202X_202X版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件新人教A版選修2_1

1、-1-2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課前篇自主預(yù)習(xí)【思考】觀察下列圖形,思考以下問題:(1)觀察焦點(diǎn)在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形,分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別?(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y2=2px(p0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍?課前篇自主預(yù)習(xí)答案(1)拋物線與另兩種曲線相比較,有明顯的不同,橢圓是封閉曲線,有四個(gè)頂點(diǎn),有兩個(gè)焦點(diǎn),有中心;雙曲線雖然不是封閉曲線,但是有兩支,有兩個(gè)頂點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn),有中心;拋物線只有一條曲線,一個(gè)頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),無中心.(2)由拋物線y2=2px(p0)有 所以x0.所以拋物線x的范圍為x0.拋物線在y軸的右側(cè),當(dāng)x的值增大時(shí),|y|也增大,這說明拋物線向右

2、上方和右下方無限延伸.課前篇自主預(yù)習(xí)1.拋物線的簡單幾何性質(zhì) 課前篇自主預(yù)習(xí)名師點(diǎn)撥1.拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比有較大差別,它的離心率為定值1,只有一個(gè)焦點(diǎn),一個(gè)頂點(diǎn)、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線,沒有漸近線,沒有對稱中心,通常稱拋物線為無心圓錐曲線,而稱橢圓、雙曲線為有心圓錐曲線.2.拋物線的焦點(diǎn)始終在對稱軸上,拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對稱軸的交點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直,拋物線準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對稱.課前篇自主預(yù)習(xí)【做一做1】 (1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為y軸,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=8yD.x2=16y(2

3、)若點(diǎn)(a,b)是拋物線x2=2py(p0)上的一點(diǎn),則下列點(diǎn)一定在拋物線上的是()A.(a,-b)B.(-a,b)C.(-a,-b)D.(b,a)解析(1)由已知得 =4,2p=16,所以拋物線方程為x2=16y.(2)拋物線x2=2py關(guān)于y軸對稱,所以點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(-a,b)一定在拋物線上.答案(1)D(2)B課前篇自主預(yù)習(xí)2.直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k0,當(dāng)0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn)

4、;當(dāng)0時(shí),直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).(2)若k=0,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.特別提醒直線與拋物線相交時(shí),直線與拋物線不一定有兩個(gè)公共點(diǎn);直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與拋物線不一定相切,也有可能是相交,這時(shí)直線與拋物線的對稱軸平行.課前篇自主預(yù)習(xí)【做一做2】 (1)直線y=2x-1與拋物線x2= y的位置關(guān)系是()A.相切B.相交C.相離D.不確定(2)過點(diǎn)(1,1)與拋物線y2=x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條因?yàn)?-10).拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)

5、的距離為3,即 =3,p=6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x或y2=-12x,其準(zhǔn)線方程分別為x=-3或x=3.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟拋物線各元素間的關(guān)系拋物線的焦點(diǎn)始終在對稱軸上,頂點(diǎn)就是拋物線與對稱軸的交點(diǎn),準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直,準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)對稱,頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 .課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸重合于雙曲線9x2-4y2=36虛軸所在的直線,其他條件不變,拋物線的方程如何?解雙曲線9x2-4y2=36的虛軸為y軸,拋物線的對稱軸為y軸,設(shè)拋物線的方程為x2=2py或x2=-2p

6、y(p0).拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,即 =3,p=6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y或x2=-12y.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1邊長為1的等邊三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),ABx軸,以O(shè)為頂點(diǎn)且過A,B的拋物線方程是 ()答案C 課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究二直線與拋物線的位置關(guān)系探究二直線與拋物線的位置關(guān)系例2 已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,當(dāng)k為何值時(shí),l與C有:(1)一個(gè)公共點(diǎn);(2)兩個(gè)公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn)?思路分析將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的方程后,討論根的情況,得到公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況.課堂篇探究學(xué)習(xí)探

7、究一探究二探究三當(dāng)堂檢測當(dāng)k0時(shí),方程(*)是一個(gè)一元二次方程,且=(2k-4)2-4k21=16-16k,當(dāng)0,即k1,且k0時(shí),l與C有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)l與C相交;當(dāng)=0,即k=1時(shí),l與C有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線l與C相切;當(dāng)1時(shí),l與C沒有公共點(diǎn),此時(shí)直線l與C相離.綜上所述,(1)當(dāng)k=1或k=0時(shí),直線l與C有一個(gè)公共點(diǎn);(2)當(dāng)k1時(shí),直線l與C沒有公共點(diǎn).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟方程思想解決直線與拋物線的位置關(guān)系研究直線與拋物線的位置關(guān)系問題主要采用代數(shù)方法,即當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,拋物線的方程為y2=2px(p0),將直線方程與

8、拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程形式Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是()解析設(shè)直線方程為y=k(x+2),與拋物線方程聯(lián)立,整理得ky2-8y+16k=0.當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)k0時(shí),由=64-64k20,解得-1k1,所以-1k1.答案C課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究三拋物線在實(shí)際問題中的應(yīng)用探究三拋物線在實(shí)際問題中的應(yīng)用例3 如圖所示,花壇水池中央有一噴泉,水管OP=1 m,水從

9、噴頭P噴出后呈拋物線狀,先向上至最高點(diǎn)后落下,若最高點(diǎn)距水面2 m,點(diǎn)P距拋物線的對稱軸1 m,則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)多少米?(精確到1 m)思路分析以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則易得點(diǎn)P的坐標(biāo),再由P在拋物線上求出拋物線方程,設(shè)拋物線與水面的交點(diǎn)為B,則由點(diǎn)B的縱坐標(biāo)求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)即可得解.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測解如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0).依題意有P(-1,-1)在拋物線上,代入得p= .故得拋物線方程為x2=-y.反思感悟坐標(biāo)法解決與拋物線有關(guān)的實(shí)際問題解決實(shí)際問題時(shí),首先找到合適的數(shù)學(xué)模型,把它轉(zhuǎn)化為

10、數(shù)學(xué)問題,通過我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解.利用拋物線模型解決問題時(shí),關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般都是將拋物線的頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),將對稱軸作為x軸或y軸建立坐標(biāo)系,其次要注意拋物線上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),并善于運(yùn)用拋物線的對稱性進(jìn)行求解.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面到直線l時(shí),拱頂離水面2 m,水面寬為4 m.水位下降1 m后,水面寬為 m.解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為x2=-2py(p0),由點(diǎn)(2,-2)在拋物線上,可得p=1,則拋物線方程為x2=-2y.當(dāng)y=-3時(shí),x= ,故水面寬為2 m.答案2課堂篇探究學(xué)習(xí)探

11、究一探究二探究三當(dāng)堂檢測思維辨析思維辨析 一題多解與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題典例過點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,恰被點(diǎn)Q所平分,則AB所在直線的方程為.思路分析法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),用點(diǎn)差法求kAB;法二:設(shè)直線AB的方程,建立方程求解.解析(1)法一:設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).又y1+y2=2,y1-y2=4(x1-x2),所求弦AB所在直線的方程為y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測法二:設(shè)弦AB所在直線的方程為y=k(x-4)+1.聯(lián)立 消去x,得ky2-8y-32k+8=0,此方程的兩根就是線段端點(diǎn)A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),由根與系數(shù)得y1+y2= .又y1+y2=2,k=4.所求弦AB所在直線的方程為4x-y-15=0.答案4x-y-15=0課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2,則C的焦