3跨考經(jīng)濟類聯(lián)考數(shù)學講義396線代

1、Born to win第一章 行列式模塊一：行列式一必備知識點1.基本概念【定義1.1】：由n個自然數(shù)1, 2, 3,., n組成的無重復有序?qū)崝?shù)組i1,i2 ,.,in稱為一個n級排列， 列共有n!個。n級排在一個n級排列中，如果一個較大數(shù)排在一個較小數(shù)前面，我們就稱這兩個數(shù)個逆序。排列i1,i2 ,.,in中逆序的總數(shù)，稱為n級排列i1,i2 ,.,in的逆序數(shù)，記作t(i1,i2 ,.,in) 。如果n級排列i1,i2 ,.,in的逆序數(shù)是偶數(shù)，則i1,i2 ,.,in稱為偶排列；如果n級排列i1,i2 ,.,in的逆序數(shù)是奇數(shù)，則i1,i2 ,.,in稱為奇排列。a11 a21.an1

2、a12 a22.an2.a1n a2n.ann【定義1.2】：由n2 個元素aij 組成n階行列式D=是一個計算公式，其計算結(jié)果稱之為不同列的n項乘積（這樣的乘積有n!項）的該行列式的值。該公式是由這n2 個元素aij 種所有取自不å(-1)t(i1 ,i2 , ,in) aD=a .a代數(shù)和：1i1 2i2nin 。i1 ,i2 , ,in注：1）要注意正確理 行列式的定義，行列式計算的結(jié)果是一個數(shù)字，該數(shù)字是n!項的代數(shù)和，這n!項中每一項都是陣中取自不不同列的n個元素的乘積，說代數(shù)和是由于每一項之前符號，符號由列數(shù)的排列i1,i2 ,.,in的逆序數(shù)決定：當i1,i2 ,.,i

3、n為奇排列時，前面加負號；當i1,i2 ,.,in為偶排列時，前面加正號。2）行列式的定義也可以寫成【 定 義aa.a11121na21.an1a22.an2a2n.annåj1 , j2 , , jn( j , j , , j )j11 j2 2jnnå( j , j , , j )+t(i ,i , ,i )tt=(-1).a=(-1)a aa a .a1 2n12n1 2nj1i1 j2i2jnin1.3】：將n階行列式中元素aij 所在的第i行和第 j列劃掉，我們可以得到一個n-1階行列式1a11 a21.a(i-1)1 a(i+1)1.an1a12 a22.a(i

4、-1)2 a(i+1)2.an2.a1( j-1)a2( j-1).a(i-1)( j-1)a(i+1)( j-1).an( j-1)a1( j+1)a2( j+1).a(i-1)( j+1)a(i+1)( j+1).an( j+1).a1n a2n.a(i-1)n a(i+1)n.ann式，記作M 。有加上符號的式(-1)i+ jM 稱之為元素a 的代數(shù)該行列式稱之為元素a 的式，ijijijij= (-1)i+ jM記作 A。i, jij2.基本性質(zhì)性質(zhì)一：將行列式的行和列互換后，行列式的值不變。注：這條性質(zhì)告訴我們，行列式中行與列是對等的，因此，后面所有的定理與性質(zhì)對行成立的，對列也都

5、成立。性質(zhì)二：將行列式的任意兩行（或兩列）互換位置后，行列式變號。 推論1：如果行列式有兩行（或兩列）相同，則行列式的值為0.性質(zhì)三：將行列式的某一行（或某一列）乘以一個常數(shù)k后，行列式的值變?yōu)樵瓉淼膋倍。推論2：如果一個行列式的某一行（或某一列）全為0，則行列式的值等于0.推論3：如果一個行列式的某兩行（或某兩列）元素對比例，則行列式的值等于0.性質(zhì)四：如果行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以寫成兩個元素的和，則該行列式可以寫成兩個 行列式的和，這兩個行列式的這一行分別為對應兩個加數(shù)，其他行與原行列式相等。即a11 a21.ai1 + bi1.an1a12 a22.ai2 + bi2.a

