數(shù)系的擴充和復數(shù)概念和公式總結(jié)

1、數(shù)系的擴充和復數(shù)概念和公式總結(jié)1.虛數(shù)單位i:它的平方等于-1,即i2 i2. i與一1的關(guān)系：i就是一1的一個平方根，即方程x2= 1的一個根，方程x2= 1的另一個根 是i3. i 的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.4 .復數(shù)的定義：形如a bi(a,b R)的數(shù)叫復數(shù)，a叫復數(shù)的實部，b叫復數(shù)的虛部.全體復數(shù)所成 的集合叫做復數(shù)集，用字母 C表示.復數(shù)通常用字母z表示，即z a bi(a,b R)5 .復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復數(shù)a bi(a,b R)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi (a、 be R)是實數(shù)a；當bw0時，復數(shù)z

2、=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且bw0時，z=bi叫做純虛數(shù)；aw0且b w0時，z=bi叫做非純虛數(shù)的純虛數(shù)；當且僅當 a=b=0時，z就是實數(shù)0.一"正實數(shù)上：胃是實數(shù)曰實數(shù)0復數(shù)«+ bl)與負實數(shù)純虛數(shù)顯m是虛數(shù)(庭口，展R)堂壬0I非純速數(shù)的虛數(shù)6 .復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：甲奉Q奉C7 .兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等.如果 a, b, c, deR,那么 a+bi =c+dia=c, b=d一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小.當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時不能比較

3、大小.8 .復平面、實軸、虛軸：點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數(shù)z=a+bi(a、b R)可用點Z(a, b)表示，這個建立了直角坐標系 來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù).(1)實軸上的點都表示實數(shù).(2)虛軸上的點都表示純虛數(shù),(3)原點對應的有序?qū)崝?shù)對為(0, 0)設 zi=a+bi, Z2=c+di(a、b、c、dCR)是任意兩個復數(shù)，9 .復數(shù) Zi 與 Z2 的加法運算律：Zi+Z2=(a+bi)+( c+di )=( a+c)+( b+d) i .10 復數(shù) zi 與 Z2 的減法運算律：Zi-Z2=(a+bi)-( c+di )=(

4、a-c)+( b-d) i .11 .復數(shù) Zi 與 Z2 的乘法運算律：Zi Z2= ( a+bi)( c+di )=( ac bd)+( bc+ad) i .12 .復數(shù)Zi與Z2的除法運算律：Z1Z2 =(a+bi) + (c+di尸acbdbcadi (分母實數(shù)化)2222c d c d.虛部不等13 .共腕復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共腕復數(shù) 于0的兩個共腕復數(shù)也叫做共腕虛數(shù).通常記復數(shù)z的共腕復數(shù)為z o例如z=3+ 5i與z=35i互為共腕復數(shù)14 .共腕復數(shù)的性質(zhì)(D實數(shù)的共腕復數(shù)仍然是它本身/ 一、_ 22(2) Z Z Z Z(3)兩個共

5、腕復數(shù)對應的點關(guān)于實軸對稱i4.復數(shù)的兩種幾何意義:i5復數(shù) Z a bi a,b R幾個常用結(jié)論，22(i) i i 2i , (2) i i 2i對應uuu*向量OZ(3)i i .(4)ii i點 Z(a,b) i6.復數(shù)的模：對應(5)復數(shù)Z a bi的模Z,a2b22, 2(6) a bi a bi a b2009 20i4年高考文科數(shù)學試題分類匯編一一復數(shù)2. (2009浙江卷文)設 z=i+i (i是虛數(shù)單位)，則：+z2=(A) i + i(B) i+i(C) i i.、, 3 i-3. (2009山東卷又)復數(shù)-r等于()i i(A)i + 2i(B)i-2i(C)2+i4.

