高等數(shù)學(xué)b學(xué)習(xí)資料-3.9定積分的物理應(yīng)用舉例

1、編輯ppt第九節(jié)第九節(jié) 定積分的物理應(yīng)用舉例定積分的物理應(yīng)用舉例一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功二、水壓力二、水壓力三、引力三、引力一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有一個(gè)不變的力有一個(gè)不變的力 F 作用在這物體上，且這力的方作用在這物體上，且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在物體移動(dòng)了向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在物體移動(dòng)了距離距離 s 時(shí)，力時(shí)，力 F 對(duì)物體所作的功為對(duì)物體所作的功為 W=Fs如果物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中所受的力是變化的，就如果物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中所受的力是變化的，就

2、不能直接使用此公式，而要采用不能直接使用此公式，而要采用“元素法元素法”的思的思想解決想解決. 設(shè)物體在連續(xù)變?cè)O(shè)物體在連續(xù)變力力 F(x) 作用下作用下沿沿 x 軸軸從從 x= a 移動(dòng)到移動(dòng)到 x=b ,力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行, ,求求 變力變力 F 所做的功所做的功 . . xabxxxd，上任取子區(qū)間上任取子區(qū)間在在d,xxxba 在其上所作的功元素為在其上所作的功元素為xxFWd)(d 因此因此變力變力F(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a,b上所作的功上所作的功 baxxFWd)(qorabrrdr 11例例1 1 在一個(gè)帶在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下電荷所產(chǎn)生的

3、電場(chǎng)作用下, ,一個(gè)單一個(gè)單 位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷a 處移動(dòng)到處移動(dòng)到 b 處處 (a b) ,求電場(chǎng)力所作的功求電場(chǎng)力所作的功 . . 解解當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí)時(shí),由庫(kù)侖定律知電場(chǎng)力為由庫(kù)侖定律知電場(chǎng)力為,2rqkF ,bar 任取小區(qū)間任取小區(qū)間r , r + dr,取取 r 為積分變量，為積分變量，則功的元素為則功的元素為rrqkWdd2 所求功為所求功為 barrqkWd2barqk 1. )11(baqk 解解 如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系,xoxdxx 5 , 0 x5例例2 一圓柱形蓄水池高為一圓柱形蓄水池高為5米，底半

4、徑為米，底半徑為3米，池內(nèi)米，池內(nèi)盛滿了水盛滿了水.問(wèn)要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？問(wèn)要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？任取一小區(qū)間任取一小區(qū)間x , x+dx,取取x為積分變量，為積分變量，這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為)(d32KNxg 功元素為功元素為,d9dxxgW 50d9xxgW 50229 xg g5 .112 (千焦千焦)(3462 KJ 設(shè)水的密度為設(shè)水的密度為 解解 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為 101d)(xxfW,2k hhxxfW0d)(例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖?/p>

5、用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入錘擊時(shí)將鐵釘擊入1 1厘米，若每次錘擊所作的功厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第相等，問(wèn)第n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？設(shè)設(shè) n 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 h 厘米厘米n 次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為 hxkx0d,22kh 依題意有：依題意有：1nWWh 222kkhn ,nh . 1 nnn 次擊入的總深度為次擊入的總深度為第第 n 次擊入的深度為次擊入的深度為 10dxkx編輯ppt例例4 已知一彈簧自然長(zhǎng)為已知

6、一彈簧自然長(zhǎng)為 0.6m，10N 的力使的力使它伸長(zhǎng)到它伸長(zhǎng)到 1m ，求使彈簧從，求使彈簧從 0.9m 伸長(zhǎng)到伸長(zhǎng)到 1.1m外力所做的功外力所做的功 W.解解 彈簧力彈簧力為為)(xf, )6 . 01(10 k,kx ,25 k,25)(xxf 即即 5 . 03 . 0d25xxW 5 . 03 . 02225x ).(2 J 二、水壓力二、水壓力由物理學(xué)知道，在水深為由物理學(xué)知道，在水深為 h 處的壓強(qiáng)為處的壓強(qiáng)為 p= g h , ,這里這里 是水的是水的密度密度如果有一面積為如果有一面積為 A 的平板水的平板水平地放置在水深為平地放置在水深為 h 處，那么平板一側(cè)所受的水處，那么

