空間幾何的表面積與體積

1、空間幾何的表面積空間幾何的表面積與體積與體積第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 課前自主預(yù)習(xí)課前自主預(yù)習(xí)第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 知識探究（一）柱體、錐體、臺體的表面積知識探究（一）柱體、錐體、臺體的表面積 思考思考1:1:面積是相對于平面圖形而言的，面積是相對于平面圖形而言的，體積是相對于空間幾何體而言的體積是相對于空間幾何體而言的. .你知道你知道面積和體積的含義嗎？面積和體積的含義嗎？面積面積:平面圖形所占平面的大小平面圖形所占平面的大小 體積體積:幾何體所占空間

2、的大小幾何體所占空間的大小 第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考2:2:所謂表面積，是指幾何體表面的所謂表面積，是指幾何體表面的面積面積. .怎樣理解棱柱、棱錐、棱臺的表面怎樣理解棱柱、棱錐、棱臺的表面積？積？各個側(cè)面和底面的面積之和各個側(cè)面和底面的面積之和或展開圖的面積或展開圖的面積.第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求這樣，求它們的表面積

3、的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形的面積問題。平行四邊形、三角形、梯形的面積問題。第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 .),(,1求它的表面積如下圖面體四各面均為等邊三角形的、已知棱長為例ABCSaSBACD第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，側(cè)面都是曲面，怎樣求它們的側(cè)面面，側(cè)面都是曲面，怎樣求它們的側(cè)面面積？面積？思考思考4:4:圓柱的側(cè)面展開圖的形狀有哪些圓柱的側(cè)面展開圖的形狀有哪些特征？如

4、果圓柱的底面半徑為特征？如果圓柱的底面半徑為r r，母線長，母線長為為l，那么圓柱的表面積公式是什么？，那么圓柱的表面積公式是什么？2()Sr rl第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考5:5:圓錐的側(cè)面展開圖的形狀有哪些圓錐的側(cè)面展開圖的形狀有哪些特征？如果圓錐的底面半徑為特征？如果圓錐的底面半徑為r r，母線長，母線長為為l，那么圓錐的表面積公式是什么？，那么圓錐的表面積公式是什么？()Sr rl第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考6:6:圓臺的側(cè)面展開圖的形狀

5、有哪些圓臺的側(cè)面展開圖的形狀有哪些特征？如果圓臺的上、下底面半徑分別特征？如果圓臺的上、下底面半徑分別為為rr、r r，母線長為，母線長為l，那么圓臺的表面，那么圓臺的表面積公式是什么？積公式是什么？22()Srrr lrl第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考7:7:在圓臺的表面積公式中，若在圓臺的表面積公式中，若r=rr=r，r=0r=0，則公式分別變形為什么？，則公式分別變形為什么？22()Srrr lrl()Sr rl2()Sr rlr=rr=rr=0r=0第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)

6、人教人教A版版 必修必修5 例例2 2 一個圓臺形花盆盆口直徑為一個圓臺形花盆盆口直徑為20cm20cm，盆底直徑為盆底直徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5cm1.5cm，盆壁長，盆壁長15cm15cm，為了美化花盆的外，為了美化花盆的外觀，需要涂油漆觀，需要涂油漆. . 已知每平方米用已知每平方米用100100毫毫升油漆，升油漆，100100個這樣的花盆需要多少油漆個這樣的花盆需要多少油漆（精確到（精確到1 1毫升）？毫升）？ 2020151515152210000.1Scmm第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必

7、修必修5 知識探究（二）柱體、錐體、臺體的體積知識探究（二）柱體、錐體、臺體的體積 思考思考1:1:你還記得正方體、長方體和圓柱你還記得正方體、長方體和圓柱的體積公式嗎？它們可以統(tǒng)一為一個什的體積公式嗎？它們可以統(tǒng)一為一個什么公式？么公式？思考思考2:2:推廣到一般的棱柱和圓柱，你猜推廣到一般的棱柱和圓柱，你猜想柱體的體積公式是什么？想柱體的體積公式是什么？VSh高高h(yuǎn) h底面積底面積S S 第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:關(guān)于體積有如下幾個原理：關(guān)于體積有如下幾個原理： （1 1）相同的幾何體的體積相等；）相同的幾

8、何體的體積相等； （2 2）一個幾何體的體積等于它的各部分）一個幾何體的體積等于它的各部分體積之和；體積之和； （3 3）等底面積等高的兩個同類幾何體的）等底面積等高的兩個同類幾何體的體積相等；體積相等； （4 4）體積相等的兩個幾何體叫做等積體）體積相等的兩個幾何體叫做等積體. . 第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 將一個三棱柱按如圖所示分解成三將一個三棱柱按如圖所示分解成三個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？關(guān)系？ 1 12

