最新八年級(jí)一次函數(shù)分段函數(shù)經(jīng)典講解

1、精品文檔認(rèn)清分段函數(shù)，解決收費(fèi)問(wèn)題定義：一般地，如果有實(shí)數(shù)a, 02, a3ki,k, 2k3bi,b2,b3且ai<a2<a函數(shù)Y與自變量X之間存在（，kix+bi x w aik 2x+b2 a i<x<a2的函數(shù)解析式，則稱(chēng)該函數(shù)解析式為X的分Ksx+b3 a 2<x< a3應(yīng)該指出：（一），函數(shù)解析式這個(gè)整體只是一個(gè)函數(shù)，并非是Y=KX+b Y=KX+b2等幾個(gè)不同函數(shù)的簡(jiǎn)單組合，而kix+bi, k2x+b2是函數(shù)丫的幾種不同的表 達(dá)式.。所以上例中Y= :源I'd以雪弋魅髭?這個(gè)整體只是一個(gè)函數(shù)，不能認(rèn)為 它是兩個(gè)不同的函數(shù)，只育覬110

2、期口 110X 80%混同一函數(shù)中的自變量X在兩種不同取值范圍 內(nèi)的不同表達(dá)式。（二，由于k1,k2,k3b1,b2,b3是實(shí)數(shù)，所以函數(shù)Y在X的某個(gè)范圍內(nèi)的特殊函數(shù)，如 正比例函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。（三，由于問(wèn)題的不同，當(dāng)然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內(nèi)不是一次函數(shù)而 是其他形式的函數(shù)，在這里我們不予討論。（四，一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡(jiǎn)單的分段函數(shù)。分段函數(shù)應(yīng)用題分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種情況以上，解答時(shí)需分段討論。在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問(wèn)題，因此，分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型。收費(fèi)問(wèn)題與我

3、們的生活息息相關(guān) ，如水費(fèi)問(wèn)題、電費(fèi)問(wèn)題、話費(fèi)問(wèn)題等，這些收費(fèi) 問(wèn)題往往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費(fèi)方式.以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問(wèn)題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中，下面請(qǐng)看幾例一、話費(fèi)中的分段函數(shù)例1 （四川廣元）某移動(dòng)公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來(lái)計(jì)算話費(fèi)，月通話時(shí)間x （分鐘）與相應(yīng)話費(fèi)y （元）之間的函數(shù)圖象如圖 1所示：（1）月通話為100分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi) 元；（2）當(dāng)x>100時(shí)，求y與x之間的函獲系式;（3）月通話為280分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)多少元？精品文檔分析：本題是一道和話費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)圖象可觀察到，在 分鐘之間月話費(fèi)y（元）是月通t時(shí)間x（分鐘）的正比例函數(shù)，當(dāng)x&

4、gt; 100時(shí)，月話費(fèi)y（元） 是月通話時(shí)間x（分鐘）的一次函數(shù).解：（1）觀察圖象可知月通話為 100分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi) 40_元；（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b由圖上知：x=100 時(shí),y=40; x=200 時(shí)，時(shí)，y=601皿 40 =100k b k=1 ，解之得 560 -200k bb =201所求函數(shù)關(guān)系式為 y =-x 20.51口 1（3）把x=280代入關(guān)系式即月通話為280分鐘時(shí),y x 20,得 y =- 280 20 =7655應(yīng)交話費(fèi) 76元.二、水費(fèi)中的分段函數(shù)例2（廣東）某自來(lái)水公司為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采取了按月用水量分段收費(fèi)辦法，某戶居民應(yīng)交

5、水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系如圖2.（1）分別寫(xiě)出當(dāng)0WxW 15和x> 15時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若某戶該月用水21噸，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？分析:本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問(wèn)題.觀察圖象可知，0 w xw 15時(shí)y是x的正比例函數(shù)；x>15f,y是x的一次函數(shù).27 9解：當(dāng)0 w xw 15時(shí)，設(shè)y=kx,把x=15,y=27代入，得27=15k,所以k=一 = 一，所以15 515 20 1t（噸）y=x；當(dāng) x> 15 時(shí)，設(shè) y=ax+b,將 x=15,y=27 和x=20,y=39.5 代入，得15a +b =27,=20a +b=39.5解

6、得 a=2.5,b=-10.5所以 y=2.5x-10.5（2）當(dāng)該用戶該月用21噸水時(shí)，三、電費(fèi)中分段函數(shù) 例3 （廣東）今年以來(lái)，廣東大部分地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y （元）與用電量 x （度）的函數(shù)圖象是一條折線（如圖3所示），根據(jù)圖象解下列問(wèn)題：（1）分別寫(xiě)出當(dāng)0wxw 100和x> 100時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用函數(shù)關(guān)系式，說(shuō)明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；（3）若該用戶某月用電62度，則應(yīng)繳費(fèi)多少元？若該用戶某月繳費(fèi)105元時(shí)，則該用戶該月用了多少度電？B阮）0100 130 n 渡圖3分析:從函數(shù)圖象