6、n2.a1n a2n.ain + bin.anna11 a21.ai1.an1a12 a22.ai2.an2.a1n a2n.ain.anna11 a21.bi1.an1a12 a22.bi2.an2.a1n a2n.bin.ann=+注：直接從定義出發(fā)計算行列式是比較將行列式為容易計算的形式。3.常用公式、定理1）行列式的展開定理的，時候，我們需要運用行列式的性質(zhì)對行列式進行變形，【定理 1.1】：行列式的值等于它任意一行（或列）所有的元素與其代數(shù)式的乘積之和：nnA = åaijAkijA = åaijAij= ai1Ai1 + ai2 Ai2 + . + ainAin

7、 ，= a1 jA1 j + a2 jA2 j + . + anjAnj 。j=1i=1推論：行列式中某一行（或列）所有元素與另一行（或列）對應元素的代數(shù)式的乘積之和為 0：2Born to winai1Ak1 + ai2 Ak2 + . + ainAkn = 0,i¹ k， a1 jA1k + a2 jA2k + . + anjAnk = 0, j¹ k 。注：行列式的展開定理在本章及后續(xù)章節(jié)重要意義。行列式的計算的角度來說，它給我們提供了利用低階行列式計算高階行列式的方法，由于行列式的階數(shù)越低，復雜度就越低，這其實告訴了我們計算 行列式的一個基本的思想：降階。2）常見的

8、行列式的計算公式acbd= ad-bc。）行列式：a1a2 b2 c2a3 b3 c3= a1b2c3 + a2b3+ a- a- a-）三階行列式： b13c2 。c1a110. 0.1a2a12 a22. 00a2,n-1.a1n a2n.anna11 a21.an10a22.an2.00.ann= a11a22 .ann）上（下）三角行列式：a11 a21.an1.a1,n-1 a2,n-1.0a1n0. 000.an1a1n a2n.ann.n(n-1) 2= (-1)a1na2n-1.an1 。an-1,n1a31a11anÕjia2a2a2a2=(a - a ) 。）行列

9、式：1:2:3:n:1£i< j£nan-1an-1an-1an-1.123n注：這些行列式的計算公式是我們計算更復雜的行列式的基礎(chǔ)。二考點精析與技巧點撥1.低階行列式的計算1）如果是或三階行列式，則可以直接由計算公式得到結(jié)果。2）如果是四階或四階以上的行列式（或部分不便于直接計算的三階行列式），則可以利用行列式的展開定理降階。展開之前，一般先利用行列式的性質(zhì)將行列式化到某一行（或列）只有一個非零元素的情形，再 按照這一行（或列）展開。2高階（ n階）行列式的計算1） 利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角或下三角行列式；2） 如果行列式中非零元較少，某一行（或列）僅有一

10、個或兩個非零元，則可以將行列式按照這一行（或 列）展開。注：要計算高階行列式，一定要觀察行列式中元素排列的規(guī)律，再利用行列式的性質(zhì)對其進行簡化。3與式相關(guān)的計算運用行列式按行或按列展開的定理。3三溫故知新1.對行列式定義的【例 1】：（1）已知a23a31aija64a56a15 是某 6 階行列式中的一項，試確定i, j的值和此項的符號 。（2）在 4 階行列式里含a23 ,a31 且符號為負號的 。【思路分析】：利用不不同列的限制條件確定行數(shù)與列數(shù)，再根據(jù)逆序數(shù)確定符號。【 】：（1） a23a31aija64a56a15 的行與列各自的關(guān)系可知道i= 4, j= 2 。因為t(23465