7、平板一側(cè)所受的水靜壓力為靜壓力為 F = pA= g h A 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的點(diǎn)處如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)壓強(qiáng) p 不相等，平板一側(cè)所受的水壓力就不能直不相等，平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式，而要采用接使用此公式，而要采用“元素法元素法”的思想解的思想解決決解解 如圖建立坐標(biāo)系，如圖建立坐標(biāo)系，xoa2a2a面積元素面積元素,d)(2dxxaA xxaaxgFd)(2)2(d xxaaxgFad)(2(20 側(cè)側(cè)壓壓力力.373ag 例例1 將直角邊各將直角邊各 為為 2a 及及a 的直角三角形薄的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直

8、角邊的邊長(zhǎng)板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長(zhǎng)與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長(zhǎng)，求薄板所受的側(cè)壓力的邊長(zhǎng)，求薄板所受的側(cè)壓力 側(cè)壓力元素為側(cè)壓力元素為設(shè)水的設(shè)水的密度密度為為 , 則則解解在端面如圖建立坐標(biāo)系在端面如圖建立坐標(biāo)系xoxdxx 例例2 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為設(shè)桶的底半徑為 R ，水的密度為，水的密度為 ，計(jì)算桶的一，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力端面上所受的壓力面積元素面積元素,d2d22xxRA 側(cè)壓力元素為側(cè)壓力元素為設(shè)水的設(shè)水的密度密度為為 , 則則

9、xxRxgFd2d22 xxRgxFRd2220 )(d22022xRxRgR RxRg0322)(32 .323Rg 端面上所受的壓力為：端面上所受的壓力為：,d222xxR 說(shuō)明說(shuō)明當(dāng)桶內(nèi)充滿水時(shí)當(dāng)桶內(nèi)充滿水時(shí), )(xRgp 小矩形片上的壓強(qiáng)為小矩形片上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素側(cè)壓力元素 Fd故端面所受側(cè)壓力為故端面所受側(cè)壓力為 RRxxRxRFd)(g222 奇函數(shù)奇函數(shù)2414RRg )(xRg RxxRgR022d4 oxyRxxxd 3Rg 由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為21, mm相距為相距為r的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為221rmmkF ，

10、其中其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向連線方向三、引力三、引力如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，那么，如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，就不能各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，就不能用此公式計(jì)算用此公式計(jì)算, ,而要采用而要采用“元素法元素法”的思想解的思想解決決 2l2l xyoMa解解 如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間d,yyy ,22lly 將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)將典型小段

11、近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為,dy rydyy 例例 有一長(zhǎng)度為有一長(zhǎng)度為 l 、線密度為、線密度為 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒在其中垂線上距棒 a 單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為 m 的的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) M ，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 的引力的引力 小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為,22yar 引力元素引力元素,dd22yaymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素 cosdFFx 2322)(d22yayamkFllx ,4222laalkm 由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF,)(d2322yayamk .42

12、22laalkmF 故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為2l2l xyoMarydyy 例例 設(shè)有一長(zhǎng)度為設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線密度為線密度為 的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒,在其在其中垂線上距中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) M,試計(jì)試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力. .M解解 如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系.y2l2ld,xxx 細(xì)棒上小段細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力元素為對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力元素為 dkF xm d 22xa 故垂直分力元素為故垂直分力元素為 cosddFFy a 22dxaxmk 22xaa 23)(d22xaxamk axoxFdxFdyF

13、dxxd由對(duì)稱性知，棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力由對(duì)稱性知，棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力 2223)(d22llxaxamkFy 022222lxaaxamk 2242laalmk .0 xF.4222laalmkF 故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為 編輯ppt練習(xí)：練習(xí)： 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 線密度為線密度為 的均勻細(xì)棒，在離端的均勻細(xì)棒，在離端點(diǎn)為點(diǎn)為 a 處有一質(zhì)量為處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)，求細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的的質(zhì)點(diǎn)，求細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。引力。利用利用“元素法元素法”思想求變力作功、水思想求變力作功、水壓