7、上看圖象分為兩段 ，當(dāng)0wxw 100時(shí)，電費(fèi)y是電量x的正比例函數(shù) 當(dāng)x> 100時(shí),y是x的一次函數(shù)，且函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（100,65）和（130,89），設(shè)出相應(yīng)的函數(shù) 關(guān)系式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可確定函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可解決問(wèn)題 .解：（1）設(shè)當(dāng)0wxw100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為 y=kx,將x=100,y=65代入，得k=0.65，所以 y=0.65x;設(shè)當(dāng)x> 100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為 y=ax+b,將x=100,y=65和x=130,y=89代入，得'100a+b= 65,./日也,解得 a=0.8,b=-15.所以 y=0.8x-15J30a +b =89.,

8、i一/口065x(0< x< 100)綜上可得y二0.8x-15(x>100)(2)用戶月用電量在 0度到100度之間時(shí)，每度電的收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是0.65元;超出100度時(shí),每度電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是0.80元.(3)用戶月用電62度時(shí)，用戶應(yīng)繳費(fèi)40.3元，若用戶月繳費(fèi)105元時(shí)該戶該月用了 150 度電.談?wù)勚锌贾械姆侄魏瘮?shù)分段函數(shù)，是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類(lèi)思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。下面我們歸納分析如下， 供學(xué)習(xí)時(shí)至節(jié)。1、二段型分段函數(shù)1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分

9、段函數(shù)解答這類(lèi)分段函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵 ，就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解 析式。例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨(dú)裝修3天，剩下的工作由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成.工程進(jìn)度滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系，該家庭共支付工資 8000元.(1)完成此房屋裝修共需多少天？(2)若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元？y=k1x,=k 1 x 3,所以 k1=,所以 y= x, 0vxv341212y=kzx+b, (k¥0,kb 是常數(shù))解析：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3, 1),所以,4設(shè)一次函數(shù)的解析式(合作部分)是因?yàn)閳D

10、象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)，(5, 1),所以,42， c ，1k2 M3 +b =由待定系數(shù)法得：44 ,解得：k2 =l,b = _-.,188k2 5 b =21111:一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=-x,所以，當(dāng)y=1時(shí)，x=1,解得x = 9 8888完成此房屋裝修共需 9天。方法2解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是 工，乙工作的效率：-128 12 24甲、乙合作的天數(shù)：3 J工十二1=6 （天）412 24甲先工作了 3天，：完成此房屋裝修共需 9天（2）由正比例函數(shù)的解析式：y=x,可知：甲的工作效率是 -1 ,1212所以，甲9天完成的工作量是：9父2=3,12 43二甲得到的工資是：

11、-X8000 =6000 （元）41,估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，42所示（假定總路程為 1）,評(píng)析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。例2、一名考生步行前往考場(chǎng)，10分鐘走了總路程的于是他改乘出租車(chē)趕往考場(chǎng)，他的行程與時(shí)間關(guān)系如圖則他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了（A. 20分鐘B , 22分鐘解析：步行前往考場(chǎng)，是滿足正比例函數(shù)關(guān)系,= = k1X10,所以 k1=-,所以 y= x, 0V x 440401401 - - =40 （分鐘）， 40設(shè)正比例函數(shù)的解析式為： y=kix, 因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10, 1）,所以，4<10由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是所以，步行

12、前往考場(chǎng)需要的時(shí)間是： 乘出租車(chē)趕往考場(chǎng)，是滿足一次函數(shù)關(guān)系，所以，設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=k2x+b, （k=0,kb 是常數(shù)），因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10, 1）, （12, 1）,所以，42，1k2>d0+b= 一由待定系數(shù)法得：4 ,解得：解得：k2=1，b = 1,128k2 父12 +b = L21 3.一次函數(shù)的表達(dá)式為：y= x-1,所以，乘出租車(chē)趕往考場(chǎng)用的時(shí)間是：x=841 一，解得：x=6分鐘，8所以，先步行前往考場(chǎng)，后乘出租車(chē)趕往考場(chǎng)共用時(shí)間為：10+6=16分鐘，所以，他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了：40-16=24 （分鐘），故選C。評(píng)析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的

13、意義是表示他們的行使速度。例3、某公司專(zhuān)銷(xiāo)產(chǎn)品 A,第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完.該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的市場(chǎng)銷(xiāo)售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖 （3）中的折線表示的是市場(chǎng)日銷(xiāo)售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖（4）中的折線表示的是每件產(chǎn)品 A的銷(xiāo)售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系.（1）試寫(xiě)出第一批產(chǎn)品 A的市場(chǎng)日銷(xiāo)售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式；（2）第一批產(chǎn)品 A上市后，哪一天這家公司市場(chǎng)日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?解析：（1）由圖3可得，當(dāng)0wtw30時(shí)，市場(chǎng)日銷(xiāo)售量 y與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量： y=kt ,點(diǎn)（30, 60）在圖象上，60=30 k.