11、1) = 6 ，t(312465) = 3 ，故a23a31aija64a56a15 的逆序數(shù)為9 ，故此項的符號為負號。（2）在4階行列式里含a23 ,a31 ，則由行列式的定義知道，此a1ia23a31a4 j ，且i, j要么為 2, 4或4, 2 ，又根據(jù)此項符號為負號，則i31j為奇排列，故i= 4, j= 2 。x121x x 3112x203中 x3, x4 的系數(shù)。【例 2】：計算行列式D=2x【思路分析】：結(jié)合不不同列的限制找出所有含 x3 或 x4 的項，并按照行列式的定義根據(jù)逆序數(shù)確定符號。不同列的四項元素的乘積。在行列式 D的展開式【 】：行列式的計算公式中每一項都是其

12、中來自不× x，故 x4 的系數(shù)為1， x的3 次項也只有一項： (-1)t(2134)中， x的 4 次項只有一項：，故x3 的系數(shù)為-1。a bc d【例 3】：利用定義推導行列式的計算公式?！舅悸贩治觥浚簩懗雒恳豁?，再根據(jù)每一項的逆序數(shù)確定符號。a bc dt(1,2)的定義式中有兩項 ad 與 bc ， 其中 ad 的符號為 (-1)=1 ， bc 的符號為【】： 行列式(-1)t(2,1) = -1 ，故 ab = ad-bc。c d4Born to wina1100. 0a12.nn0. 0【例4】：利用定義推導上三角行列式n 的計算公式。.0.ann【思路分析】：由于行

13、列式的每一項都要求是 n項不項非零的元素。不同列元素的乘積，該行列式的定義式中只有一åj1 j2 . jn(-1)t( j1 j2 . jn) a=a .a【 】：據(jù)行列式定義知，原行列式1j1 2 j2njn 。該展開式通項 a1ja2j .anj 中 anjn 取自原行列式的第 n行，現(xiàn)第 n行除 ann 外，其余元素，故若12njn ¹ n，則對應的行列式展開式中那一項一定為零，求和時該項可不計，為此只要考慮 jn = n的項。同樣由于原行列式的第n-1 行中除an-1,n-1 及 an-1,n 外，其余元素，且因 jn 已取 n，從而只能取jn-1 = n-1，依次

14、類推，原行列式的n!項中出除了列指標 j1 j2 . jn = 12.n對應的又因t(12.n) = 0 故原行列式= a11a22.ann2.低階行列式的計算，其余項，a- b- 1b a000= 0 .【例 5】：設 a, b為實數(shù), 則當 a=, 且 b=時,- 1【思路分析】：行列式的第三列僅有一個非零元，可以按照第三列展開，再直接計算。ab a000a- bb = -(a2 + b2 ) = 0 .【 】： - b= -1所以a= b= 0 。a- 1- 1【例 6】：計算下列行列式：-5 7-9-6221992-3 541-1 2124721234234534564567（1）（2

15、）3130111102（3）【思路分析】：四階行列式?jīng)]有直接的計算公式，可以先按照行列式的展開定理將其降階為三階行列式再5進行計算。在展開之前，要先利用行列式的形式將行列式的某一行（或列）化為只有一個非零元的情形， 以簡化計算。在開始計算之前，最好先觀察一下行列式元素排列的規(guī)律，以利用行列式的性質(zhì)簡化計算.【 】：（1）四階行列式需要通過展開定理降為三階行列式來計算。展開之前需要利用行列式的性質(zhì)將行列式的某一行或某一列化為只有一個非零元的形式，然后再按照該行或列展開：-37-4-6-126126-= -´(- )=-1-1002-112200三階行列式可以直接計算，也可以再展開為更簡

16、單的行列式再計算：-1 1221-163033021-16303633原式= -1´ (-1)3+2= -9（2）注意到該行列式的元素每一行是按照等差的規(guī)律遞增的，為了利用這一規(guī)律，可以將第一行的-1倍12342345345645671123212331234123= 0 。加之其他行，則有（3）三階行列式可以直接計算，但行列式中第三行元素數(shù)值太大，計算量較大。注意到行列式的第三行 元素大致是第一行元素的100 倍，因此，可以將第一行元素的-100 倍加到第三行以簡化計算：-53-3-1 = 1´ (-1)3+ ´= 12= 1= -5 + 15 = 10 。12

