數(shù)據(jù)處理和力學(xué)實驗

1、一、測量與誤差一、測量與誤差二、測量的不確定度和測量結(jié)果的表示二、測量的不確定度和測量結(jié)果的表示三、有效數(shù)字及其運算規(guī)則三、有效數(shù)字及其運算規(guī)則四、實驗數(shù)據(jù)處理與作圖要求四、實驗數(shù)據(jù)處理與作圖要求 五、彎曲法測楊氏模量五、彎曲法測楊氏模量一、測量與誤差一、測量與誤差1.測量測量物理實驗離不開對物理量的測量，根據(jù)測量手段和方式的不同，將物理量的測量分為兩類1)直接測量直接測量：直接從儀器或量具上讀出待測量的大小。例：擺長L，天平稱質(zhì)量等。2)間接測量：間接測量：待測量的量值是由若干個直接測量量 經(jīng)過一定的函數(shù)運算后才獲得的量。例：鋼球體積V=1/6D3，g=4 2l/T2等。2.誤差誤差1)真值

2、與誤差真值與誤差真值：指在一定條件下，某物理量客觀存在的真實值。下列幾種情況可視為約定真值真值理論值：理論值：如三角形的內(nèi)角和為180等公認(rèn)值：公認(rèn)值：世界公認(rèn)的一些常數(shù)，如普朗克常量、阿伏 加得羅常量等。儀器精度由于 測量原理和方法限制測量者感官能力真值不可知。誤差：誤差：實驗測量值與客觀實際值（真值）的 不一致。測量值與真值之差定義 =x-x03. 誤差的分類誤差的分類1) 系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：產(chǎn)生誤差是單方向變化，如與標(biāo)準(zhǔn)值相比始終偏大，或者始終偏小。例：電表零點讀數(shù)等不正確的讀數(shù)方法。系統(tǒng)誤差的來源：系統(tǒng)誤差的來源：理論公式的近似性；例：儀器結(jié)構(gòu)不完善；例：天平的不等臂、溫度計的刻度不

3、準(zhǔn) 2sin411gL2Tm2環(huán)境條件的改變；例： 20C下校準(zhǔn)的儀器拿到- 20C下使用。測量者生理心理因素的影響。例：對標(biāo)志線的讀數(shù)總是偏 左或偏右、偏上或偏下。處理系統(tǒng)誤差問題是困難的：處理系統(tǒng)誤差問題是困難的：系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)雖有規(guī)律性，但對于不同的實驗其規(guī)律性不一樣，沒有完整、通用的處理計算公式。要求實驗者對研究對象的特殊規(guī)律性能充分掌握。需要學(xué)識，經(jīng)驗，技巧。2)隨機誤差隨機誤差：多次重復(fù)測量同一物理量，各次有差異，產(chǎn)生的誤差以不可預(yù)定的方式變化著，即時而大，時而小。整體來說，滿足高斯分布規(guī)律。 單峰性偶然誤差的三個特點： 對稱性 有界性4. 系統(tǒng)誤差和偶然誤差的關(guān)系系統(tǒng)誤差和偶然誤

4、差的關(guān)系 它們之間的區(qū)別不是絕對的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例：砝碼的誤差砝碼的誤差，對廠家是偶然誤差偶然誤差 對使用者是系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差0 xf（x）5.精密度、準(zhǔn)確度、精確度精密度、準(zhǔn)確度、精確度 精密度精密度描述重復(fù)測量結(jié)果之間的離散程度，反映隨機 誤差大小。 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度描述測量結(jié)果與真值的偏離程度，反映系統(tǒng)誤 差的大小。 精確度精確度準(zhǔn)確度和精密度的結(jié)合。 精密度最好精密度最好 精密度較好精密度較好 精密度最差精密度最差 準(zhǔn)確度較好準(zhǔn)確度較好 準(zhǔn)確度最差準(zhǔn)確度最差 準(zhǔn)確度最好準(zhǔn)確度最好 精確度最好精確度最好 精確度最精確度最 精確度居中精確度居中6.絕對誤差、相對誤差絕對誤差、相對

