) 通過上面的例題，可以

37、看出維納濾波是已知前個觀測數據及信號與噪聲的相關函數，通過建立模型的方法分析的?？柭鼮V波要求已知前一個時刻的狀態(tài)估計值和當前的觀測值，由狀態(tài)方程和量測方程遞推得到結果。維納濾波的解以的形式給出，卡爾曼濾波是以狀態(tài)變量的估計值給出解的形式。它們都采用均方誤差最小的準則, 但卡爾曼濾波有一個過渡過程，其結果與維納濾波不完全相同，但到達穩(wěn)態(tài)后， 結果相同。2.5.3 應用舉例 下面舉一個雷達跟蹤目標物的例子說明卡爾曼濾波的應用。 雷達跟蹤目標的基本原理是通過發(fā)射脈沖，根據接收到的脈沖與發(fā)射脈沖的時間間隔，來確定目標物的距離和速度。 由于干擾的影響，接收到的脈沖波形變化很大，那么一次的測量結果可能存

38、在很大的誤差。為了減小誤差，往往采取發(fā)射一串脈沖的方法進行測量。 我們知道，空間中的一點需要由徑向距離和方位角來確定。 假設雷達跟蹤的目標為飛行器，發(fā)射的脈沖時間間隔為T，在時間k，徑向距離為R+(k)，在時間k+1，距離為R+(k+1)， 兩者之間有秒的延時，因此T表示空間一次掃描的時間間隔。 平均距離用R表示，(k)和(k+1)表示對平均值的偏差。 假定偏差是統(tǒng)計隨機的，均值為零, 那么可以寫出距離方程 式中，表示速度。用u表示加速度，則可以得到加速度方程 假定加速度u(k)是零均值的平穩(wěn)白噪聲，即滿足 為了后面敘述方便，定義x(k)表示第k個雷達回波脈沖獲得的目標距離，z(k)表示在第k

39、個雷達脈沖進行數據處理之后的目標距離估計，z(k)表示在第k個雷達脈沖進行數據處理之后的目標速度估計。設定狀態(tài)變量為x(k)，選擇的狀態(tài)變量有4個， 分別表示徑向距離、徑向速度、方位角和方位角速度，即  根據狀態(tài)變量的物理含義，得到以下方程： 式中，u1(k)和u2(k)表示在區(qū)間T徑向速度和方向的變化。 將上式寫成矩陣形式 由此得到卡爾曼濾波信號模型的狀態(tài)方程 再來看量測方程， 距離和方向的估計值為 這里v1(k), v2(k)為觀測偏差，將上兩式分別寫成向量形式和矩陣形式: Z(k)=CX(k)+V(k) 觀測噪聲V(k)假定為高斯噪聲，均值為0，方差為2和2 。 狀態(tài)方程激勵信

40、號的協(xié)方差陣為 其中， ,為徑向加速度在T時刻的方差； , 為角加速度在T時刻的方差。 量測方程的噪聲協(xié)方差陣 為了簡單起見，假定在各個方向，加速度服從均勻分布， 其概率密度函數 ，并將u的值限制在±M之間， 那么， 加速度的方差 根據誤差信號協(xié)方差陣P(k)的定義 P(k)=Ee(k)eT(k) 可以計算出，單個信號的均方誤差和兩個信號的協(xié)方差矩陣分別為 根據接收到的相鄰兩個回波脈沖，可以測量出飛行器的距離z1(1)和z2(2)，方位角z2(1)和z2(2)。根據這四個數據，用(2.5.35)式計算狀態(tài)變量 因此，k時刻的狀態(tài)向量 可以寫為 取k=2,將上式中的觀測信號z1(1),

41、z1(2),z2(1),z2(2)用(2.5.37)式代入，得到狀態(tài)變量 根據(2.5.35)式, k=2時的狀態(tài)向量為 計算k=2時刻的協(xié)方差陣 式中，因此，誤差協(xié)方差陣是4×4階矩陣，假設噪聲源u和v是獨立的， 則協(xié)方差陣為 其中，2.5.4 發(fā)散問題及其抑制 從理論上講，卡爾曼濾波的遞推算法可以無限地繼續(xù)下去。 然而在實際問題中的某些條件下，可能產生發(fā)散問題。也就是說， 實際應用中發(fā)現估計誤差大大地超過了理論誤差的預測值， 而且誤差不但不減小，反而越來越大，即不收斂。 導致發(fā)散的一個原因是舍入誤差的影響以及遞推算法使得舍入誤差積累的影響。計算機存貯單元的長度有限， 使得舍入誤差

42、不可避免地存在，它相當于在狀態(tài)方程和量測方程中又加入了噪聲，帶來的后果是有可能改變某些矩陣的性質， 引起誤差矩陣失去正定性和對稱性。如果均方誤差陣受到擾動而離開穩(wěn)定解，只要它沒有失去正定性，那么仍可能返回穩(wěn)定解。 舍入誤差引起的發(fā)散現象可以采用雙精度運算得以改善， 但運算量要增加許多。目前多采用平方根法， 即把遞推公式中的均方誤差陣P改用其平方根P1/2實現。具體的分析參見文獻16。 另一種類型的發(fā)散問題是由于待估計過程模型的不精確引起的。人們在設計卡爾曼濾波時，認為分析過程是按某一規(guī)律發(fā)展的，但實際上是按另一規(guī)律演變的。如假定待分析過程的模型是一隨機數，而實際過程是一個隨機斜面，這樣濾波器將連續(xù)地試著用錯誤曲線去擬合觀測數據，結果導致發(fā)散。 當選擇系統(tǒng)模型不準確時，由于新觀測值對估計值的修正作用下降，陳舊觀測值的修正作用相對上升，是引發(fā)濾波發(fā)散的一個重要因素。 因此逐漸減小陳舊觀測值的權重，相應地增大新觀測值的權重，是抑制這類發(fā)散的一個可行途徑。常用的方法有衰減記憶法、限定記憶法、限定下界法