17、112-12 + x22210022 - x22222 + y2222【例 7】：計算行列式2 - y【思路分析】：根據(jù)行列式元素的特點，利用行列式的性質(zhì)及展開定理求 ?！?】：6Borntowin2 + x2222 + x22 -222-0022220y02002 + y22-x-x2002 - y-yx0-x-x22 + y y-y2y020020= x -x-x-y-y0-y02 + y2= -x2= x2 y2-y-y112212 - x23322113359 - x2= 0 ?！纠?8】： 方程【思路分析】：四階行列式可以利用展開定理計算出它的值再代入方程中求 。注意到行列式的第一行

18、與第二行，第三行與第四行都很接近，故可以考慮利用這一特性?！?】：當 x= ±1 時，原行列式為 1，可知 x= ±1 為該方程的 ；11331-2 332211221131223 = 05811223355同樣，當 x= ±2 時，原行列式為= 0 ，可知 x= ±2 為該方程的。由行列式的定義可知，方程的左邊是一個四次多項式。由于四次多項式最多只有四個根，因此x= ±1 與x= ±2 為原方程的根。3.高階行列式的計算a011. 11a11.1, (ai ¹ 0,i= 1,., n)a2【例 9】：計算.an【思路分析】

19、：利用行列式的性質(zhì)將該行列式化為上三角或下三角行列式?！?】：注意到該行列式與上三角行列式比較接近，故可以考慮利用行列式的性質(zhì)將其三角化：即通過將-1 -1-1第 2, 3,., n+1 列的,.,分別加到第一列，即得到：a1 a2an7n-1- åi=10001a11.10aiæ1 öa1000.00an-1n-1å÷Dn = aa .aa -ç1 2n-10aaèi øi=120.注：“爪型”行列式是高階行列式中一種基本的類型，計算它的基本思路是“三角化”?？忌梢宰孕型茖б幌屡c它類似的下面行列式的計算公式：1

20、11.a1a011. 1b b a.bDn =, (ai ¹ 0,i= 1,.,n) 。a2.anabb a b.b.b bb (a¹ b,a,b¹ 0).a【例 10】：計算 b.b【思路分析】：該行列式有兩個基本的特征：一是行列式的每一行與每一列的元素是相同的，為了利用該 特點，可以將行列式的每一行元素均加至第一行，再提出公因子，就可以將第一行的元素全化為1；另一 個特點是，該行列式的每一行元素除了對角線以外全是b，因此，如果將第一行的 -1倍加至其余行，就會出現(xiàn)很多零，便于進一步的計算。和是一樣的。故可以考慮將 2 至n行所有元素均加至第【 】：方法一：注意

21、到行列式每行與每列元一行得(n-1)b+ ab b.b(n-1)b+ aa b.b(n-1)b+ ab a.b(n-1)b+ aa b b.bb a b.bb b a.b.b b b =.a.b b.a1b1a b.b1b a.b.1b b.a= ëé(n-1)b+ aûù b.b再注意到 2 至n行大多數(shù)元素均為b，故將第一行的-b倍加至 2 至n行得8Born to win100. 01a- b0. 010a- b. 0.100.原式= éë(n-1)b+ aùû= éë(n-1)b+ a&

22、#249;û (a- b)n-1a- b方法二：注意到該行列式每一行大多數(shù)元素都相同，相差只在對角線上，故可以考慮將第一行的 -1加到其它行得a b b.bb a b.bb b a.b.bbab- ab a- b 0.0b0a- b. 0.b00.b = b- a。.a.b- aa- b注意到這是前面講到過的“爪型”行列式，將其三角化得a+ (n-1)b 00. 0a b- a b- a.b- ab a- b 0.0b0a- b. 0.b00.b a-b 0.0b0a-b. 0.b00.= éë(n-1)b+ aùû (a- b)n-1 【例=