5、誤差絕對誤差絕對誤差x=相對誤差相對誤差通常取1-2位數(shù)字來表示。例：L1=1000米、L1=1米、 L2=100厘米、 L2=1厘米，求L1和L2的相對誤差。解：%1 . 0%10010001LLE1110 xx %1%1001001LLE222%100 xxxE000二、測量的不確定度和測量結(jié)果的表示二、測量的不確定度和測量結(jié)果的表示1.測量的不確定度測量的不確定度測量誤差存在于一切測量中，對被測量值不能確定的程度稱之，它給出測量結(jié)果不能確定的誤差范圍。完整的測量結(jié)果要標(biāo)明其量值大小和測量的不確定度。2.不確定度的分類不確定度的分類1)1)A A類不確定度類不確定度（UA）：用統(tǒng)計方法對具

6、有隨機誤差 性質(zhì)的測量值計算獲得的 量，又稱統(tǒng)計不確定度統(tǒng)計不確定度。2)2)B B類不確定度類不確定度(UB)：非統(tǒng)計方法計算獲得的量，也 稱非統(tǒng)計不確定度。非統(tǒng)計不確定度。3. 偶然誤差與不確定度的偶然誤差與不確定度的A類分量類分量1) 偶然誤差的分布與標(biāo)準(zhǔn)誤差滿足高斯分布標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差它反映了數(shù)據(jù)的離散程度，在該測量列中任何一個測量值的誤差在-+之間的概率為68.3%小，數(shù)據(jù)比較集中，即精密度高，大，數(shù)據(jù)分散，精密度低1nxxn1i20i2) 多次測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差多次測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差nxxn1ii1nxxn1i

7、2ix) 1n(nxxn1i2ix3) 不確定度的不確定度的A類分量：類分量：一般為多次測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差即p=68.3% B類不確定度：由非統(tǒng)計分析評定的不確定度。 uB1(x):由估讀引起的，通常取分度值d的1/10或1/5，有時也取1/2，視具體情況而定；特殊情況可取d，甚至更大。) 1n(nxxun1i2ix)x(A uB2(x):由儀器本身的特性所決定的定義定義 p=68.3%儀儀為儀器標(biāo)定的最大允差。常用實驗儀器的最大允差見下表 3xu2B儀4.測量結(jié)果的表示測量結(jié)果的表示1)測量結(jié)果的表示測量結(jié)果的表示X=（xU（x）)單位2)直接測量的不確定度計算直接測量的不確定度計算A.單

8、次測量單次測量 %100 xxuur2x2B2x1BxUUUB.多次測量多次測量例：用一級千分尺測量某一圓柱體的直徑，測量5次，各測量數(shù)據(jù)分別為：3.429,3.430, 3.441,3.441, 3.432mm,求該物體直徑的測量結(jié)果。(用不確定度表示)解：D=3.435mm2x2B2xAxUUU mm003. 01nnDDu51i2iDDA一級千分尺儀儀為0.004mm,D=3.4350.004mmmm002.03004.03uD2B儀mm004. 0002. 0003. 0uuu22D2DAD2B%10.0%100435.30036.0%100 xDuur3)間接測量的不確定度計算A.不

9、確定度的傳遞公式設(shè)設(shè)y=f(x1,x2,x3,xN),且x1,x2,x3,xN相互獨立的直接測量量 2x2N2x232x222x21N321uxyuxyuxyuxyyuyuuyrB.常用函數(shù)的不確定度傳遞公式N=xyN=SinxN=Lnx2)y(2)x()N(uuunkzyxNm )x()N(uCosxuxuu)x()N(2) z(2)y(2)x()N(zunyumxukNu例例1: 1: 單擺測重力加速度的公式 。經(jīng)過多次測 量，得各直接測量量為T=（2.0000.002)s, L=(100.0 0.1)cm，試求重力加速度g、ug和ur 。解：由不確定度傳遞公式得：u(g)=9.8700.

10、22%=0.022m/s2g=(9.870 0.022)m/s2 (p=68.3%)2TL4g22222s/m870.9000.2000.14TL4g2 %22. 00022. 0000. 2002. 020 .1001 . 0Tu2Luggugu222T2Lr例例2:2:用電子天平測得一個圓柱體的質(zhì)量m=80.36g，電子天平的最小指示值為0.01g，不確定度限值為0.02g。用鋼尺測量該圓柱體的高度H=H2-H1，其中H1=4.00cm， H2 =19.32cm，鋼尺的分度值為0.1cm，估讀1/5分度，不確定度限值為0.01cm。用游標(biāo)卡尺測量該圓柱體的直徑D（數(shù)據(jù)如下表），游標(biāo)卡尺的分

