高中數(shù)學(xué)破題致勝微方法(橢圓的參數(shù)方程)二利用橢圓的參數(shù)方程求最值

1、內(nèi)部文件，版權(quán)追溯 內(nèi)部文件，版權(quán)追溯 內(nèi)部文件，版權(quán)追溯利用橢圓的參數(shù)方程求最值今天我們研究利用橢圓的參數(shù)方程求最值問題 .已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則可以將橢圓 的方程改寫成參數(shù)方程，這時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)可記作（acos仇bsine ）,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)知識(shí)處理一些最值問題.下面舉例說明橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 .我們通過例題來看：2例1：若P（x,y）為曲線C： + y2 =1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) P到直線l : 4x-3y+12=0的距離d 4的最大值和最小值.解=二*/=1的參數(shù)方程為。:二g為戮如 由蠟/為4工一到+12=0,Seos a-3 sin a+12所以最大值為12

2、$ 73 ,最小值為12 1 73注意橢圓的參數(shù)方程：中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓的參數(shù)方程有以下兩種情況:v22x = acos 二焦點(diǎn)在x軸上的橢圓： -=i（a >b >0） , 4 八（9為參數(shù)）.a2 b2y=bsirPi22焦點(diǎn)在y軸上的橢圓：y_+x- = i（a a2b2b>0),x=bcos?, 且心,(6為參數(shù)).y = asin 二例 2:已知定點(diǎn) Q (0, 4), P (6, 0),22動(dòng)點(diǎn)C在橢圓+-y- =1上運(yùn)動(dòng)（如圖），94以上的i10,2二.7求 QPC®積的最大值和最小值解:依題設(shè)易求得尸。的方程為笈-3/-12曰，&quo

3、t;Q=2 已知橢圓的參數(shù)方程為彳工=V°S為參數(shù)，且。且§L v = 2 sin 6則橢圓上點(diǎn)。（支38,上mN）到直線尸。的距離二6cos- 6sin -12| 忑3顯然，="=-n時(shí)，d最大，且d最大值46 2 12,13此時(shí)由箕的最大值是:xd 31Klp2 此時(shí)Soqc的最小值為126點(diǎn)通過本題解答，我們可以總結(jié)做此類習(xí)題：1 .根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，把，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)寫成參數(shù)形式，代入相應(yīng)的表達(dá)式中 例如本題，將點(diǎn)到直線的距離用含參數(shù)的式子表示出來2 .將問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的問題 .3 .利用三角函數(shù)的有界性，解決所求問題的最值 .例如本題，在求距離時(shí)

4、含有絕對(duì)值，所以求最值時(shí)，要注意脫絕對(duì)值時(shí)表達(dá)式的符號(hào)練習(xí)題：X22_1 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)Rx, y)是橢圓 一 + y =1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 S=x+y的3最大值.2 .在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線24C1的極坐標(biāo)方程為 P2 = 2 ,直線l的極坐標(biāo)方程為 P = -f=.1 sin汨:2sin cos(I)寫出曲線 C與直線l的直角坐標(biāo)方程；(n)設(shè)Q為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求 Q點(diǎn)到直線l距離的最小值.x = 2x,3.已知曲線C: x2+y2=1,將曲線C上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換,.'得到曲線C'以直角坐標(biāo)y =3y

5、系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l的極坐標(biāo)系方程是p (2cos 0 +sin 0 )=10.(1)寫出曲線C'和直線l的普通方程；(2)求曲線C'上的點(diǎn)M到直線l距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).4.已知直線l的參數(shù)方程為y="t2(其中t為參數(shù)),曲線Ci：p2 cos2 g +3P2 sin2 9 -3 = 0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同長度單位.(1)求直線l的普通方程及曲線 G的直角坐標(biāo)方程；(2)在曲線C上是否存在一點(diǎn) P,使點(diǎn)P到直線l的距離最大？若存在，求出距離最大值及 點(diǎn)P.若不存在，請(qǐng)說明理

6、由.225.已知橢圓 )+5=1值>b>0),求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值.a b練習(xí)題解析：21 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)P(x, y)是橢圓 上+ y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 S=x+y的 3最大值.2 .在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極，軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線一。2 、, 2 sin - cos-C的極坐標(biāo)方程為P2 = -,直線l的極坐標(biāo)方程為 P1 sin2 口(I)寫出曲線 C與直線l的直角坐標(biāo)方程;(n)設(shè)Q為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求 Q點(diǎn)到直線l距離的最小值.3.已知曲線C: x2+2 x =2xy2=1,將曲線C上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線C&#

7、39;以直角坐標(biāo)y = 3y原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)系方程是( (2cos 0 +sin 0 )=10.(1)寫出曲線C'和直線l的普通方程;(2)求曲線C'上的點(diǎn)M到直線l距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).x = -1 t4.已知直線l的參數(shù)方程為2亞 (其中t為參數(shù))，曲線Ci :y = t2爐cos28+3#2 sin29-3 = 0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同長度單位 (1)求直線l的普通方程及曲線 C,的直角坐標(biāo)方程;(2)在曲線C上是否存在一點(diǎn) P,使點(diǎn)P到直線l的距離最大？若存在，求出距離最大值及 點(diǎn)P.若不存在，請(qǐng)說明理由.225.已知橢圓、+與=i(a >b>0),求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值 a bD % A解：設(shè)橢圓內(nèi)