23、a- ba-b1+ a12 + a.n.12.2.n11】：計算n+ a【思路分析】：同上題?！?】：方法一：將 2 至n行所有元素均加至第一行得1+ a12 + a.n.12.112 + a.n.12.= én(n+1) +ù2.n2aú .ê2ëûn+ an+ an故將第一行的-i倍加至第i行（i= 2, 3,., n）得11a. 0.1én(n+1)én(n+1)ùù00原式= ê+ aú .= ê.+ aú an-122ëû&#

24、235;û0a方法二：將第一列的-1倍加至其它列可得91+ a1+ a-a a.0-a12 + a.n.12.2.n2.n0.a=。n+ a再將 2 至n行加至第一行得n(n+1) + a22.n1+ a-a a.0-a.0a. 0.00én(n+1)ù2.n0.a+ aú an-1 。= ê2ëû.a注：1）如果行列式的每行或每列的和一樣，也可以采取方法一：將所有行（列）加到第一行（列）。2）【例 10】與【例 11】中的行列式有一個共同的特點，每行（列）大部分元素（對角線上除外）等或是成比例的，一般的做法是方法二：根據(jù)比

25、例以將行列式化為爪型行列式。第一行或第一列的若干倍加到其他行或列，則可x-1x-1x.x-1【例 12】：計算Dn =. b2b1 + xbnbn-1bn-2【思路分析】：由于行列式的第一列只有兩個非零元，故可以將行列式按照第一列展開，得到遞推公式， 再進行計算?！?】：將行列式按照第一列展開得-1x-1x-1.()()n+1n+1D = xD+ b ´ -1= xD+ b ´ -1´(-1)= xD+ b 由該遞推公n-1n-1n-1n-1nnnnx-1式可得Dn-1 = xDn-2 + bn-1 ，再將其代回原公式可得= x(xD) + b+ b= x2D+

26、b x+ bDn-2n-1nn-2n-1nn() + b= x xD+ bx+ b = x3D+ b x2 + b x+ b2n-3n-2n-nn-n-n-n.=n-+ . + b x+ bn-nD = x+ b ，因此D = xn + bxn-1 + b xn-2 + bxn-3 +. + b x+ b 。n-1n11n12310Born to win1112333.n3.12n 3n.nn223223【例 13】：計算.n2n【思路分析】：從該行列式的形式很容易聯(lián)想到行列式，但它在形式上和行列式又有點區(qū)別。故應該利用行列式的基本性質(zhì)進行變形，再利用公式計算?！浚簭男辛惺降牡趇行提出i（ i

27、= 2,.,n）得【1112333.n3.12n 3n.nn11123.n12232.n2.12n-13n-1.nn-1223223= n! 1.1n2n再由行列是的計算公式可得：n-1n-2原式= n!Õ(n-i)Õ(n-1-i).(2 -1) = n!(n-1)!(n- 2)!.1!i=1i=1a a2 a3b+ c+ db b2 b3a+ c+ dc c2 c3a+ b+ dd d2d3【例 14】：計算a+ b+ c【思路分析】：根據(jù)行列式中元素的特點利用行列式的性質(zhì)進行變形，將其化作行列式。和均為a+ b+ c+ d ，故可以將第一行加到第四行：【 】：注意到行列

28、式的第一行與第四行對應元a a2 a3b+ c+ db b2 b3a+ c+ dc c2 c3a+ b+ dd d2d3ab b2 b31c c2 c31d d2 d31a2= (a+ b+ c+ d)a3a+ b+ c1再對后面的行列式經(jīng)過三次交換，把第四列換到第一列即得11b b2b31c c2c31d d2d3a原式= -(a+ b+ c+ d)a2a3= -(a+ b+ c+ d)(b- a)(c- a)(d- a)(c- b)(d- b)(d- c)式相關(guān)的計算4.與11a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33【例15】： 對行列式， 證明： 第一行的元素乘