11、度值為0.002cm，不確定度限值為0.002cm。D/cm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.0182.018 2.020 2.022 2.016 2.020試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算該圓柱體的密度及其不確定度。解：(1)圓柱體的質(zhì)量m=80.36g(2)圓柱體的高度H=H2-H1=(19.32-4.00)cm=15.32cm(3)圓柱體的直徑的平均值g015.0302.001.0mumumu2222B21Bcm029.0301.002.02Hu2Hu2Hu22212B211Bcm0184.2D101D101iicm00078.011010DDDu101i2iAcm0014.03

12、002.000078.0DuDuDu2222B2A(4)計算材料的密度322cm/g639. 132.150184. 21416. 336.804HDm4vm 33333m/kg10004. 0639. 1cm/g004. 0639. 1ucm/g004. 0cm/g0039. 0639. 1%24. 0uu%24.032.15029.00184.2014.0236.80015.0HHuDDu2mmuu222222345三、有效數(shù)字及其運算規(guī)則三、有效數(shù)字及其運算規(guī)則1.有效數(shù)字的一般概念有效數(shù)字的一般概念可靠數(shù)字和可疑（欠準(zhǔn)確）數(shù)字合起來的值，稱為有效數(shù)字。例： 5.23cm2.有效數(shù)字的基

13、本特性有效數(shù)字的基本特性 有效數(shù)字的位數(shù)與儀器精度(最小分度值)有關(guān),也與被測量的大小有關(guān)。例：用千分尺（最小分度值0.01mm），測量某物體的長度讀 數(shù)為4.834mm,4位有效數(shù)字；用精度為0.02mm的游標(biāo) 卡尺來測量，其讀數(shù)為4.84mm ，3位有效數(shù)字。用同一儀器測量大小不同的被測量，被測量越大，測量結(jié)果的有效位數(shù)越多。 有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)，單位換算時有效數(shù)字 的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生變化。例：L= 3位注意： 用以表示小數(shù)點位置的“0”不是有效數(shù)字， “0”在數(shù)字中間或 數(shù)字后面都是有效數(shù)字不能隨意增減。m3052.0mm3 .52cm32 .5 um1032.5cm32.54

14、 3.有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系規(guī)定不確定度的有效位數(shù)只取1位，任何測量結(jié)果，必須與之對齊。例： 333m/kg10004. 0639. 1cm/g004. 0639. 1u 3cm/g0039. 0639. 1u 3cm/g004. 06394. 1u2.有效數(shù)字的運算規(guī)則有效數(shù)字的運算規(guī)則1)加、減的運算規(guī)則加、減的運算規(guī)則最后結(jié)果的欠準(zhǔn)確數(shù)與參與運算的諸數(shù)中最先出現(xiàn)欠準(zhǔn)確數(shù)位置對齊。例:325.7-16.78=308.9325.7 - 16.78 308.922)乘除法乘除法最后結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運算諸數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個相同。例：2.352.1=4.

15、 92.35 2.1 235 470 4.9353)乘方、開方乘方、開方最后結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與被乘方、開方數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。 例：4)對數(shù)和三角函數(shù)對數(shù)和三角函數(shù)對某測量值x取一函數(shù)值，而x的有效位數(shù)已知，可通過改變x的末位數(shù)的一個單位，并觀察函數(shù)值的變化，以決定原來函數(shù)值的位數(shù)。例：x=206求SinxSin 207=0.34393和 Sin 205=0.34339 Sin 206=0.34365969460.34371.14200 注意：注意：常數(shù)項不算有效位數(shù)中間過程可以多保留一位例：3.78+4.543+3.785=8.323+3.785=12.108 =12.111. 列表法列

16、表法（1）表格中各欄目（縱或橫）所列物理量均應(yīng) 標(biāo)明其名稱和單位；（2）表格中各物理量的排列應(yīng)盡量與測量順 序一致； （3）表格中所列的數(shù)據(jù)主要是原始數(shù)據(jù)，重 要的中間計算結(jié)果也列入表中；（4）有必要，還應(yīng)記下測量儀器和規(guī)格。四、實驗數(shù)據(jù)處理與作圖要求四、實驗數(shù)據(jù)處理與作圖要求例：自行設(shè)計測量鋼珠直徑的表格例：自行設(shè)計測量鋼珠直徑的表格 一級螺旋測微計量程0-25mm 最小刻度0.01mm測量次數(shù) 初讀數(shù)D/mm 末讀數(shù)D”/mm 鋼珠直徑D=D”-D/mm 10.004 1.6721.668 20.003 1.6701.667 30.004 1.6701.666 80.003 1.6701.

