高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案（第二版）（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系）ch(6)

1、編輯ppt第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分編輯ppt本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn)一、微分的定義一、微分的定義二、微分的計(jì)算二、微分的計(jì)算三、微分的幾何意義與函數(shù)的一次近似三、微分的幾何意義與函數(shù)的一次近似編輯ppt一、微分的定義一、微分的定義 在本章第一節(jié)中我們知道在本章第一節(jié)中我們知道, 當(dāng)自變量在當(dāng)自變量在 處有增量處有增量0 x 時(shí)時(shí), 相應(yīng)地函數(shù)有增量相應(yīng)地函數(shù)有增量 如果函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)如果函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo),x, y則有則有:00lim.xyfxx 由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系, 增量比值可以寫成增量比值可以寫成0,yfxx編輯ppt其中其中 是是 時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小, 由此

2、由此0 x 0,yfxx 上式又可以寫成上式又可以寫成0.yfxox （2.11）從上式中看到從上式中看到: 如果函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)如果函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo), 則因變量的增量則因變量的增量 可以寫成兩項(xiàng)之和可以寫成兩項(xiàng)之和, 一項(xiàng)是一項(xiàng)是 的線性函數(shù)的線性函數(shù)yx0,fxx另一項(xiàng)是另一項(xiàng)是 的高階無窮小的高階無窮小x.ox編輯ppt( )yf x0 xTdyy()ox） x0 xx 0()f x0()f xx NPQMxyo （2.11）式的幾何事實(shí)可用下圖來說明）式的幾何事實(shí)可用下圖來說明: 圖中的曲線是函數(shù)圖中的曲線是函數(shù) 圖形圖形. 對(duì)于曲線上某一對(duì)于曲線上某一 yf x固定點(diǎn)固定點(diǎn)00,xy當(dāng)自

3、變量當(dāng)自變量 有微小的增量時(shí)有微小的增量時(shí), 對(duì)應(yīng)曲線對(duì)應(yīng)曲線x上的另一點(diǎn)上的另一點(diǎn),N,MQx QNy 是曲是曲MTM線在線在 處的切線處的切線, 由此得由此得:0()d .QPfxxy ,QNQPPN編輯ppt且當(dāng)且當(dāng) 時(shí)時(shí), 是是 的高階無窮小的高階無窮小, 因此當(dāng)因此當(dāng)0 x PNxx很小時(shí)很小時(shí), （2.11）可以寫成）可以寫成0,yfxx 即當(dāng)自變量在即當(dāng)自變量在 處給出增量處給出增量 時(shí)時(shí), 函數(shù)的增量函數(shù)的增量 可以可以0 xxy近似表示為近似表示為 的適當(dāng)倍數(shù)的適當(dāng)倍數(shù), 由此引入下面概念由此引入下面概念.x編輯ppt定義定義2.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )yf x且在且在 處可導(dǎo)

4、處可導(dǎo), 稱稱0 x 0fxx0 x在在 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 為函數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) yf x0 x相應(yīng)于自變量的增量相應(yīng)于自變量的增量 的的微分微分, 記為記為 即即xd , yd.yA x 由定義由定義,（2.11）可以表示為）可以表示為d.yy ox 編輯ppt 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)可微內(nèi)每一點(diǎn)可微, 則稱則稱( )yf xI( )f x分就稱為分就稱為函數(shù)的微分函數(shù)的微分, 也記為也記為 由前公式得由前公式得:d , y通常把自變量通常把自變量 的的增量稱為的的增量稱為自變量的微分自變量的微分, 記為記為 xd , x上式兩端除以自變量的微分上式

5、兩端除以自變量的微分, 得得:( )f xI為區(qū)間內(nèi)的為區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)可微函數(shù): 函數(shù)函數(shù) 在在 內(nèi)的任意一點(diǎn)微內(nèi)的任意一點(diǎn)微于是函數(shù)的微分可記為于是函數(shù)的微分可記為d( ).yfxx（2.12）d( )d .yfxx（2.13）編輯pptd( ).dyfxx因此因此, 導(dǎo)數(shù)又稱為導(dǎo)數(shù)又稱為微商微商.編輯ppt例例2.39 求函數(shù)求函數(shù)3yx當(dāng)當(dāng)2,0.02xx 時(shí)的微分時(shí)的微分.解解 因因 32d3,yxxxx 所以所以2220.020.0230.24.dxxxxyxx 編輯ppt例例2.40 求函數(shù)求函數(shù)ln 1yx在在 處的微分處的微分.1x 解解 因因111dln 1dd .2xxy