29、以第二行的代數(shù)式再求和的結(jié)果a11A21 + a12 A22 + a13 A13 = 0 ?！舅悸贩治觥浚悍聪蜻\用行列式按行展開的定理?！?】：由于第二行元素的代數(shù)式在計算時會劃掉第二行的元素，因此第二行元素的代數(shù)式是和第二行元素的取值無關(guān)的。也就是說，我們改變第二行元素的取值是不影響該式的。a11a12 a12 a32a13 a13 a33我們把第二行元素改成a11,a12 ,a13 ，得到新的行列式 a11，根據(jù)行列式按行展開定理，這個新a31的行列式按照第二行展開之后就得到a11A21 + a12 A22 + a13 A13 。a11a12 a12 a32a13 a13 a33= 0 ，

30、故a11A21 + a12 A22 + a13 A13 = 0 。而由行列式的性質(zhì)可知， a11a31注：將本題的方法推廣，就可以證明行列式按行（按列）展開定理的推論：行列式中某一行（或列）所有元素與另一行（或列）對應元素的代數(shù)式的乘積之和為 0。同時，本題的證明過程也蘊含了我們在處理代數(shù)式相關(guān)的求和問題中的一個基本的思想：即反向運用展開定理，將若干個（或同列）代數(shù)式之和“升階”成為一個n階行列式，再利用行列式的性質(zhì)進行計算。-1 4321232121202A = -1【例 16】：設，則1（1） 2A11 + 3A12 + 4A13 + A14 = ；（2） A41 + A42 - 2A44

31、 = 。【思路分析】：同上。【 】：（1）本題是用第二行的元素乘以第一行對應元素的代數(shù)推論可知， 2A11 + 3A12 + 4A13 + A14 = 0式再相加，由行列式按行展開定理的（2）注意到需要計算的四行元素的代數(shù)式，它們在計算時都會劃掉第四行的元素。也就是說，改變第四行的元素不影響 A41 + A42 - 2A44 的取值?，F(xiàn)將 A41 + A42 - 2A44 看作 A41 + A42 + 0A43 - 2A44 ， 現(xiàn)將行列式的第四行改為對應的系數(shù)， 則有12BorntowinA41 + A42 +=。四實戰(zhàn)測試實戰(zhàn)測試題1.計算下列行列式1-435-12-3（2） -1-1-1

32、22（1）1x+ 2-3x+1x- 3> 0 ，求 x的取值范圍。2.設000.an1-a12.00a3(n-2).an(n-2)-a13-a23x- a0a2(n-1) a3(n-1).an(n-1)-a14-a24-aa1n a2n a3n.ann3.利用定義推導行列式的計算公式。x- a11-a21-ax- a22-a4. 設F(x) =31-a4132-a4233-a4334x- a44求(1) x4 的系數(shù)； (2) x3 的系數(shù)(3) 常數(shù)項5.計算下列行列式212212131-1 011134103100200300204395600（1） 199（2）301-1-1x-1

33、111x+11x+1-1-1-1（3）x-11-116.計算下列行列式13x- b b b.bb x- b b.bb bx- b.b.b b b.122222222232.222（2） D=（1）x- b.n0110110.1. 1計算Dn =7.。.0110 n´na c dab b b b答cdda，則 A=+ A + A + A =8. 已知D。414243444c ad c實戰(zhàn)測試題-152= 5´(-3) - (-1)´ 2 = -131【】：（1）-3-3-1´(- )´+ (-4)´(-1)´(-1)-1=（2