17、667 平均值1.66721.6672.作圖法作圖法圖是表達(dá)實驗數(shù)據(jù)變化規(guī)律的重要方法，也是進(jìn)行實驗數(shù)據(jù)處理的重要方法。作圖規(guī)則：作圖規(guī)則：（1）選用合適大小的坐標(biāo)紙，一般是 2025cm作圖紙， 對應(yīng)34位有效數(shù)字；（2）畫出坐標(biāo)軸和標(biāo)度線，坐標(biāo)比例取1、2、5；（3）自變量： x/單位，應(yīng)變量 ： y/單位 ；（4）實驗數(shù)據(jù)點用“+”、“”、“”等表示；（5）作直線：相當(dāng)于取平均值概念；（6）寫出Y-X圖（圖名）；（7） 用A（X1，Y1）、B（X2，Y2） 求出斜率。1212XXYYK例：例：用惠斯登電橋測定銅絲在不同溫度下的電阻值，數(shù)據(jù)見下表。試求銅絲的電阻與溫度的關(guān)系。t/C 15.

18、5 24.0 26.531.1 35.0 40.3 45.0 49.7R/2.807 2.897 2.919 2.969 3.0033.059 3.107 3.155t/C 54.9R/ 3.207銅絲電阻與溫度曲線(10.0,2.755)(10.0,2.755)解解:設(shè)銅絲電阻與溫度為線性關(guān)系R=+t 由斜率求 ，由截距求在圖上任取兩點(t1,R1)、(t2,R2)代入公式R=+t得R1=+t1R2=+t2斜率和截距,即或者=R-t=2.755-0.010110.0=2.654銅絲電阻與溫度的關(guān)系為R=2.652+0.0101tC/0101. 00 .200 .60853. 2225. 3t

19、tRR1212652. 20 .200 .60225. 30 .20853. 20 .60ttRtRt1221123.逐差法逐差法逐差法是物理實驗中處理數(shù)據(jù)常用的一種方法，這里只討論x是作等間距變化。若要測量相鄰兩條條紋的間距，用平均值求解，并不合理。平均值：逐差法的優(yōu)點：是可以充分利用全部實驗數(shù)據(jù)。求平均值逐差法的公式 7xxxxxxx782312 44xxxxxxx482615x1 x2 x6 x7 x8x1x2x3x4 x5x6x7x8設(shè)x與y之間的線性關(guān)系為：y=a+bx斜率2n1iii2n2n1iii2nxyxxyybnxbyxbyan1in1iii截距例例:由下表數(shù)據(jù)用逐差法法求彈

20、簧的勁度系數(shù)由下表數(shù)據(jù)用逐差法法求彈簧的勁度系數(shù)Kmi/g 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 Y/cm 2.00 4.01 6.05 7.85 9.70 11.85 13.75 16.02 17.86 19.94解: m=5.00g cm962. 9570. 994.1985. 786.1705. 602.1601. 475.1300. 285.11ym/N492. 010962. 9794. 91000. 5K23自行用逐差法的公式計算前面銅絲電阻與溫度的線性關(guān)系式自行用逐差法的公式計算前面銅絲電阻與溫度的線性關(guān)系式4.線性

21、回歸法線性回歸法1)最小二乘法原理最小二乘法原理偏差平方和取最小值 即2)一元線性回歸一元線性回歸若兩物理量x，y滿足線性關(guān)系即y=bx+a，利用最小二乘法原理可得：極小值n1i2ixxxbynxbnyan1in1iii2n1in1i2n1in1in1ixy)x(n1xyxn1)yx(b2i2iiiiixxyx 于是可得線性回歸方程為檢驗線性擬合的好壞，定義相關(guān)系數(shù)r 越接近1，x , y 之間的線性關(guān)系越好)xby(x)(y2) xxyxyx2)(2222yxryxyxyx例: 見作圖法例子見作圖法例子 R=0.0101t+ 2.652R=0.0101t+ 2.65291ii91ii123.