9、23 31 12 23 3第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考4:4:推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜想錐體的體積公式是什么？想錐體的體積公式是什么？ 13VSh高高h(yuǎn) h底面積底面積S S 第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考5:5:根據(jù)棱臺和圓臺的定義，如何計根據(jù)棱臺和圓臺的定義，如何計算臺體的體積？算臺體的體積？ 設(shè)臺體的上、下底面面積分別為設(shè)臺體的上、下底面面積分別為SS、S S，高為，高為h h，那么臺體的體積公式是什么？，那么臺

10、體的體積公式是什么？高高h(yuǎn) h下底面下底面積積S S 1()3VSS SS h上底面上底面積積S S 第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考6:6:在臺體的體積公式中，若在臺體的體積公式中，若S=SS=S，S=0S=0，則公式分別變形為什么？，則公式分別變形為什么？S=SS=SS=0S=01()3VSS SS h13VShVSh第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 例例3 3 有一堆規(guī)格相同的鐵制六角螺帽有一堆規(guī)格相同的鐵制六角螺帽共重共重5.8kg5.8kg（鐵的密度是（鐵

11、的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3），已），已知螺帽的底面是正六邊形，邊長為知螺帽的底面是正六邊形，邊長為12mm12mm，內(nèi)孔直徑為內(nèi)孔直徑為10mm10mm，高為，高為10mm10mm，問這堆，問這堆螺帽大約有多少個？螺帽大約有多少個？ V2956V2956（mmmm3 3）=2.956=2.956（cmcm3 3） 5.85.810001000(7.8(7.82.956)2.956)252252（個）（個） 第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 知識探究（三）知識探究（三）:球的體積球的體積思考思考1:1:從球的結(jié)構(gòu)特征分析

12、，球的大小從球的結(jié)構(gòu)特征分析，球的大小由哪個量所確定？由哪個量所確定？思考思考2:2:底面半徑和高都為底面半徑和高都為R R的圓柱和圓錐的圓柱和圓錐的體積分別是什么？的體積分別是什么？3VR柱313VR錐第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:如圖，對一個半徑為如圖，對一個半徑為R R的半球，其的半球，其體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小關(guān)系？關(guān)系？思考思考4:4:根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你猜想半球的體積是什么？猜想半球的體積是什么？323VR球第一章第一章 1

13、.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考5:5:由上述猜想可知，半徑為由上述猜想可知，半徑為R R的球的的球的體積體積 ，這是一個正確的結(jié)論，你，這是一個正確的結(jié)論，你能提出一些證明思路嗎？能提出一些證明思路嗎？343VR第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 知識探究（四）知識探究（四）:球的表面積球的表面積思考思考1:1:半徑為半徑為r r的圓面積公式是什么？它的圓面積公式是什么？它是怎樣得出來的？是怎樣得出來的？2rS圓a1a2a3ana4第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才

14、之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考2:2:把球面任意分割成把球面任意分割成n n個個“小球面小球面片片”，它們的面積之和等于什么？，它們的面積之和等于什么？o第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:以這些以這些“小球面片小球面片”為底，球心為底，球心為頂點的為頂點的“小錐體小錐體”近似地看成棱錐，近似地看成棱錐，那么這些小棱錐的底面積和高近似地等那么這些小棱錐的底面積和高近似地等于什么？它們的體積之和近似地等于什于什么？它們的體積之和近似地等于什么？么？o o第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成

15、才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思考思考4:4:你能由此推導(dǎo)出半徑為你能由此推導(dǎo)出半徑為R R的球的的球的表面積公式嗎？表面積公式嗎？24SR思考思考5:5:經(jīng)過球心的截面圓面積是什么？經(jīng)過球心的截面圓面積是什么？它與球的表面積有什么關(guān)系？它與球的表面積有什么關(guān)系？ 球的表面積等于球的大圓面積的球的表面積等于球的大圓面積的4 4倍倍第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 例例4 4 如圖，圓柱的底面直徑與高都等如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：于球的直徑，求證： （1 1）球的體積等于圓柱體積的）球的體積等于圓柱體積的 ；（2 2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積. .23第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 思路方法技巧思路方法技巧第一章第一章 1.1 第第1課時課時 成才之路成才之路 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 人教人教A版版 必修必修5 1. 1.已知正方體的八個頂點都在球已知正方體的八個頂點都在球O O的的球面上，且正方體的表面積為球面上，且正方體的表面積為a a2 2，求球，求球O O的表面積和體積的表面積和