6、xxx1dln 1dd ,1yxxxx所以所以編輯ppt二、微分公式與運(yùn)算法則二、微分公式與運(yùn)算法則 從微分表達(dá)式（從微分表達(dá)式（2.13）得到下面的微分公式與相應(yīng)的）得到下面的微分公式與相應(yīng)的運(yùn)算法則運(yùn)算法則.編輯ppt1ddxxx1xxlnxxaaadln dxxaaa x1loglnaxxa1dlogdlnaxxxasincosxxdsincos dxx x2tansecxx2dtansecdxx x 導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分公式編輯ppt21arcsin1xx21darcsind1xxx21arctan1xx21darctand1xxx編輯ppt 2.運(yùn)算法則（表中運(yùn)算法則（表中

7、）( ),( )uu x vv x 函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則 函數(shù)的和、積、商的微分法則函數(shù)的和、積、商的微分法則uvuvdddu vuvuvu vuvddduvv uu v2uu vuvvv2ddduv uu vvv編輯ppt 設(shè)設(shè) , 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 的的( ),( )yf u ux( )yfx ,xyfxx所以復(fù)合函數(shù)的微分為所以復(fù)合函數(shù)的微分為 dd .yfxxx由于由于 故上式又可寫成故上式又可寫成: dd ,xxu dd .yf uu導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為:編輯ppt ddyfuu總是正確的總是正確的, 這一性質(zhì)稱為這一性質(zhì)稱為微分形式不變性微分形式不變性.

8、比較兩式比較兩式, 可以看到無論可以看到無論 是中間變量或是直接變量是中間變量或是直接變量, 表表u達(dá)式達(dá)式編輯ppt例例2.41 利用微分形式的不變性利用微分形式的不變性, 求函數(shù)求函數(shù)sin 21yx解解 dd sin 21yx的微分的微分. cos 21 d 21xx2cos 21 d .xx編輯ppt三、微分的幾何意義與函數(shù)的一次近似三、微分的幾何意義與函數(shù)的一次近似 由微分的定義由微分的定義, 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) 在在 處可微時(shí)處可微時(shí), 有有( )f x0 x0d,yfxx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 00fx并且誤差僅是并且誤差僅是 的高階無窮小的高階無窮小. x0d ,yfxxoxy （2.14）（

9、2.14）又可寫成）又可寫成000.f xxf xfxx編輯ppt即即 000.f xxf xfxx （2.15）注意到注意到, 若記若記 則有則有0 xxx （2.16）式的左端就是曲線）式的左端就是曲線 的表達(dá)式的表達(dá)式; 而右端而右端( )yf x000( ).f xf xfxxx（2.16）000.f xfxxx00,xf x是是 的一次函數(shù)的一次函數(shù), 它是曲線在點(diǎn)它是曲線在點(diǎn) 處切線的表處切線的表x達(dá)式達(dá)式, （2.16）表明）表明, 若函數(shù)可微分時(shí)若函數(shù)可微分時(shí), 曲線曲線 yf x編輯ppt越小越小, 則近似程度就越高則近似程度就越高.在點(diǎn)在點(diǎn) 處附近的局部范圍內(nèi)可以用它在這點(diǎn)

10、處的切線處附近的局部范圍內(nèi)可以用它在這點(diǎn)處的切線M近似地替代近似地替代, 此為微分的幾何意義此為微分的幾何意義. 因此（因此（2.15）或（）或（2.16）通常稱為函數(shù)）通常稱為函數(shù) 的一的一( )yf x次近似或線性近似次近似或線性近似, 其近似誤差是其近似誤差是 的高階無窮小的高階無窮小. x0 xxx編輯ppt例例2.42 求求 1f xx在在 處的一次近似式處的一次近似式.1x 解解 在（在（2.15）中）中, 取取01,x 因因 21111,11,xffx 所以相應(yīng)的一次近似式為所以相應(yīng)的一次近似式為 11. xx 編輯ppt在（在（2.16）中）中, 若取若取00,x 則有則有 ( )00.f xffx（2.17）編輯ppt例例2.43 求求0 x ( )ln 1f xx解解 因因 (0)0,01,ff ln 10.xxx處的一次近似處的一次近似.在在 由（由（2.17）得）得編輯ppt當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)很小時(shí), 還可得到其它函數(shù)的一次近似式還可得到其它函數(shù)的一次近似式. 我們我們xe1,xx 把常用的幾個(gè)函數(shù)的一次近似式列于下表把常用的幾個(gè)函數(shù)的一次近似式列于下表:sin,xxtan,xx11,xx ln 1.xx編輯ppt解解 鍍層的體積等于兩個(gè)同心球體的體積之差鍍層的體積等于兩個(gè)同心球體的體積之差.