14、k=2.即 y=2t,當(dāng)30wtw40時(shí)，市場(chǎng)日銷(xiāo)售量 y與上市時(shí)間t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系， 所以設(shè)市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量： y=kit+b ,因?yàn)辄c(diǎn)（30, 60）和（40, 0）在圖象上，60 =30ki b所以I,0 =40ki b解得 k i=-6, b=240.y=-6t+240.綜上可知，當(dāng)0wtw30時(shí)，市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量：y=2t,當(dāng)30wtW40時(shí)，市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量：y=-6t+240 。（2）由圖4可得，當(dāng)0WtW20時(shí)，市場(chǎng)銷(xiāo)售利潤(rùn) w與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量： w=kt,點(diǎn)（20, 60）在圖象上，60=20 k.k=3.即 w=3t ,當(dāng)20WtW40時(shí)

15、，市場(chǎng)銷(xiāo)售利潤(rùn) w與上市時(shí)間t的關(guān)系是常數(shù)函數(shù)，所以，w=60,當(dāng)0wtW20時(shí)，產(chǎn)品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)： m=3t X2t=6t 2 ;- k=6>0,所以，m隨t的增大而增大，當(dāng)t =20時(shí)，產(chǎn)品的日銷(xiāo)售利潤(rùn) m最大值為：2400萬(wàn)元。當(dāng)20Wt W30時(shí)，產(chǎn)品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)：m=60X 2t =120t,k=120 >0,所以，m隨t的增大而增大，當(dāng)t =30時(shí)，產(chǎn)品的日銷(xiāo)售利潤(rùn) m最大值為：3600萬(wàn)元；當(dāng) 30WtW40 時(shí)，產(chǎn)品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)：m= 60X （-6t+240）=-360t+14400 ;k=-360 <0,所以，m隨t的增大而減小，當(dāng)t =30時(shí)，產(chǎn)品的日銷(xiāo)

16、售利潤(rùn) mm最大值為：3600萬(wàn)元，綜上可知，當(dāng)t=30天時(shí)，這家公司市場(chǎng)的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大為3600萬(wàn)元.評(píng)析：本題不僅考查同學(xué)們對(duì)分段函數(shù)意義的理解，而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對(duì)分類(lèi) 精品文檔思想的掌握情況，和對(duì)一次函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用。1.2 一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù) 例4、為了鼓勵(lì)小強(qiáng)做家務(wù)，小強(qiáng)每月的費(fèi)用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間所得獎(jiǎng)勵(lì)加上基本生活費(fèi)從父母那里獲取的.若設(shè)小強(qiáng)每月的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為 該月可得（即下月他可獲得）的總費(fèi)用為 y元，則y （元）和x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像如圖5所示.（1）根據(jù)圖像，請(qǐng)你寫(xiě)出小強(qiáng)每月的基本生活費(fèi)；父母是如何獎(jiǎng)勵(lì)小強(qiáng)家務(wù)勞動(dòng)的？（2）若小強(qiáng)5

17、月份希望有250元費(fèi)用，則小強(qiáng)4月份需做家務(wù)多少時(shí)間？解：（1）從圖象上可知道，小強(qiáng)父母給小強(qiáng)的每月基本生活費(fèi)為150 元；當(dāng)0W xw 20時(shí)，y（元）是x（小時(shí)）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k1X+150,同時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（20, 200）,所以，200=k1x20+150,解得：匕=2.5,所以，y=2.5x+150 ,當(dāng)20Vx時(shí)，y （元）是x （小時(shí)）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k2x+b,同時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（20, 200）, （30, 240）,所以,20k2 + b = 200130k2 + b = 240解得：k2=4, b=120,所以，y=4x+120,所以，如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不超