22、27y322x91i2i91iii9 .12843x7914.983yxC/0101.093229 .128439123.273227914.983)x(n1xyxn1)yx(2n1in1i2n1in1in1ii2iiiii 652. 29252. 3123.2793220101. 09123.27nxbnyn1in1iii五、彎曲法測楊氏模量五、彎曲法測楊氏模量1.楊氏模量及其測量方法 一根長度為d、厚度為a、寬度為b的矩形梁，兩端自由地放在一對平行的水平刀口上，中點懸掛一重物M，梁中點下垂的距離為Z,則bEaMgdZ334彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量1.1.楊氏模量楊氏模量及及其測量方

23、法其測量方法 ZbaMgdE334梁的楊氏模量定義為：彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量2.2. 長度的測量長度的測量 1）鋼尺鋼尺 最小分度值為1mm, 測量長度時?？晒雷x1/10分度（0.1mm)或1/5分度（0.2mm) 2）游標(biāo)卡尺游標(biāo)卡尺 彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理: : 游標(biāo)上p個分格的總長與主尺上(p-1)個分格的總長相等. 設(shè)y代表主尺上一個分格的長度,x代表游標(biāo)上一個分格的長度,則有 px=(p-1)y, x=(P-1)y/p彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理: : 以p=10的游標(biāo)卡尺為例,主尺上一個分格長y

24、=1mm,那么游標(biāo)上一個分格的長度是 x= (P-1)y/p =0.9mm那么,主尺與游標(biāo)上每個分格的差值是 x=y-x=1.0-0.9=0.1mm x=y-x=y-(P-1)y/p =y/p=0.1mm彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理: : 當(dāng)游標(biāo)卡尺合攏時,游標(biāo)上的”0”線與主尺上的”0”線重合,此時,游標(biāo)上第一條刻線在主尺第一條刻線的左面0.1mm處,游標(biāo)上第二條刻線在主尺第二條刻線的左面0.2mm處. 彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理: : 如果在游標(biāo)卡尺放進(jìn)0.1mm的紙片, 游標(biāo)就要向右移動0.1mm,那么,游標(biāo)上第一

25、條刻線與主尺第一條刻線重合,而游標(biāo)上其他各條刻線都不與主尺任一條刻線重合. 如果在游標(biāo)卡尺放進(jìn)0.2mm的紙片, 如圖所示：彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理: : 上述把游標(biāo)等分為10個分格(即p=10)的游標(biāo)卡尺叫作”十分游標(biāo)”. “二十分游標(biāo)” x=1.0-19/20=0.05mm 彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理: :“二十分游標(biāo)” x=2.0-39/20=0.05mm 彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理: : “五十分游標(biāo)” x=1.0-49/50=0.02mm 彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模

26、量游標(biāo)卡尺正確讀數(shù)游標(biāo)卡尺正確讀數(shù) “五十分游標(biāo)” x=1.0-49/50=0.02mm L=21.48mm=2.148cm對齊對齊彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量2.2.長度的測量長度的測量 3）千分尺（螺旋測微器）千分尺（螺旋測微器） 螺旋套筒旋 轉(zhuǎn)一周，螺桿前 進(jìn)或后退）一個 螺距0.5mm。 套筒上刻有 50個分格，所以 套筒旋過1格分格 時，螺桿僅移動 0.01mm。 千分尺千分尺（螺旋測微器）的讀數(shù) 4.0+0.183 4.5+0.187 1.5+0.478 彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量千分尺（螺旋測微器)的系統(tǒng)誤差 測量前，應(yīng)注意零讀數(shù)，測量后，要從測量值中減去零讀數(shù)。彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量2. 長度的測量長度的測量4）測微目鏡測微目鏡 測微目鏡一般作為光學(xué)儀器的附件使用，可安裝在移測顯微鏡、望遠(yuǎn)鏡、測長儀等儀器上，也可以單獨使用。用來測量由光學(xué)系統(tǒng)所成實像的大小。 彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量測微目鏡的使用 測量時，使目鏡的一根十字叉絲逐次 和被測物體長度的兩端點相重合。0 2 4 6 80 2 4 6 8 0 2 4 6 8彎曲法測楊氏模量彎曲法測楊氏模量 測微目鏡的讀數(shù) 鼓輪旋轉(zhuǎn)一圈，豎線和叉絲移動1 mm； 鼓輪上有100個等分格，因此鼓輪每轉(zhuǎn)1小 格，叉絲就移動0.01mm