6、 (2009安徽卷文)i是虛數(shù)單位，i (i + i)等于()(A)i + i(B) i i(C)i-i、 一 5i5. (2009天津卷又)i是虛數(shù)單位，T=()2 i(A) i + 2i(B) i 2i(C) i - 2i)(D) i 一 i(D) 2- i(D) i+i(D) i + 2i6.（2009寧夏海南卷文）復數(shù)3+2i2 3i(A) 1(B) 1(C) i(D) - i17. （2009遼寧卷又）已知復數(shù) z=12i,那么2=（）（A）介乎 （B）害一W5555218. （2010湖南又數(shù)1）復數(shù)等于（1 i1 （C）5(D)5 -5 i(A) 1 + i(B) 1 i(C)

7、1+iM (2010全國卷1 2理數(shù))復數(shù)(£ ) 2=()(D) 1 一 i(A) 3 4i(B) -3+4i(C) 3 4i11.（2010陜西文數(shù)）復數(shù)z=Wr在復平面上對應的點位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限(D) 3+ 4i)(D)第四象限1+2ii12. (2010遼寧理數(shù)(2)設a, b為實數(shù)，若復數(shù) -7-7 =1 + i ,則()a十bi3,1(A)a = 2 , b = 2(B)a= 3,b= 11 .3一.八(C)a=2 , b=2(D)a=1,b=3a+ 2i16. (2010山東又數(shù))已知 一一 = b+i (a, b?R),其中i為虛數(shù)單位，

8、則 a+b=()i(A) - 1(B) 1(C) 2(D) 317. （2010北京文數(shù)（2）在復平面內(nèi)，復數(shù) 6+5i , -2+3i對應的點分別為 A B,若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是（）21. (2010 廣東理數(shù))若復數(shù) Z1=1 + i , Z2 = 3i ,則 Z1 Z2=(A) 4+2 i22. (2010福建文數(shù))(B) 2 + i(C) 2+2 i1 + i ai是虛數(shù)單位，（）等于（）1 i1) i是虛數(shù)單位，計算i + i2+i 3=()(B) 1(C) - i3+ ii是虛數(shù)單位，復數(shù) -一r =()1 i(C) 2+4i(D) 4+ i(D) i(D) 2

9、- i(D) 1 一 i)(D) 3(A) 4+8i18. (2010四川理數(shù)(A) 119. (2010天津文數(shù))(A) 1 + 2i20. (2010天津理數(shù))(A) 1 + i(B) 8+ 2i（B） 2+ 4ii是虛數(shù)單位，復數(shù)（C） 5+ 5i（D） 1 -2i1 + 3i(A) i(B) i(C) 1(D) 123. （2010全國卷1理數(shù)（1）復數(shù)3+2i23i(A) i(B)-i(C) 12- 13i(D) 12 +13ia+ 2i,24. (2010 山東理)已知 一一 =b+i (a, ibCR）,其中i為虛數(shù)單位，則a+b=（）(A) 1(B) 1(C) 2(D) 3,.

10、,、一 一、“, i 226.2011年北東理復數(shù)-=1 + 2i(A)(B) i(C)43.i 5 5(D)+3i29. （2011年安徽理（1）設i是虛數(shù)單位，復數(shù) 詈為純虛數(shù)，則實數(shù) a為（）2 i、,一一 1'一1（A）2（B） 2（C）-2（D）-30. （2011年福建文）i是虛數(shù)單位，1 + /等于（ ）(A) i(B) i(C) 1 + i(D) 1-i31. （2011年廣東理1）設復數(shù)z滿足（1 + i ） z=2,其中i為虛數(shù)單位，則 Z=（）(A) 1 + i(B) 1-i(C) 2+2i(D) 2- 2i32. （2011年廣東文1）設復數(shù)z滿足iz=1,其中i為虛數(shù)單位，則z=（(A) - i(B) i(C) 1 1+i on-1133. (2011年湖北理1) i為虛數(shù)單位，則(-一r )=(1 i(D) 1(A) - i(B) 1(C) i(D) 155.12012湖南文2復數(shù)z=i （i +1） （i為虛數(shù)單位）的共軻復數(shù)是（(A) 1-i(B) 1+i(C) 1-i(D)