14、力和引力等物理問(wèn)題壓力和引力等物理問(wèn)題（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）四、小結(jié)四、小結(jié)注意注意1. 從實(shí)際情況出發(fā)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)于物從實(shí)際情況出發(fā)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)于物理量的計(jì)算是至關(guān)重要的理量的計(jì)算是至關(guān)重要的.且在建立坐標(biāo)系時(shí)且在建立坐標(biāo)系時(shí),必需明確指明必需明確指明原點(diǎn)位置原點(diǎn)位置和坐標(biāo)軸的正向和坐標(biāo)軸的正向.2. 計(jì)算時(shí)對(duì)同類量要采用統(tǒng)一的單位計(jì)算時(shí)對(duì)同類量要采用統(tǒng)一的單位.思考與練習(xí)思考與練習(xí)提示提示: : 作作 x 軸如圖軸如圖. .ox30 xxd1、為清除井底污泥為清除井底污泥, , 用纜繩將抓斗放入井底用纜繩將抓斗放入井底, ,抓起污抓起污泥后提出井口

15、泥后提出井口, ,已知井深已知井深30 m ,抓斗自重抓斗自重400N ,纜繩每纜繩每米重米重50N ,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為提升速度為3m /s ,在提升過(guò)程中污在提升過(guò)程中污泥以泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉的速度從抓斗縫隙中漏掉, ,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口, ,問(wèn)：克服重力需作多少問(wèn)：克服重力需作多少焦耳焦耳( J ) 功功? ?將抓起污泥的抓斗由將抓起污泥的抓斗由x 提升提升 dx 所作的功為所作的功為 321ddddWWWW 提升抓斗中的污泥提升抓斗中的污泥:井深井深 30 m, 抓斗自重抓斗自重 400

16、N, 纜繩每米重纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為提升速度為3ms, 污泥以污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服纜繩重克服纜繩重:xxWd)30(50d2抓斗升至抓斗升至 x 處所需時(shí)間處所需時(shí)間 :) s (3x(J)91500 xxxWd)3202000()30(50400300 xxWd)3202000(d3 321ddddWWWW 克服抓斗自重克服抓斗自重: 2、斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板, , 垂直放置于水垂直放置于水中中, ,并使一直角邊與水面相齊并使

17、一直角邊與水面相齊, ,問(wèn)斜邊與水面交成問(wèn)斜邊與水面交成的的銳角銳角 取多大時(shí)取多大時(shí), 薄板所受的壓力薄板所受的壓力 F 最大最大 . .解解 如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系. 設(shè)斜邊長(zhǎng)為設(shè)斜邊長(zhǎng)為 l , coscotlxy xxygd sin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633 lgloyxy則其方程為則其方程為xxxd sin0lP)cos(cos633 lgF,0dd F令令33arccos0 故得唯一駐點(diǎn)故得唯一駐點(diǎn) 故此唯一駐點(diǎn)故此唯一駐點(diǎn)0即為所求即為所求. . 由實(shí)際意義可知最大值存在由實(shí)際意義可知最大值存在 , ,即即0sincos3sin2 , ),0(

18、2loyxyxxxd 3、 一球完全浸沒(méi)水中，問(wèn)該球面所受的總壓一球完全浸沒(méi)水中，問(wèn)該球面所受的總壓力與球浸沒(méi)的深度有無(wú)關(guān)系？它所受的總壓力力與球浸沒(méi)的深度有無(wú)關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？解解該球面所受的總壓力方向向上該球面所受的總壓力方向向上 (下半球面所受的壓下半球面所受的壓力大于上半球面力大于上半球面) ，其值為該球排開(kāi)水的，其值為該球排開(kāi)水的 重量，重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒(méi)的深度無(wú)關(guān)該球面所受的總壓力與球浸沒(méi)的深度無(wú)關(guān)一、一、 直徑為直徑為20厘米

19、，高為厘米，高為80厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問(wèn)需要作多少功？體積縮小一半，問(wèn)需要作多少功？二、二、 一物體按規(guī)律一物體按規(guī)律3tcx 作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由速度的平方成正比，計(jì)算物體由0 x移至移至ax 時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)610 米和米和米，高為米，高為20米，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊米，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊. .計(jì)算閘門計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力的一側(cè)所受的水壓力 . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面相切，入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少功？多