18、過(guò)20小時(shí)，每小日獲獎(jiǎng)勵(lì) 2.5元；如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間超過(guò)20小時(shí)，那么20小時(shí)按每小時(shí)2.5元獎(jiǎng)勵(lì)，超過(guò)部分按每小時(shí)4元獎(jiǎng)勵(lì)（2）從圖象上可知道，小強(qiáng)工作20小時(shí)最多收入為200元，而5月份得到的費(fèi)用為250元，大于200元，所以說(shuō)明4月小強(qiáng)的工作時(shí)間一定超過(guò)20小時(shí)，所以應(yīng)選擇分段函數(shù)中當(dāng)20Vx時(shí)的一段，所以，由題意得，4x+120 = 250,解得：x=32.5 答：當(dāng)小強(qiáng)4月份家務(wù)勞動(dòng)32.5小時(shí)，5月份得到的費(fèi)用為 250元.評(píng)析：本題不僅考查同學(xué)們對(duì)分段函數(shù)意義的理解，而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對(duì)分類(lèi)思想的掌握情況，和對(duì)分段函數(shù)的選擇能力。1.3常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)

19、例5、有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖6所示；乙公司每月月租費(fèi)通話費(fèi)2 5元0. 15元/分鐘表1通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表1所示.（1）觀察圖 6,甲公司用戶月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是元；甲公司用戶通話 100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為 元；（2）李女士買(mǎi)了一部手機(jī)，如果她的月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時(shí)間超過(guò)100分鐘，又將如何選擇？解析：1）從圖6,可以看出，這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)，當(dāng)0Wt W100時(shí)，話費(fèi)金額 y=20;當(dāng)t >100時(shí)，話費(fèi)金額y是通話時(shí)間t的一次函數(shù)，不妨設(shè) y=kt+b ,且函數(shù)

20、經(jīng)過(guò)點(diǎn)（100, 20）和（ 200, 40）,100k+b =20 . 口所以，解得：k=0.2, b=0,所以，y=0.2t,200k + b = 40所以，甲公司用戶月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是20元；當(dāng)甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為0.2元；2）仔細(xì)觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費(fèi)y=0.15t+2.5,當(dāng)0 w t w 100時(shí)，甲公司的話費(fèi)金額 y=20 ;乙公司通話收費(fèi) y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以，李女士如果月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘，她選擇乙通迅公司更合算；因?yàn)椋?.15t+2.5=0.2t,所以，t=500 ,所以，

21、當(dāng)通話時(shí)間t=500分鐘時(shí)，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因?yàn)椋?.15t+2.5 >0.2t ,所以，tv 500,所以，當(dāng)通話時(shí)間100Vt v 500分鐘時(shí)，選擇甲公司；因?yàn)椋?.15t+2.5 V0.2t ,所以，t>500,所以，當(dāng)通話時(shí)間t>500分鐘時(shí)，選擇乙公司；2、三段型分段函數(shù)例6如圖7,矩形ABCM, AB= 1, AD- 2, M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn) P在矩形的邊上沿 A一B一8 M運(yùn)動(dòng)，則4 APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（）AyAy解析：1)、當(dāng) 0WxW1, y=J_XxX2=x;如圖 8 所示；22)、當(dāng)

22、1vxW3, y=1x 2- 1 x 1 x2- 1 x (x-1 ) x 1- 1 x 1 x ( 3-x)222225 1 一x；如圖9所不；4 43)當(dāng) 3 v xw 3.5 , y= 1 X ( 7 -x ) X 222=7 -x ;如圖10所示；2精品文檔 5 11所以C、D兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，又因?yàn)楹瘮?shù)y= x中的k= - V0,所以直線整體4 44應(yīng)該是分布在二、一、四象限，所以選項(xiàng)B也是錯(cuò)誤的，所以選 A。評(píng)析：對(duì)于運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意借助分類(lèi)的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用。3、四段型分段函數(shù)例7、星期天，小強(qiáng)騎自行車(chē)到郊外與同學(xué)一起游玩，從家出發(fā)2小時(shí)到達(dá)目的地，游玩3小時(shí)后按原路以原速返回，小強(qiáng)離家4小日40分鐘后，媽媽駕車(chē)沿相同路線迎接小強(qiáng)，如圖 11,是他們離家的路程 y（千米）與時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)圖像。已知小強(qiáng)騎車(chē)的速度為15千米/時(shí)，媽媽駕車(chē)的速度為 60千米/時(shí)。小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少?解析:1）（2）媽媽出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與小強(qiáng)相遇?當(dāng)0WxW2,路程y（千米）是時(shí)間x（時(shí)）的正比例函數(shù), 且 k=15 ,所以 y=15x;所以，當(dāng)x=2時(shí)，y=2X 15=30,所以，小強(qiáng)家與游玩地的距離是30千米。2）當(dāng)2vxW5,路程y（千米）是時(shí)間x（時(shí)）的常數(shù)函數(shù)，所以y=30;當(dāng)