34、）2-(-4)´(-1)´1-1´(-1)´ 2 - 3´ 2 ´(-1) = -4- 3 ，則有 x2 + 2x- 3 > 0 ，x> 12【】：或 x< -3 。åj1 j2 . jn=(-1)t( j1 j2 . jn) aa .a3【】：據(jù)行列式定義知，原行列式1j1 2 j2njn 。a a .a，故若 j1 ¹ n，aa11該展開式通項中取自原行列式的第 行，現(xiàn)第 行除外，其余元素1j 2 jnjnj1n112n則對應的行列式展開式中那一項一定為零，求和時該項可不計，為此只要考慮 j1

35、 = n的項。同樣由于原行列式的第 2 行中除a1,n-1 及a2,n外，其余元素，且因 j1 已取n，從而只能取 j2 = n-1 ，a1na2,n-1.an-1,2an1 。這項列指標依次類推，可得原行列式展開式的n!項中除去為零的，僅剩下一n(n-1)n(n-1)排列的逆序數(shù)為t(n(n-1)(n- 2).1) =，故原行列式= (-1)a a.aa221n 2,n-1n-1,2 n114Borntowin】： (1) 含 x4 的(x- a )(x- a )(x- a )(x- a )4【11223344見 x4 的系數(shù)為1-a11 (x- a22 )(x- a33 )(x- a44

36、) - a22 (x- a11 )(x- a33 )(x- a44 )-a33 (x- a11 )(x- a22 )(x- a44 ) - a44 (x- a11 )(x- a22 )(x- a33 )(2) 含 x3 的：()見 x 的系數(shù)為- a + a + a + a311223344(3) 常數(shù)項，即為 x= 0 時的F(x) 值：-a11-a12-a22-a32-a42-a13-a23-a33-a43-a14-a24-a34-a44a11a12 a22 a32 a42a13 a23 a33 a43a14 a24 a34 a44F(0) = -a21= a21-a31-a41a31 a

37、4110310020410310000204-13-12-7-12=-7-8= -100 -8= 20005【】：（1）30130060021121-112111=（2）0033231401-133= 1´(-1)=-11= 3´(-1)= -18 。2101332033（3）-1-1x-11-11x-11111-1100x1x=40006【】：（1）15x- b b b.bx- b 2b- x 2b- x.2b- xb x- b b.bb bx- b.bb.b b b.b x- 2b0. 0b0x- 2b. 0.b00.=x-b b0x- 2bx+ (n- 2)b 00.

38、 0.b00.x- 2b 0.0= (x+ (n- 2)b)(x- 2b)n-1=x- 2b. 0x- 2b（2）-1 20. 0010.122. 2222. 2-1 00. 0223. 2010. 0. 011. 0222020. 0021.020.n- 2=.n0.= 2= -2i(n- 2)!n- 27【】：注意到該行列式的第一行和第一列都只有一個非零元，故將該行列式按照第一列展開得11110110.0110.1. 11. 1D = 1´(-1)1+2= -n.01.011010 (n-1)´(n-1)該行列式第一行也只有一個非零元，故可以再將它俺第一行展開：0110

39、1101. . 1Dn = -1´= -Dn-2 。.0110 (n-2)´(n-2)16Borntowin這樣，我們得到了關(guān)于Dn 的遞推公式。由于D1 = 0, D2 = -1。()= (-1)k ；k-1可知當n= 2k時， D = -D= . = -1D2k-22k2()k當n= 2k+1時， D= -D= . = -1D = 0 。2k+12k-11】： A14 + A24 + A34 + A44 = A14 .1+ A24 .1+ A34 .1+ A44 .18【a c dab b bbc d cda c- a d- c0bcd- c=0d- c 01c- a

40、d- c0d- c000= 1.(-1)= 00d- c17第二章 矩陣模塊一：矩陣及其運算一必備知識點1.基本概念æ a11ç aa1n öa1222.÷aa【定義2.1】：由m´ n個數(shù)a (i= 1, 2,.,m; j= 1, 2,.,n) 排列成的m行n列數(shù)表ç2n ÷ 稱21ç÷ij.ç a÷aaèmn øm1m2為m´ n矩陣，簡記為 A= (aij )。當n= m時， A也稱為n階方陣，m´nA 稱為 A的行列式。兩個矩陣 A= (

41、aij )B= (bij )，如果m= s,n= k 則稱它們?yōu)橥途仃嚒´ns´k如果兩個同型矩陣 A= (aij )B= (bij )對應的元素相等，也即m´nm´na= b (i= 1,.,n; j = 1,.,m) ，則稱這ijij矩陣 A與矩陣B相等，記作 A= B注：常見的矩陣有零矩陣：所有元素均為0的矩陣稱之為零矩陣，記為O.矩陣：主對角線上的元素均為1，其余元素均為0的矩陣稱之為矩陣，記作E.對角矩陣：主對角線以外的元素均為0的矩陣稱之為對角矩陣。主對角線上的元素均相等 的對角矩陣稱之為數(shù)量矩陣。上（下）三角矩陣：主對角線以下的元素全為

42、0的矩陣稱之為上三角矩陣；主對角線以上的元素全 為0的矩陣稱之為下三角矩陣。對稱矩陣：如果矩陣 A的轉(zhuǎn)置 AT 等于 A，則稱 A為對稱矩陣?！径x2.2】：設 A= (aij) ， B= (bij) 是兩個m´n矩陣，則定義矩陣C = (cij) = (aij + bij )為矩陣 A與矩陣B的和，記作C = A+ B。注：兩個相加的矩陣必須是同型的。【定義2.3】：設 A= (aij) 是一個m´n矩陣， k為任意實數(shù)，則定義kA= (kaij)(i= 1, 2,.,m; j = 1, 2,.,n) ， 稱之為矩陣的數(shù)乘?！径x2.4】：設 A= (aij)m´

43、;n， B= (bij)n´k（注意 A的列數(shù)和B的行數(shù)相等），定義矩陣C = (cij)m´n ，其中ncij = ai1b1 j + ai2b2 j + . + ainbnj = åaikbkj ，稱為矩陣 A與矩陣 B的的乘積，記作C = AB。k=1An = A×A.An如果矩陣 A為方陣（思考一下為什么要是方陣），則定義為矩陣 A的次冪。n個A【定義2.5】：設 A= (aij) 是一個m´n矩陣，定義n´ m矩陣B= (bij) = (aji ), (i= 1,.,m; j= 1,.,n) 為矩 陣 A的轉(zhuǎn)置，記作B= A

44、T 。18Borntowin簡單地說，轉(zhuǎn)置就是將矩陣原先的行換為對應的列之后得到的矩陣。2.基本性質(zhì)1 運算法則1）加法與數(shù)乘滿足如下性質(zhì)： 交換律： A+ B= B+ A；結(jié)合律： ( A+ B) + C = A+ (B+ C),k(lA) = (kl)A； 分配律： k( A+ B) = kA+ kB, (k+ l)A= kA+ lA。2）矩陣乘法與矩陣加法和數(shù)乘滿足如下公式：結(jié)合律： ( AB)C = A(BC) ；分配律： C( A+ B) = CA+ CB, (A+ B)C = AC+ BC； 數(shù)乘與乘法的結(jié)合律： (kA)B= A(kB) = k(AB) 。3）矩陣的轉(zhuǎn)置與矩陣的加法、數(shù)乘和乘法之間滿足如下的關(guān)系式：( A+ B)T = AT + BT, (kA)T = kAT, ( AB)T = BTAT 。 2 矩陣運算不滿足的運算法則1）矩陣乘法一般來說不滿換律。如令 A= æ 10 ö , B= æ 11 öæ 1則有 AB=1 ö, BA= æ 12 ö，ç 02 ÷ç 22 ÷ç 44 ÷ç 24 ÷èøèø